2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第三章3.2导数与函数的单调性（附答案）

§3.2导数与函数的单调性分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设f'(x)=x2-2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是()ABCD2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为()A.(1，+∞) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，+∞)3.已知函数f(x)=lnx-ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为()A.a≥1 B.a>1C.a≥13 D.a>4.若f(x)=-13x3+12x2+2ax在(1，+∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是(A.(-∞，0] B.(-∞，0)C.[0，+∞) D.(0，+∞)5.已知函数f(x)=13x3+a2x2+x+1在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为(A.-103，-2C.(-∞，-2] D.-6.已知a=1100，b=e-99100，c=ln101100，则aA.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是()A.f(x)有三个单调区间B.f(-2)<f(-1)C.f(-1)<f(1)D.f(x)在[-1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减8.若函数f(x)=12x2-9lnx在区间[m-1，m+1]上单调，则实数m的值可能是(A.4 B.3C.2 D.1三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数y=lnx+1x的单调递减区间为10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)=2x-msinx在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是.

四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)=x22+ax-(ax+1)lnx在x=1处的切线方程为y=bx+52(a，b∈(1)求a，b的值；(6分)(2)证明：f(x)在(1，+∞)上单调递增.(7分)12.(15分)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+kxx+2(k∈R(1)若k=-3，求f(x)的单调区间；(7分)(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.(8分)每小题5分，共20分13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-1)(ex+a)在区间(-1，1)上单调递增，则a的最小值为()A.e-1 B.e-2 C.e D.e214.(2025·呼和浩特模拟)在区间(0，π)上，函数y=a-cosxx存在单调递增区间，则实数a的取值范围是A.(-∞，1) B.-C.-∞，π2 D.(15.若对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1<x2，x1lnx2-x2A.1e，e B.1e16.已知f(x)=ex+e2-x，则不等式f(2x+1)<f(x)的解集为()A.1B.-1C.-∞，13∪(D.(-∞，-1)∪1答案精析1.C2.C3.A4.D[f(x)=-13x3+12x2+2ax在(1，+∞只需f'(x)>0在(1，+∞)上有解即可.由已知得f'(x)=-x2+x+2a，该函数图象开口向下，对称轴为x=1故f'(x)在(1，+∞)上单调递减，所以f'(1)=2a>0，解得a>0.]5.B[由f(x)=13x3+a2x2+x+1，得f'(x)=x2+ax∵f(x)在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减，∴f'(x)=0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内，则f'解得-103≤a≤-526.B[设函数f(x)=ex-x-1，x∈R，则f'(x)=ex-1，当x<0时，f'(x)<0，f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x>0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时取等号，∵ex≥1+x，∴e-99100>1-∴b>a，由以上分析可知当x>0时，有ex-1≥x成立，当x=1时取等号，即lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号，∴ln

101100<101100∴a>c，故b>a>c.]7.CD[对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；对于B，当x∈[-2，-1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(-2)>f(-1)，故B错误；对于C，当x∈[-1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(-1)<f(1)，故C正确；对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.]8.AC[由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-9x=由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，+∞)，由f'(x)≤0，可得0<x≤3，则函数f(x)的单调递减区间为(0，3]，因为f(x)在区间[m-1，m+1]上单调，所以m-1>0，m+1≤3解得1<m≤2或m≥4，结合选项可得A，C符合题意.]9.(1，+∞)解析函数y=lnx+1x的定义域为(0，+y'=(ln=1-(lnx+1)令y'<0得x>1，所以y=lnx+1x的单调递减区间为(1，+10.m<-2或m>2解析因为f(x)=2x-msinx，所以f'(x)=2-mcosx，又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，即f'(x)在R上有变号零点，则2-mcosx=0成立，当cosx=0时，2-mcosx=0可化为2=0，显然不成立；当cosx≠0时，m=2因为x∈R，-1≤cosx≤1，所以2cosx≤-2或2cos所以实数m的取值范围为m<-2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)，经检验，m<-2或m>2满足要求.11.(1)解因为f(x)=x22+ax-(ax+1)ln所以f'(x)=x+a-alnx-ax+1x=x-1x-aln依题意可得f'即1-1-解得b(2)证明由(1)可得f(x)=x22+2x-(2x+1)ln则f'(x)=x-1x-2lnx令g(x)=f'(x)=x-1x-2lnx，x∈(1，+∞)则g'(x)=1+1x2-2x=所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，又g(1)=0，所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.12.解(1)函数f(x)=ln(x+1)+kxx+2的定义域为(-1，+∞求导得f'(x)=1x+1当k=-3时，f'(x)=1x+1-6=(当-1<x<1-3或x>1+3时，f'(x)>0，当1-3<x<1+3时，f'(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-3)，(1+3，+∞)，单调递减区间是(1-3，1+3(2)由(1)知，f'(x)=1x+1由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，则1x+1+2k即2k≥-(当x>-1时，-(x+2≤-4，当且仅当x=0时取等号，因此2k≥-4，解得k≥-2，当k=-2时，f'(x)=x2(xf(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以k的取值范围是[-2，+∞).13.A[由题意得f'(x)≥0在(-1，1)上恒成立，f'(x)=ex+a+(x-1)ex=xex+a，故xex+a≥0，即a≥-xex，令g(x)=-xex，x∈(-1，1)，则g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex<0在(-1，1)上恒成立，故g(x)=-xex在(-1，1)上单调递减，故g(x)<g(-1)=e-1，故a≥e-1，故a的最小值为e-1.]14.C[函数y=a-cos求导得y'=xsin依题意，不等式xsinx-a+cosx>0在(0，π)上有解，即a<xsinx+cosx在(0，π)上有解，令f(x)=xsinx+cosx，x∈(0，π)，求导得f'(x)=xcosx，当x∈0，π2时，f'(x)>0，函数f(当x∈π2，π时，f'(x)<0，函数f(当x=π2时，f(x)max=π2，因此a<所以实数a的取值范围是-∞，15.C[对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1<x2，x1ln易知m≥0，x1>0，x2>0，则x1lnx2-x2lnx1<2x2-2x1，所以x1(lnx2+2)<x2(lnx1+2)，即lnx1+2令f(x)=ln则函数f(x)在(m，+∞)上单调递减.因为f'(x)=-ln由f'(x)<0，可得x>1所以函数f(x)的单调递减区间为1所以(m，+∞)⊆1故m≥1即实数m的取值范围为1e，16.B[因为f(x)=ex+e2-x，f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x，f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x，所以f(1-x)=f(1