北师大版七年级数学上册“代数式与整式”单元教学设计

北师大版七年级数学上册“代数式与整式”单元教学设计

单元整体分析

一、学科本质与核心素养指向

本单元隶属于“数与代数”领域，是学生从具体的“数的运算”迈向抽象的“式的运算”的关键转折点，在整个初等数学体系中具有奠基性地位。其学科本质在于引入字母作为表示数量关系和变化规律的一般化符号，从而将数学研究的对象从具体的、确定的数，扩展到更一般的、可变的量。这一飞跃标志着学生数学思维从算术思维向代数思维的范式转换。

本单元教学直接指向以下数学核心素养的培养：

1.抽象能力：从具体情境中剥离数量关系的本质，用字母和运算符号进行概括与表达，经历“具体—表象—抽象”的完整过程。

2.运算能力：在理解整式相关概念的基础上，为后续学习整式的加减运算、乃至整个代数运算体系奠定基础，初步建立对“式”进行操作的规则意识。

3.模型观念：认识到代数式是刻画现实世界数量关系与规律的数学模型，初步体验“实际问题—数学符号表达（代数式）—解释与应用”的建模循环。

4.应用意识：感悟代数式在描述规律、简化表达、推理预测中的广泛应用价值。

二、教材内容与结构解析

本单元对应北师大版七年级上册第三章“整式及其加减”的第一、二节内容，是整章的逻辑起点。教材编排遵循“代数式—整式（单项式、多项式）—整式的加减”的螺旋上升路径。本单元聚焦前两部分：

1.代数式：从用字母表示数开始，引入代数式的概念，学习代数式的书写规范、实际意义及求值。这是符号意识建立的起点。

2.整式：在代数式范畴内，对式子进行再分类，引出单项式（系数、次数）和多项式（项、常数项、次数）的概念。这是对代数式结构的初步剖析，为合并同类项等运算提供知识准备。

知识结构内在逻辑清晰：字母表示数→形成代数式→代数式分类（聚焦整式）→剖析整式结构。理解这一逻辑链，有助于学生构建系统化的知识网络。

三、学情诊断与分析

七年级学生正处于形式运算思维的形成期，在学习本单元时可能面临以下认知节点与潜在障碍：

已有认知基础：

1.具备扎实的算术运算能力。

2.在小学已接触过用字母表示运算律、公式和简单数量关系（如路程=速度×时间）。

3.具备初步的归纳和概括能力。

潜在认知障碍与迷思概念：

1.符号理解的抽象性：学生对字母表示“变量”或“一般数”的理解存在困难，常认为字母代表一个特定的、未知的数（方程思想前置），而非可变的量或一类数。

2.从“结果”到“过程”的转换：在代数式求值中，易将字母代入的过程理解为“求解方程”。在列代数式时，难以将文字语言中动态的操作过程（如“增加”、“减少”、“倍”、“和”）准确转化为静态的运算结构。

3.概念辨析的精细度：容易混淆代数式、等式、不等式；对单项式的系数（特别是负数系数、分数系数及“1”和“-1”的省略形式）、次数的判定；对多项式的项（特别是符号归属）、次数、项数的判断存在错误。

4.书写规范的习惯养成：数字与字母、字母与字母相乘的乘号省略规则，数字写在字母前的规范，带分数系数需化为假分数，除法运算一般写成分数形式等，这些规范性要求需要反复强化以形成习惯。

学习心理特征：学生对新知识有好奇心，但代数抽象的突然加剧可能带来畏难情绪。需要通过丰富的情境、直观的类比和递进的活动，维持学习兴趣，搭建思维阶梯。

四、单元教学目标

（一）知识与技能

1.能准确用字母表示实际问题中的数量关系及数学规律。

2.能规范地书写代数式，并阐述其实际背景意义。

3.能熟练地根据字母的给定值求代数式的值，理解代数式值随字母取值变化而变化的对应思想。

4.能准确识别整式，区分单项式与多项式。

5.能正确指出单项式的系数与次数，多项式的项、常数项、次数及项数。

（二）过程与方法

1.经历从具体情境中抽象出数量关系并列代数式的过程，发展符号意识和抽象概括能力。

2.通过代数式求值，体会从一般到特殊的数学思想。

3.通过对代数式进行观察、比较、分类，归纳出单项式和多项式的本质特征，体验分类讨论的数学思想。

4.在解决实际问题的过程中，初步建立运用代数式描述和解决问题的模型观念。

（三）情感、态度与价值观

1.感受字母表示数的简洁性与概括性，体会数学抽象的美感与力量。

2.在探索数量关系规律的过程中，激发好奇心和求知欲。

3.通过了解代数发展史及在现代科技中的应用，认识数学的文化价值和应用价值，增强学习数学的内驱力。

五、教学重点与难点

教学重点：

1.用字母表示数量关系，规范列出代数式。

2.代数式的求值方法。

3.整式（单项式、多项式）相关概念的理解与辨析。

教学难点：

1.突破从具体数字到抽象字母的思维定势，理解字母表示数的概括性和可变性。

2.分析复杂实际问题的数量关系，准确列出代数式。

3.透彻理解单项式的系数、次数，尤其是多项式次数的概念（多项式的次数是“最高次项的次数”，而非各项次数之和或乘积）。

六、单元教学思路与课时安排

本单元计划用时5课时，采用“总-分-总”的结构展开教学，注重情境贯穿、探究驱动、概念建构与巩固深化相结合。

1.第1-2课时：字母表示数与代数式。从经典数学规律和现实生活情境双线引入，通过丰富的活动让学生感受“为什么要用字母”，进而建立代数式概念，强化列式与求值训练。

2.第3-4课时：整式——单项式与多项式。在复习代数式的基础上，通过分类活动自然引出整式及子类别。采用“类比—辨析—归纳”的策略，借助实例透彻讲解系数、次数、项等核心概念，并配以多层次辨析练习。

3.第5课时：单元复习与拓展应用。系统梳理知识结构，针对易错点进行深度辨析，并设计跨学科、联系生活的综合应用问题，提升学生整合应用能力，完成单元测评。

分课时教学设计

第一课时：走进符号世界——用字母表示数

教学目标：

1.在具体情境中，体会用字母表示数的必要性和优越性。

2.初步掌握用字母表示数量关系、运算律和公式的方法。

3.激发对代数学习的兴趣，感受数学的简洁美与概括美。

教学重点：体会字母表示数的意义，并能用字母表示简单的数量关系和数学规律。

教学难点：理解字母可以表示任意数、变化中的数以及一类数。

教学准备：多媒体课件、火柴棒、学习任务单。

教学过程：

一、情境导入，引发思考（约8分钟）

1.生活情境：播放一段短视频，展示快递公司按包裹重量收费的标准（如首重1kg内10元，续重每kg2元）。提问：如何表示一个重量为xkg（x>1）的包裹的运费？

2.数学游戏：请学生心中想一个数，按“乘以2，加上5，再减去原数”的指令进行计算。教师快速“猜出”结果总是比原数大5。设问：为什么老师总能猜对？能否用一个式子表示这个操作过程和结果？

3.揭示课题：从今天起，我们将学习一种新的数学语言，它能帮助我们简洁地描述这类普遍规律，这就是“用字母表示数”。

二、探究活动，建构意义（约20分钟）

活动一：探秘运算律

引导学生回顾小学学过的加法和乘法运算律。

1.请学生用文字和具体数字等式分别表示加法交换律。

2.提出问题：这样的表示方式，能否代表所有情况？有没有一种方法，可以一句话就概括所有情况？

3.引导学生尝试用字母a,b表示任意两个数，写出加法交换律：a+b=b+a

。

4.类比完成加法结合律、乘法交换律、结合律、分配律的字母表示。

5.对比与感悟：将文字叙述、具体例子与字母表示进行对比，小组讨论：用字母表示运算律有什么好处？（简洁、通用、深刻）

活动二：巧析公式

1.展示常见图形（正方形、长方形、三角形、梯形、圆）的图片。

2.学生以小组为单位，任选两个图形，用字母表示其周长和面积公式，并说明每个字母的含义。

3.小组汇报，全班共享。特别强调：在同一问题中，不同量要用不同字母区分；约定俗成的习惯（如周长用C，面积用S，半径用r等）。

活动三：妙解数量关系

呈现一组问题串，引导学生独立思考后同桌交流：

1.练习本每本a元，买5本需要______元。

2.小明的年龄是m岁，爸爸的年龄比他的2倍还大4岁，爸爸的年龄是______岁。

3.一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时后，路程是______千米。

4.食堂有煤m吨，原计划每天烧a吨，实际每天节约b吨，则实际可烧______天。

在交流中，重点关注学生如何从文字叙述中分析出运算顺序，并规范书写（如乘号省略、数字在前等）。

三、归纳提炼，明晰概念（约7分钟）

1.引导学生观察上面写出的所有式子：a+b

,πr²

,5a

,2m+4

,vt

,m/(a-b)

等。

2.提问：这些式子有什么共同特征？（都由数、表示数的字母、运算符号连接而成）

3.给出代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数与表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。

4.初步辨析：判断几个式子是否为代数式（如等式3+2=5

、不等式x>1

、带等号的公式s=vt

等不是代数式，但其一边是代数式）。

四、巩固练习，分层应用（约8分钟）

基础层：

1.用代数式表示：

1.2.比x的3倍小5的数。

2.3.a与b的平方差。

3.4.某商品原价p元，打八折后的价格。

5.判断下列各式哪些是代数式。

拓展层：

1.用火柴棒按下图方式搭正方形。思考：搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？你能给出几种不同的代数式表示方法？（如4+3(n-1)

,3n+1

,4n-(n-1)

）这说明了什么？（不同的思考角度，可能得到形式不同但本质等价的代数式）

五、课堂小结与作业（约2分钟）

1.小结：本节课我们学到了什么？用字母表示数有何意义？

2.作业：

1.3.必做：教材对应练习。

2.4.选做：收集生活中3个用字母表示数的实例，并写出对应的代数式。

第二课时：代数式的求值与规范

教学目标：

1.进一步熟练根据题意列出代数式，并能解释简单代数式的实际背景意义。

2.掌握代数式求值的方法与格式，体会对应思想。

3.养成代数式书写的规范习惯。

教学重点：代数式的规范书写与求值。

教学难点：理解代数式的值是由其中字母的取值确定的，且求值过程需还原运算关系。

教学过程：

一、复习导入，规范书写（约10分钟）

1.回顾上节课内容：什么是代数式？举例说明。

2.“找茬”游戏：出示一些存在常见书写错误的代数式，请学生辨析改正。

1.3.a×5

应写为5a

2.4.1a

应写为a

3.5.(a+b)÷c

通常写为(a+b)/c

4.6.2·1/2m

应写为(5/2)m

或(5m)/2

5.7.a(b+c)

不能写成a(b+c)

（已正确，用于辨析乘法分配律形式）

8.师生共同总结代数式书写规范“三要三不要”。

二、探究新知——代数式的值（约15分钟）

1.情境引入：出示上节课“快递收费”问题列出的代数式10+2(x-1)

。提问：如果一个包裹重3.5kg，运费是多少？如果重8kg呢？

2.学生计算后，教师引出概念：当x=3.5

时，代数式10+2(x-1)

的值是16

；当x=8

时，其值是24

。像这样，用具体数值代替代数式中的字母，按照运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

3.典例精讲：求代数式2x²-3x+5

当x=-2

时的值。

1.4.教师板演规范格式：当x=-2

时，原式=2×(-2)²-3×(-2)+5=2×4+6+5=8+6+5=19

。

2.5.强调步骤：①写出条件“当…时”；②代入（负数、分数常需加括号）；③计算（遵循运算顺序，乘方优先）。

6.小组竞赛：分组计算代数式(3a-b)/2

在给定多组a,b

值下的结果，看哪组又快又准。体会代数式的值随字母取值变化而变化的函数思想萌芽。

三、应用提升——解释意义与复杂求值（约15分钟）

应用一：解释代数式的意义

给出代数式50-6t

。

1.请学生尝试为它赋予一个实际生活情境（如：油箱原有50升油，每小时耗油6升，t小时后剩余油量）。

2.提问：这里的t

可以取哪些值？（t≥0

，且需保证结果非负）初步渗透字母取值范围的意识。

3.练习：请为代数式a(b+c)

和ab+ac

分别编一个实际问题，体会两者虽然形式不同，但数值上相等（为分配律铺垫）。

应用二：程序化求值与整体代入

1.程序框图：展示一个简单的数值转换流程图（输入x→平方→乘以2→减去5→输出）。请学生写出对应的代数式2x²-5

，并求输入不同值时的输出。

2.整体代入：已知x+y=5

,xy=3

，求代数式(x+y)²-2xy

的值。引导学生观察代数式结构，发现(x+y)

和xy

可作为整体直接代入，渗透整体思想。

四、巩固练习（约7分钟）

1.教材例题及变式。

2.联系实际：某地电话拨号上网有两种收费方式：A计时制0.05元/分钟；B包月制50元/月，另加0.02元/分钟。设上网时间为t分钟，分别用代数式表示两种方式的费用。若小明每月上网约20小时，他选择哪种方式划算？

五、小结与作业（约3分钟）

1.小结：代数式求值的核心是“对应”与“还原运算”。

2.作业：

1.3.必做：求值练习与简单应用。

2.4.选做：研究一个生活中的分段计费问题（如水费、电费），列出代数式并计算自家上月费用。

第三课时：整式的家族（一）——单项式

教学目标：

1.通过观察与分类，从代数式中概括出整式的概念。

2.理解并掌握单项式、单项式的系数与次数的概念，能准确判断与计算。

3.经历概念的形成过程，发展观察、归纳和概括能力。

教学重点：单项式及其系数、次数的概念。

教学难点：单项式次数的理解，特别是当字母指数为1时的情况及圆周率π是常数。

教学过程：

一、分类活动，引出整式（约10分钟）

1.投影出示一组代数式：

3x

,-2a²b

,1/2

,m

,x²+2x-1

,(3ab)/2

,1/x

,t

,3y-(2/y)

,πr²

。

2.小组合作任务：请对这些代数式进行分类，并说明分类标准。

3.小组汇报。预期学生可能按“有无加减号”、“分母是否有字母”、“项的个数”等分类。

4.教师引导归纳：

1.5.从运算种类看，有些只含乘法（或乘方）与数字除法，有些还含有加减法。

2.6.给出整式定义：只含加、减、乘、乘方四种运算（除法运算中除式不含字母）的代数式叫做整式。

3.7.据此判断，1/x

、3y-(2/y)

不是整式（分母含字母），其余都是整式。

二、聚焦一类，定义单项式（约15分钟）

1.观察整式3x

,-2a²b

,1/2

,m

,(3ab)/2

,t

,πr²

。提问：这些整式在结构上有什么更共同的特点？（都由数与字母的乘积构成，或单独一个数/字母）

2.引出单项式概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

3.辨析巩固：判断下列各式是否为单项式，并说明理由。

1.4.x+1

（否，含加法）

2.5.-xy

（是）

3.6.(x)/2

（是，看作(1/2)x

）

4.7.(a+b)/2

（否，分母不含字母，但分子是多项式，需化简为(1/2)a+(1/2)b

，是多项式，不是单项式）

5.8.0

（是，单独的数）

6.9.(3)/π

（是，π是常数）

三、解剖单项式：系数与次数（约15分钟）

1.系数的探究：

1.2.以-2a²b

为例，提问：这个单项式由哪两部分组成？数字部分是多少？

2.3.给出系数定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3.4.练习：说出下列单项式的系数：3x

(3

),-a

(-1

),mn

(1

),(πr²h)/3

(π/3

)。

4.5.强调：系数包括符号；当系数是1或-1时，通常省略不写；π是常数，应看作系数的一部分。

6.次数的探究：

1.7.以-2a²b

为例，提问：这个单项式中，字母a、b各乘了多少次？所有字母的指数和是多少？

2.8.给出次数定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.9.练习：说出上述单项式的次数：3x

(1),-a

(1),-2a²b

(2+1=3),mn

(1+1=2),(πr²h)/3

(2+1=3)。

4.10.强调：单独一个非零数的次数是0（如5，可看作5a⁰

）。次数只与字母有关。

11.综合应用：填写下表。

单项式

系数

次数

5x²y

-ab

πr²

0.8m

-x

四、巩固与拓展（约7分钟）

1.教材练习题。

2.拓展思考：

1.3.如果(m-2)x³y^(n-1)

是关于x,y的六次单项式，且系数为3，求m,n的值。（渗透方程思想）

2.4.你能写出一个系数为-2，含有a,b,c三个字母，且次数是4的单项式吗？能写出几个？（开放性问题，培养思维发散性）

五、小结与作业（约3分钟）

1.小结：单项式是整式家族的“基本单元”，抓住“系数”和“次数”两个要素就能把握其特征。

2.作业：整理单项式相关概念，完成练习。

第四课时：整式的家族（二）——多项式

教学目标：

1.理解多项式及其相关概念（项、常数项、次数、项数）。

2.能准确地将多项式按某个字母进行降幂（或升幂）排列。

3.能区分单项式与多项式，明确多项式是单项式的和。

4.通过对比学习，形成对整式系统的整体认识。

教学重点：多项式及其项、次数、项数的概念。

教学难点：多项式次数的确定；理解多项式是“和”的形式，每一项包括它前面的符号。

教学过程：

一、复习导入，自然衔接（约5分钟）

1.复习提问：什么是单项式？举例说明。什么是系数？什么是次数？

2.出示几个单项式：3x²

,-2y

,1/2

,-x

。提问：如果把它们用加号连接起来，会得到什么？3x²+(-2y)+1/2+(-x)

。

3.引导简化：这个式子可以写成更简洁的形式3x²-2y-x+1/2

。这个新的式子是什么？它是整式吗？它与单项式有什么关系？引出课题。

二、概念形成与剖析（约25分钟）

1.多项式的定义

引导学生观察3x²-2y-x+1/2

、x²+2x-1

、a+b

等。

提问：这些式子与单项式有何区别与联系？

1.区别：含有加法或减法运算。

2.联系：它们都可以看作几个单项式的和。

给出多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。

强调：在多项式中，每个单项式叫做这个多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

2.多项式的项与符号

以多项式3x²-2y-x+1/2

为例。

1.提问：这个多项式有几项？分别是什么？

2.学生易答：四项，3x²

,-2y

,-x

,1/2

。

3.教师强调：多项式的项包括它前面的符号。因此，这个多项式的项分别是3x²

、-2y

、-x

、+1/2

。常数项是+1/2

。

4.练习：说出多项式-2x²+3xy-y²-5

的项与常数项。

3.多项式的次数与项数

1.项数：多项式中单项式的个数。3x²-2y-x+1/2

是四项式。

2.次数：

1.3.回顾单项式的次数。

2.4.提问：多项式3x²-2y-x+1/2

中，每个项的次数分别是多少？（2,1,1,0）

3.5.引出多项式次数定义：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

4.6.所以，3x²-2y-x+1/2

的次数是2，它是二次四项式。

5.7.特别强调：多项式的次数不是所有项次数的和，而是“最高次项的次数”。

6.8.练习：指出下列多项式的项数、次数及几次几项式。

x³-2x²y+3y²-1

（四次四项式）

2a²b-ab+b²

（三次三项式）

4.整式的系统化认知

提问：单项式和多项式统称为什么？（整式）

师生共同用韦恩图或结构图梳理关系：代数式包含整式，整式包含单项式和多项式。

三、技能深化——多项式的排列（约10分钟）

1.情境引入：观察多项式x²+3x-4x³+1

，感觉顺序有点“乱”。为了研究和计算的方便，我们常常将多项式按某个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列。

2.降幂排列：按字母x

的指数从大到小排列：-4x³+x²+3x+1

。

1.3.强调：移动的是“项”（连同符号一起移动）；排列前后多项式不变。

2.4.练习：将3xy-2+x²-y³

按x

的降幂排列。

5.升幂排列：按字母x

的指数从小到大排列：1+3x+x²-4x³

。

6.说明：若未指明按哪个字母排列，则通常指按次数排列或按默认主元（如x

）排列。

四、综合辨析与应用（约7分钟）

1.概念辨析题组：

1.2.判断：多项式5x²-3x+2

的次数是7。（）

2.3.判断：多项式3a-2/b+1

是二次三项式。（）

3.4.填空：多项式-x+2πx²y-1

是___次___项式，常数项是___，按x

的降幂排列为___。

5.实际应用建模：

1.6.用一根长为l的绳子围成一个长方形，若长方形的一边长为a，则另一边的长为______，长方形的面积为______。（这两个代数式分别是关于a的几次多项式？）

五、小结与作业（约3分钟）

1.小结：多项式是多个单项式的“和”，把握“项”（带符号）、“次数”（看最高）、“排列”（按顺序）三个关键词。

2.作业：完成多项式相关练习，预习整式的加减。

第五课时：单元整合、拓展与评价

教学目标：

1.系统梳理本单元知识结构，构建完整的认知体系。

2.通过综合应用与易错点辨析，深化对核心概念的理解，提升解决问题的能力。

3.进行单元学习评价，检测学习效果。

教学重点：知识体系构建与综合应用。

教学难点：灵活运用本单元知识解决跨学科、综合性实际问题。

教学过程：

一、知识网络构建（约15分钟）

引导学生以小组为单位，通过思维导图的形式梳理本单元核心知识。教师提供主干框架：

代数式

|

整式

/\

单项式多项式

/\/\

系数次数项次数项数排列

要求各小组填充具体内容，包括：定义、关键词、例子、注意事项等。完成后进行小组间展示交流，互相补充完善。教师最终呈现一份完整的、规范的知识网络图。

二、核心能力进阶训练（约20分钟）

设计一组层层递进的题组，涵盖本单元所有核心概念与技能。

题组一：概念精准理解

1.在代数式(3x)/4

,(x+y)/5

,s/t

,-5

,0

,m

,x²-2x+1

,πR²

中，整式有______；单项式有______；多项式有______。

2.若(a-3)x²y^(b+1)

是关于x,y的五次单项式，则a______,b______。

题组二：综合应用与建模

1.（规律探究）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形。

（图略，呈现三角形点阵或正方形点阵）

第1个图需4枚，第2个图需7枚，第3个图需10枚…

（1）按此规律，第n个图形需要______枚棋子（用含n的整式表示）。

（2）判断这个整式是几次几项式。

（3）第10