2025-2026学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学锡西分校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学锡西分校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（2）+ln（x-1），则f（2）=（）A.-1 B. C.-4 D.e2.函数的图象大致为（）A. B.

C. D.3.如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.24种

B.48种

C.72种

D.96种4.曲线f（x）=xex-e在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（）A.e B. C. D.5.近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A=“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件B=“甲和乙选择不同的景点”则P（B|A）=（）A. B. C. D.6.某种产品的加工需要经过5道工序，A，B是其中两道工序，如果A工序不能放在最前，也不能放在最后且A和B两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（）A.24 B.36 C.48 D.1207.若lna=-1，eb=，3c=ln3，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞c＞b B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.a＞b＞c8.函数f（x）=+lnx+b（a∈R，b∈R）的两个极值点x1，x2满足x1＜x2≤2x1，则x1+2x2的最大值为（）A.2ln2 B.3ln2 C.4ln2 D.5ln2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知（2-x）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（）A.a0=210

B.a0+a1+a2+…+a11=0

C.

D.a1+2a2+3a3+…+11a11=-1110.为促进学校发展，2026年省锡中、省锡中锡西分校、洛社高中、玉祁高中四校组成“和美联盟”.锡西分校决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（）A.若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法

B.若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法

C.若甲不去省锡中，乙不去洛社高中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法

D.若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，锡西分校计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种11.定义：设f（x）为三次函数，f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为三次函数y=f（x）图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数f（x）=ax3-x2+b（a≠0）的极大值点和极小值点分别为x1，x2，且有x1+x2=f（x1）+f（x2）=2，则下列说法中正确的是（）A.

B.方程f（x）-1=0有三个根

C.若关于x的方程f（x）=t在区间[0，3]上有两解，则

D.若函数f（x）在区间（m,1-2m）上有最大值，则m∈[-1，0）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）=3x+sinx,则不等式f（x-2）+f（x2）＜0的解集为

.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案.若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为

.14.甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则q-p取得最大值时p=______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在的展开式中，第4项与第2项的二项式系数之比为7：1.

（1）求二项式系数最大的项；

（2）求的展开式中含x-1项的系数；

（3）若的第k项是有理项，求k的取值集合.16.(本小题15分)

某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.

（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；

（2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=2ex-ax-1，a∈R.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≤xlnx有解，求a的取值范围.18.(本小题17分)

某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分.将每次得分的结果相加作为最终得分.已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点（xn，yn），且最终得分为Xn.

（1）求x3的概率分布列；

（2）若n=10，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？

（3）求Xn的数学期望和方差.19.(本小题17分)

定义“下凸函数”f（x）在区间I上，对任意x1，x2，⋯，xn∈I，均有，当且仅当x1=x2=⋯=xn时，等号成立.若函数f（x）在区间I上存在二阶可导函数，则f（x）为区间I上的“下凸函数”的充要条件是f″（x）≥0（f″（x）为f′（x）的导函数）.

（1）若f（x）=aex-x2是[0，2]上的“下凸函数”，求实数a的取值范围；

（2）证明：函数g（x）=ex+cosx在上为“下凸函数”；

（3）已知正实数x1，x2，⋯，xn满足x1+x2+⋯+xn=1，求的最小值（用含n的代数式表示）.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】CD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】（-2，1）

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】1120x-6

112

{1，3，5，7，9}

16.【答案】解：（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率为；

（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，5，6，

，

，

，

，

，

则X的分布列为X23456P所以．

17.【答案】当a≤0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞），无减区间；当a＞0时，函数f（x）的减区间为（-∞，ln），增区间为（ln，+∞）

[2e-1，+∞）

18.【答案】分布列见解析；

点（3，7）；

，．

19.【答案】[2，+∞）

证明：由g（x）=ex+c