专题2.2 分式方程及其应用-中考数学重难点突破训练

专题2.2分式方程及其应用—中考数学重难点突破训练一、选择题1．下列方程中，不是分式方程的是（）A．−x2=5C．2x+53x=7x+12．如果关于x的分式方程mxx+2A．-1 B．1或0 C．1 D．1或-13．已知关于x的分式方程m1−xA．−8 B．−9 C．−10 D．−114．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112A．5 B．10 C．15 D．205．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A．10 B．15 C．18 D．206．若关于的不等式组3x+54≤x+32x+12A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或77．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了80hm2长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhmA．801+15%x−C．80x−808．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（)A．30x=30+10C．30x=309．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■．”设绫布有x尺，则可得方程为120−896A．每尺绫布比每尺罗布贵120文B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D．绫布的总价比罗布总价便宜120文10．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程1500xA．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个二、填空题11．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程。12．当x的值为时，代数式x−5x−8和4−2x13．从−3,−2,−1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：2x−mx+1=3的解是负数，且使关于x的函数y=m−314．若正整数a使得关于x的分式方程2+ax−4=10−xx−415．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在a⊗b=1a+1b．若x+116．若关于x的不等式组3x+1>a−2x+1,2x−1≤1+x,恰有4个整数解，关于t的分式方程3三、解答题17．解分式方程：（1）x（2）218．先化简，再求值：x+6x2−419．小明解方程2x方程两边都乘以x，得2−(x−1)=1（第一步）去括号，得2−x+1=1（第二步）移项，合并同类项，得−x=−2（第三步）解得x=2（第四步）∴原方程的解为x=2（第五步）（1）小明解答过程是从第_____步开始出错的，这一步正确的解答结果_____，此步的根据是_____．（2）小明的解答过程缺少_____步骤，此方程的解为_____．20．已知关于x的分式方程4（1）若分式方程的解是x=5，则a的值是；（2）若分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，求所有满足条件的偶数a的值之和.21．小华在解分式方程2xx−2（1）她把这个数“？”猜成−3，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？22．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式2x+5x−3①2x+5>0x−3>0或②解不等式组①得x>3，解不等式组②得x<−5所以原不等式的解集为x>3或x<−5请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式3x−4x−223．阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13所以x故x2x4（1）【类比解答】上题的解法叫做＂倒数法＂，请你利用＂倒数法＂解决下面的题目：知xx2−3x+1（2）【拓展拔高】已知1a+124．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式M=xx+1，N=1（1）已知分式A=3x−4x−2，①C所代表的代数式为________；②求x的值．（2）已知分式P=3x−5x−3，Q=mx−325．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数?最大生产总量是多少?26．根据以下素材，完成问题一和问题二。背景2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。图片素材一某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。素材二该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同。素材三该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。问题一“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个?问题二若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.27．综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.【洗衣过程】步骤一：将校服放进消水中，加入洗衣液，充分浸泡採溔后拧干；步摖二：将拧干后的校服放进捎水中，充分漂洗后拧干：重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：.d后=0.5d前0.5+w，其中d前、d【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%（2）如果把4kg（3）比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.28．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．西红柿销售方案素材1“有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍。素材2同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg．素材1惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg，其中白天（7：00－19：00）可销售20kg，剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图。素材1在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克。问题解决任务1两种西红柿每千克进价各是多少元？任务2若期望销售有机西红柿利润不低于20%任务3若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是2kg），则每天进货多少时利润最大？

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：观察可知A中等式左右两边都是整式，故不是分式方程，而B、C、D中都是分母中含字母的方程，即为分式方程.故答案为：A.【分析】根据分式方程的定义直接观察判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：原方程去分母得mx+x=2x+4，整理得(m−1)x=4，当m−1=0，m=1时，0x=4无解，那么原方程无解，符合题意，当m≠1时，若方程无解，那么它有增根x=−2，则−2(m−1)=4，解得：m=−1，综上，m的值为1或−1，故答案为：D.【分析】将原方程去分母整理得(m−1)x=4，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可．3．【答案】A【解析】【解答】解：方程两边同乘x−1得，−m+3x−1∴x=m+5∵关于x的分式方程m1−x+3=2x−1∴x=5+m3>0∴m>−5且m≠−2，∴符合条件的非正整数为0，−1，−3，−4，

∴0−1−3−4=−8．故选：A．

【分析】先解分式方程得x=5+m4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，18解得x=20，经检验，x=20是原方程的解，符合题意，因此x的值为20.故答案为：20.【分析】根据数定义的运算法则列方程求出x的值解答即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，依题意得：xx+70解得x=10，经检验，x=10符合题意，故布袋中黑球的个数可能有10个．故选：A．【分析】设布袋中黑球的个数可能有x个，根据频率估计概率建立方程，解方程即可求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】解：解不等式组3x+54≤x+3∵不等式组无解，∴a−1≥1，∴a≥2，分式方程5−ay2−y方程的两边同时乘(y−2)，得，ay−5−y+2=3，整理得，(a−1)y=6，∴y=6∵方程有整数解，∴a−1=±1或±2或±3或±6，∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=4或a=−2或a=7或a=−5，∵a≥2，y≠2，∴a≠4，∴a=2或a=3或a=7，故答案为：D．

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值.7．【答案】D【解析】【解答】

解：设原计划每天种植的面积为xhm2，

由题意得，故答案为：D.【分析】

本题考查了分式方程的实际应用，根据题意，原计划每天种植面积为xhm2，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为1+15%x8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得，

30x=301.2x9．【答案】C【解析】【解答】解：设：绫布有x尺，则罗布有(30−x)尺，∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，∴每尺绫布的费用为896x元，每尺罗布的费用为896∵120−896∴896x∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．故选：C．

【分析】设绫布有x尺，则罗布有(30−x)尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．10．【答案】D【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，

由方程1500x故答案为：D【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.11．【答案】10【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得

10x=40x+6.

故答案为：12．【答案】3【解析】【解答】解：由题意得x−5x−8【分析】先根据相反数定义列出方程，再通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可.13．【答案】4【解析】【解答】解：2x−mx+1解得，x=−m−3，∵方程的解是负数，∴−3− m<0−3−m≠−1解得：m>−3且m≠−2，∵关于x的函数y=m−3∴m−3<0，∴m<3，∴−3<m<3，且m≠−2，∴m=−1或0或1或2，有4种可能，故概率为47故答案为：47．

【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组−3− m<0−3−m≠−1，求解得出m的取值范围；由反比例函数14．【答案】4【解析】【解答】解：解分式方程2+a可得x=18−a∵x为正整数，a为正整数，∴18−a3>0且a>0，解得∵x−4≠0，∴x≠4，即有18−a3∴a≠6，∴a=15，12，9，3，∴符合条件的所有正整数a的个数有4个．故答案为：4．【分析】解分式方程可得x=18−a15．【答案】−2【解析】【解答】解：∵x+1⊗x=∴1x+1∴x+x+1=3x+1∴x+x+1=3x+3，解得x=−2，检验，当x=−2时，xx+1∴x=−2，故答案为；−2．【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.16．【答案】−12【解析】【解答】解：3x+1>a−2x+1由①得：x>a−3由②得：x≤2，

∵该不等式组有四个整数解，∴不等式组的解集为a−35<x≤2，即x=2、1、0、-1，

∴解得：−7≤a<−2，∵31−t解得：t=a+52，且∴a≠−3，∵分式方程的解为整数，且−7≤a<−2，∴a=−7或−5，则满足题意整数a之和为−7−5=−12．故答案为：−12．【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。17．【答案】（1）解：方程两边同时乘3(x-1)，得

3x=1-3(x-1)

化简，得

3x-2=0

解得：x=23，

经检验，x=23是原分式方程的解.

（2）解：方程两边同时乘(x-1)(x+1)，

得2+x(x+1)=(x-1)(x+1)

化简，得x+3=0

解得：x=-3

经检验，x=-3是原分式方程的解

∴原方程的解为x=-3.【解析】【分析】（1）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性；

（2）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性.18．【答案】解：x+6====22x2x−3=x−2，解得：x=1，经检验，x=1时，x−2≠0，则x=1是原分式方程的解，把x=1代入2xx+2【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.19．【答案】（1）一；2−(x−1)=x；等式的基本性质（2）检验；x=1.5.【解析】【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的解答结果2−(x−1)=x，此步的根据是等式的基本性质．（2）小明的解答过程缺少检验步骤，此方程的解为x=1.5．故答案为（1）一；2−(x−1)=x；等式的基本性质；

（2）检验；x=1.5.【分析】(1)本题考察分式方程的求解及等式的基本性质。解分式方程时，方程两边同乘最简公分母x，目的是消去分母，根据等式的基本性质，等式两边应同时乘x，因此右边应为x×1=x，而小明写成了1，所以第一步出错，正确结果为2-(x-1)=x。

(2)本题考察分式方程的检验步骤，分式方程的解可能使分母为零，因此必须检验。解正确方程2-(x-1)=x，得x=1.5，将其代入原方程检验，分母不为零且等式成立，故x=1.5是原方程的解。20．【答案】（1）-5（2）解：4x−ax−2−2a2−x=5.

4x-a+2a=5(x-2)

4x-5x=-10-a

∴x=10+a

∵分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，

∴10+a≥0且a-1≤1，

∴-10≤a≤2，【解析】【解答】解：（1）将x=5代入分式方程4x−ax−2−2a2−x=5，

得21．【答案】（1）解：2xx−2方程两边同时乘x−2得2x−3=3x−2解得x=3，经检验，x=3是原分式方程的解．（2）解：设？为m，则分式方程为2xx−2+mx−2=3，方程两边同时乘x−2得2x+m=3x−2

整理得，x=m+6

由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即x=2

所以把x=2代入得2=m+6，解得【解析】【分析】(1)本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“?”替换为-3，方程变为2x−3x−2=3；方程两边同时乘最简公分母x−2，将分式方程转化为整式方程2x−3=3(x−2)；解这个整式方程，得x=3；检验：将x=3(2)本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“?”为m，原方程变为2x+mx−2=3；方程两边乘x−2得2x+m=3x−6，整理得x=m+6；因为原分式方程无解，所以存在增根x=2（使x−2=0）；将x=2代入x=m+6，得2=m+6，解得（1）解：2xx−2方程两边同时乘x−2得2x−3=3x−2解得x=3，经检验，x=3是原分式方程的解．（2）解：设？为m，则分式方程为2xx−2方程两边同时乘x−2得2x+m=3整理得，x=m+6由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即x=2所以把x=2代入得2=m+6，解得m=−4，所以，原分式方程中“？”代表的数是−4．22．【答案】解：根据题意，∵x−2≠0，则x≠2；∵3x−4①3x−4≥0x−2<0或②解不等式组①，得：43解不等式组②，得：无解，∴原不等式的解集为：43【解析】【分析】类比有理数的除法可知分子、分母异号，得到不等式组，解不等式组求出解集即可.23．【答案】（1）解：∵∴x≠0∴x2∴∴（2）解：∵1∴2(1∴∵ab+bc+acabc∴【解析】【分析】（1）根据倒数法的定义计算即可求出答案.

（2）根据倒数法的定义计算即可求出答案.24．【答案】（1）①−2x−4；

解：②∵B=C∴x−2=−1或x−2=−2，∴x=1（x=0舍去）．（2）解：由题意，得P+Q=3x−5∴3x−5−mx+3∴3−m整理，得1−mx=−4∵方程无解，∴1−m=0或x=3，当1−m=0时，解得m=1；当1−m≠0，x=3时，−41−m解得m=7综上，m的值为1或73【解析】【解答】（1）解：①∵A=3x−4x−2，∴A+B=3x−4∵A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，∴3x∴C=3x2−12−3【分析】（1）①先根据异分母分式加法法则求出A+B，然后根据A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，得出3x2+2x−8+C=3x−2x+2，进而将C作为未知数，解该方程即可；

②把①所求的C的值代入B=（2）将P、Q所表示的式子代入P+Q=2整理可得1−mx=−4；然后根据分式方程“无解”（1）解：①∵A=3x−4x−2，∴A+B=3x−4∵A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，∴3x∴C=3x②∵B=C∴x−2=−1或x−2=−2，∴x=1（x=0舍去）．（2）解：由题意，得P+Q=3x−5∴3x−5−mx+3∴3−m整理，得1−mx=−4∵方程无解，∴1−m=0或x=3，当1−m=0时，解得m=1；当1−m≠0，x=3时，−41−m解得m=7综上，m的值为1或7325．【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意得：1800解得：x=110，经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x=1.5×110=165（件)。答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，根据题意得：w=165m+110（30-m)=55m+3300，∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，∴m≤2（30-m)，解得：m≤20，∵55>0，∴w随m的增大而增大，又∵m为正整数，∴m最大取20，∴当m=20时，w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天)。答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；

（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30−m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．26．【答案】解：问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，

则700解得：x=70，经检验x=70是分式方程的解，且符合题意x+20=70+20=90，答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元。问题二：W=（80-70)a+（105-90)（200-a)=-5a+3000根据题意可得：70a+90（200-a)≤16800解不等式得：a≥60，∵k=-5<0，

∴W随