高二数学下学期期中模拟卷01（人教A版）（全解全析）

1/32025-2026学年高二下学期期中模拟卷01数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导正确的（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D.【详解】，A不正确；，B不正确；，C不正确；，D正确.故选：D2．已知函数的导函数为，满足，则（

）A． B． C．3 D．8【答案】A【分析】应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求.【详解】由题设，可得，故，所以，故.故选：A3．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（

）A．36种 B．72种 C．144种 D．288种【答案】C【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法；第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法.根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种.故选：C4．设数列满足，且，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项.【详解】数列中，，且，则，，因此数列是周期为4的数列，所以.故选：C5．学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生，事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可.【详解】事件为研学团中男生人数多于女生，设事件为男生甲被选中，则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生.所以，，所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为.故选：B6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数求得的最小值，即可得解.【详解】因为在上单调递增，所以在恒成立，即对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即的取值范围是.故选：B.7．已知数列满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解.【详解】由数列满足，则，所以，又由函数在上单调递减，在上单调递增，因为，当时，可得；当时，可得，因为，所以的最小值为.故选：A.8．已知实数，满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，题设转化为，进而构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，，进而求解即可.【详解】由题意可得，设，则，故，即，令，则，当时，，在单调递增；当，，在单调递减.所以，所以，令，则，当，，在单调递增；当，，在单调递减.故，所以.由题意可知若，则，故，，此时且，解得，故.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（

）A．若为等差数列，则的公差为1B．若为等差数列，则的首项为1C．D．【答案】AD【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D．【详解】因为，所以，两式相减得．若数列为等差数列，则的公差．又，所以，解得，所以A正确，B错误；，所以，所以C错误．因为，所以恒成立，即成立，所以D正确，故选：AD．10．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D.【详解】由题意可知，A正确，B错误；，C正确；，D正确；故选：ACD.11．设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在，使得为曲线的对称轴D．存在，使得点为曲线的对称中心【答案】ABD【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D.【详解】解：对于A，因为，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为，所以有三个零点，故A正确；对于B，由A可知，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，故B正确；对于C，因为，，因为无解，所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误；对于D，因为，，当函数关于点中心对称时，则有点，即，所以，解得，所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12．的展开式中的系数为______【答案】【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可.【详解】因为，由二项展开式通项公式可得，令解得，此时，令解得，此时，所以的展开式中的系数为，故答案为：13．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为______．【答案】【分析】根据求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为等比数列的前项和，当时，，当时，，满足，即，解得，故，故对任意的，，即数列为等比数列，故.故答案为：．14．若不等式对恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由题可得，，利用导数知识求得函数值域及单调性可得答案.【详解】不等式对恒成立，则对恒成立，，.令，，.；，则在上单调递减，在上单调递增，从而.令，则.令，，则.注意到，则，.则在上单调递增，在上单调递减，则，从而.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求得展开式的通项公式为，根据第5项与第3项的系数之比为，累成方程，求得的值；（2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解；（3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解.【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为，因为第5项与第3项的系数之比为，可得，即，解得或（舍），所以.（2）解：由（1）知二项式，根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为.（3）解：由（1）知，二项展开式的通项为，当时，展开式的项的系数为负；当时，展开式的项的系数为正，所以令，可得，即.16．（15分）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；(2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.【答案】(1)甲恰好投中1次的概率大.(2)，最大值为.【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解.（2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解.【详解】（1）甲恰好投中1次的概率为，乙恰好投中1次的概率为，所以甲恰好投中1次的概率大.（2）丙恰好投中1次的概率为.令.求导得：.由，解得，故在上单调递增：由，解得，故在上单调递减，所以.所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为.17．（15分）已知数列中，，且满足．(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)令，为数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解；（3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明.【详解】（1）由题意知，所以，由于，故，故，故数列是以3为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以，故（3）由（2）知．，所以，-故由于，故，18．（17分）已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)若，求的取值范围；(3)若有两个实数解，，证明：.【答案】(1)单调减区间为，单调增区间在为.(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的正负求解原函数的单调区间；（2）等价变形为，构造函数求最值即可；（3）由（2）知方程要有两实数解，则，即，欲证，转化为证明即可，通过构造函数，利用函数的单调性来证明.【详解】（1）（1）当时，，则令，当时,在上单调递减，当时,在上单调递增，所以单调减区间为，单调增区间在为.（2）由可知，，，即在上恒成立，

设，，

当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为，

由题意知，即，故的取值范围为；（3）方程有两实数解，，即有两实数解，不妨设，由（2）知方程要有两实数解，则，即，同时，，，

，则，在单调递减，欲证，即证，，

等价于，即，

等价于，整理得①，

令，①式为，又在单调递增，故①式等价于，即，令，，

当时，，在单调递增，又，，即，所以，则.19．（17分）已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)时；（ⅰ）若，求的取值范围；（ⅱ）证明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【分析】（1）令时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.（2）（ⅰ