专题09一元二次方程及其应用（37题）2026年中考数学真题模拟试卷 含答案

/专题09一元二次方程及其应用（37题）一、单选题1．（2025·黑龙江·中考真题试卷）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2025·广西·中考真题试卷）已知是方程的两个实数根，则（

）A． B． C．20 D．253．（2025·福建·中考真题试卷）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（

）A． B． C． D．4．（2025·甘肃·中考真题试卷）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·中考真题试卷）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2025·河北·中考真题试卷）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2025·重庆·中考真题试卷）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（

）A． B． C． D．8．（2025·江苏扬州·中考真题试卷）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况9．（2025·河南·中考真题试卷）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根10．（2025·湖北·中考真题试卷）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．（2025··中考真题试卷）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2025··中考真题试卷）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（

）A． B．C． D．13．（2025·四川德阳·中考真题试卷）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（

）A．2 B．0 C． D．14．（2025·安徽·中考真题试卷）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．15．（2025·云南·中考真题试卷）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．16．（2025·四川广安·中考真题试卷）关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定17．（2025·四川遂宁·中考真题试卷）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2025·四川内江·中考真题试卷）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且19．（2025·四川凉山·中考真题试卷）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（

）A．B．C．D．20．（2025·重庆·中考真题试卷）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题试卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为．22．（2025·山东威海·中考真题试卷）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为．23．（2025·四川广安·中考真题试卷）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为．24．（2025·山东威海·中考真题试卷）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则．25．（2025·江苏苏州·中考真题试卷）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则．26．（2025·四川眉山·中考真题试卷）已知方程的两根分别为，，则的值为．27．（2025·山东·中考真题试卷）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．28．（2025·上海·中考真题试卷）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．29．（2025·四川达州·中考真题试卷）已知关于的方程的一个根是，则的值为．30．（2025·四川成都·中考真题试卷）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为．31．（2025·四川泸州·中考真题试卷）若一元二次方程的两根为，则的值为．三、解答题32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题试卷）解方程：33．（2025·山东威海·中考真题试卷）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．34．（2025·陕西·中考真题试卷）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．35．（2025·四川泸州·中考真题试卷）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．36．（2025·四川南充·中考真题试卷）设，是关于的方程的两根．(1)当时，求及m的值．(2)求证：．37．（2025·福建·中考真题试卷）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．(1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为．①求该二次函数的表达式；②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．《专题09一元二次方程及其应用（37题）-2026年中考数学真题试卷分类汇编（全国通用）》答案题号12345678910答案BCCBCCBAAD题号11121314151617181920答案BACDABDCCC1．B本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可．设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即．根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：．故选B．2．C本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．解：∵是方程的两个实数根，∴．故选：C3．C本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：；故选：C．4．B本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可．解：对于方程，其根的判别式为：，∵方程有两个实数根，∴，即，解得，故选：B．5．C本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，①当时，点M在上，此时，，∴，∴，故①正确；②当时，点M在上，此时，，∴，∴，∵，∴当时，随t的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为，即当时，的最大面积为，故②错误；③当点M在上时，∵的面积为，∴，解得：（舍去），∴当时，的面积为；当点M在上时，∵，，∴，即，此时，解得：，∴当时，的面积为；∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．故选：C6．C本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．解：原方程展开并整理为标准形式：其中，，．∴，．∴点即的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．故选：C．7．B本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．解：设年平均增长率为x，可得方程，解得或（舍去负值），所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为，故选：B8．A本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．解：，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．9．A本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．解：一元二次方程，，方程有两个不相等的实数根，故选：A．10．D本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案.解：对于方程，设其根为和，根据根与系数的关系：∴，；故选：D11．B本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ<0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．解：∵关于x的一元二次方程无实数根，∴，解得：，故选：B．12．A本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.解：设矩形的宽为，则矩形的宽为，∴故选：A.13．C本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可．解：∵方程有两个相等的实数根，∴，∴．故选：C．14．D解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键．解：选项A：，，，，无实数根，不符合题意；选项B：，，，，有两个相等的实数根，不符合题意；选项C：，，，，无实数根，不符合题意；选项D：，，，，有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．15．A本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程．解：设该书店每月盈利的平均增长率为，由题意得：，故选：A．16．B此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可．解：对于方程，其判别式为：由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根．故选：B17．D本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围．解：对于方程，其判别式为：，方程有实数根需满足，即：，解得；故选：D．18．C本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴二次项系数，即．令，即，解得．∴且故选：C．19．C本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案．解：设月平均增长率为x，由题意得，，故选：C．20．C本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．解：当时，，当，时，整式M为，当时，整式M不可能为单项式，当时，，，…，为正整数，整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；当时，，当时，，则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，当时，，则故会有一种情况，对应的整式M为，当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，满足条件的所有整式M的和为，故②错误；多项式为二次三项式，，，因为多项式为三项式，故，当时，，则有两种，，，两种都满足条件，当时，，则有一种，，满足条件，当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，其中正确的个数是个，故选：C．21．此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．解：当时，，解得，∴点B的坐标为，∵点C坐标为，∴，设点A坐标为，∴∵，∴，∴，解得（不合题意，舍去）∴，∴点A坐标为，∴，解得，故22．/本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．解：如图，设，则，则在直角三角形中，由勾股定理可得：，即，解得：或（舍去），∴正方体的棱长为cm，故．23．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．解：方程的两根分别为和，，，，．故．24．首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可．解：根据题意得，四边形的面积四边形面积∵四边形的面积等于四边形面积的2倍∴整理得，∴设，∴解得或（舍去）∴故．此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．25．本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∵，∴；故．26．本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可．解：由题意，得：，∴；故．27．本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：；故．28．本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．解：由题意，得：，解得：；故．29．本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．解：∵关于的方程的一个根是，∴解得：，故．30．/本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，∴且，列表如下：1212由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，故．31．10本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．先根据题意得到，，则将变形为，即可求解．解：∵一元二次方程的两根为，∴，，∴，∴，故10．32．，本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．解：，，，或，∴，33．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．解：设小路的宽度为，由题意得，，整理得，解得或（舍去），答：小路的宽度为．34．(1)(2)本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，∵，∴结合二次函数的对称性得，将代入，得则，∴；（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，∵，，．，且抛物线的函数表达式为，∴，整理得，∴，∴，解得，∴．35．(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为(2)最少