2025-2026学年湖南省湘潭市电机子弟中学高一（下）摸底数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省湘潭市电机子弟中学高一（下）摸底数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=1−3i，z−是z的共轭复数，则复平面内z−对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知命题p：∀x≥1，x2−x≥0，则命题p的否定为(

)A.∃x≥1，x2−x<0 B.∃x<1，x2−x<0

C.∀x≥1，x23.已知x>1，x+2x−1的最小值为(

)A.3 B.4 C.22+14.已知a=213,b=(13)13,c=loA.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a5.已知sin(π6+α)=13，且α∈(A.13 B.−13 C.26.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m/​/α，n/​/β，则“m⊥n”是“α⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为(

)A.23π B.33π8.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，点E在AD上，且AE=2ED，则BE⋅AD=(

)

A.293 B.−293 C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知角α的终边经过点P(3,−4)，则(

)A.sinα=−45 B.tanα=43

C.10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A.直线MN与直线AC所成的角是π3

B.直线MN与平面ACC1A1所成的角是π6

C.二面角M−AB−C的平面角是π3

11.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列命题正确的有(

)A.若b=1，c=2，A=π6，则△ABC的面积为12

B.若b=5，B=π4，sinA=25，则a=22

C.若sin2A+sin2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=11+i+m是纯虚数，则实数m=

13.已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为10，则该圆台的体积为

．14.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)为增函数，又f(2)=0，则不等式x⋅f(x)>0的解集为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,−x)，(Ⅰ)若a⊥b，求(Ⅱ)若a/​/b16.(本小题15分)

已知函数f(x)=log2(2x−3)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)=2，求x的值；

(3)∀x∈[2,+∞)，f(x)−a>0成立，求实数a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a的最大值为1．

(1)求常数a的值；

(2)求函数f(x)18.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．

(1)求证：PC//平面BDE；

(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(3)若PA=AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=34(a2+c2−b2).

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)求sinAsinC取值范围；

(Ⅲ)如图所示，当sinAsinC

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AB

12.【答案】−113.【答案】7π

14.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)

15.【答案】解：(1)∵a⊥b，

∴a⋅b=(1,x)⋅(2x+3,−x)=2x+3−x2=0

整理得：x2−2x−3=0

解得：x=−1，或x=3

(2)∵a/​/b

∴1×(−x)−x(2x+3)=0

即x(2x+4)=0

解得x=−2，或x=0

当x=−2时，a=(1,−2)，b=(−1,2)

a−b=(2,−4)16.【答案】解：(1)由2x−3>0，得x>32，

则函数f(x)的定义域为(32,+∞)；

(2)由f(x)=log2(2x−3)=2=log24，得2x−3=4，即x=72；

(3)∀x∈[2,+∞)，f(x)−a>0成立，即a<f(x)成立，

所以a<f(x)min，x∈[2,+∞)，

而函数f(x)=log17.【答案】解：(1)由题意：函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a，

化简得：f(x)=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx+a

=3sinx+cosx+a

=2sin(x+π6)+a，

∵sin(x+π6)的最大值为1，

∴f(x)=2×1+a=1，解得：a=−1．

(2)∵由(1)可知f(x)=2sin(x+π6)−1．

根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)．

即2kπ+π18.【答案】解：(1)证明：设AC交BD于M，连接ME．

∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，

又E为PA的中点，∴ME/​/PC，

又∵ME⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，

∴PC/​/平面BDE．

(2)证明：∵四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

又AC∩PA=A，确定平面PAC，

∴BD⊥平面PAC．

又∵BD⊂平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE．

(3)连接PM，

∵BD⊥平面PAC，

∴PM是PB在平面PAC上的射影，

即∠BPM为直线PB与平面PAC所成的角，

∵PA=AB=2，

∴PB=22，BM=2

19.【答案】(Ⅰ)△ABC中，面积为S=34(a2+c2−b2)，又S=12acsinB，cosB=a2+c2−b22ac；

所以34⋅2accosB=12acsinB，

所以tanB=3，

又B∈(0°,180°)，

所以B=60°；

(Ⅱ)由(1)得，A+C=120°，得0°<A<120°，

所以sinAsinC=sinAsin(120