正态分布学历案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布学历案【学习主题】正态分布。人教A版2019选择性必修第三册第七章7.5（1课时）。【课标要求】通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义。【学习目标】1.通过高尔顿钉板实验，直观感受正态曲线的形成过程；2.理解正态分布的概率密度函数，借助正态曲线的几何特征研究性质，能说出μ和σ的几何意义与统计含义；3.掌握3σ原则并能用于实际决策；4.体会“偶然中的必然”这一统计学哲学思想。【评价任务】1.完成问题链1.(检测目标1)2.完成问题链2、探究活动1、2，回答思考1，完成练习1、2.(检测目标2)3.完成探究活动3，回答思考2.(检测目标3)【学法建议】1.

本主题内容是人教A版《高中数学选择性必修第三册》第7章随机变量及其分布第5节正态分布，是连续型随机变量分布的核心内容；2.

本主题是在学习了离散型随机变量及其分布（二项分布、超几何分布）之后，对随机变量研究的进一步拓展，也是后续学习统计推断的重要基础。学习过程中要充分借助频率分布直方图、正态曲线的几何直观，通过“观察-猜想-论证-应用”的流程探究性质，以形助数，数形结合；3.

本主题的重点是正态分布的概念、正态曲线的性质及“3σ原则”的应用；难点是正态密度函数的理解、利用正态分布解决实际问题及对连续型随机变量概率意义的理解；4.

本主题的课中学习按以下流程进行：概念引入→正态曲线性质探究→“3σ原则”理解→概率计算→实际应用→综合探究。学习过程中可以独立探究，也可以参考学历案给出的建议进行合作探究，在合作环节主动与同学或老师交流协作；5.

本主题课后检测中的A组练习为合格标准，B组练习为较高要求，可根据需要选择完成。【学习过程】课前准备1.知识回顾：什么是频率分布直方图？频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于多少？2.概念辨析：什么是连续型随机变量？连续型随机变量在某一点取值的概率是多少？它与离散型随机变量的主要区别是什么？3.根据课本P83食盐质量误差数据，绘制频率分布直方图。（一）情境导入：感知现象，引入课题1.实验激趣：观看高尔顿钉板实验视频，观察小球下落堆积后形成的曲线形状，提问：小球的堆积曲线呈现出怎样的规律？2.结合食盐误差、身高等数据分布图象，发现：大量随机变量的分布都呈现的特征.3.思考：既然每一次碰撞都是随机的，为什么最终结果却呈现出如此确定的“钟形”规律？这背后隐藏着什么数学秘密？（二）新知探究一：正态曲线与正态分布【问题链1】从频率分布直方图到密度曲线随着试验次数的增加，落入各个格子的小球越来越多，以小球落入各个格子的频率/组距为纵坐标，画出频率分布直方图.如果继续无限增加小球数量，频率分布直方图有什么变化？如果去掉下面的格子，把底部看成一个连续区间，小球的落点可以取哪些值？1.正态密度函数的定义：2.正态分布的定义：3.正态曲线的几何意义：思考1：若X~N(图1练习1：已知三个正态密度函数φi(x)=1A.σ1=σ2B.μ1>【问题链2】正态曲线的性质小组讨论：从解析式出发，结合图象，探究正态曲线性质，尝试用函数知识证明。探究角度思考问题结论曲线位置曲线在坐标系哪个位置？对称性曲线关于哪条直线对称？峰值最高点的值是多少？渐近线曲线与x轴相交吗？两端趋近于哪里？总面积曲线与x轴之间的面积是多少？函数证明：练习2：已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X>5=0.2A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4新知探究二：参数的意义图2图3【探究活动1】参数μ的作用保持参数σ=1不变，分别改变参数μ为−1、0、2，观察曲线的变化.（图2）观察：曲线的形状是否改变？曲线的位置如何变化？μ的实际意义是什么？结论：【探究活动2】参数σ的作用保持正态分布的中心位置μ=0不变，分别将参数σ调整为0.5、1、2，观察曲线的变化.（图3）观察：曲线的对称轴是否改变？曲线的“高矮胖瘦”如何变化？σ的实际意义是什么？结论：自主归纳：若X~N(μ,σ2)，则【核心亮点】3σ原则正态分布概率区间思考2：(1)落在μ−3(2)这在实际中意味着什么？(提示：小概率事件)(3)能否根据3σ原则判断一个数据是否为异常值？描述3σ原则:【探究活动3】3σ原则的应用——异常检测生产情境：某工厂生产螺丝，其长度X服从正态分布X~N(20,0.09)（单位：mm）.质检时发现一枚螺丝长度为19.1.计算参数：μ=，σ=2.定范围：μ−33.比较判定：19.0是否在正常范围内？4.结论：是否合格？说明理由.(四)正态分布的应用领域生活中还有哪些现象可能服从正态分布？举例说明.1.教育领域2.生物特征3.工业生产4.自然与金融(五)易错辨析1.所有数据都服从正态分布.2.正态曲线在x=μ3.X是连续型随机变量，P(X=a)=0.4.正态曲线是轴对称图形.5.标准差越大，曲线越高越窄.三、课后检测A组(巩固学习)1.若X~2.已知某地区男性身高服从N(170,25),利用3σ原则，身高在160~180之间的比例约为_____.3.简述3σ原则在质量控制中的意义.B组(拓展学习)1.选取一组真实数据（如全班同学的身高或最近一次数学成绩），使用Excel或GeoGebra绘制分布图，并尝试估算其均值(μ)和标准差(σ).2.(小组合作)：查阅资料，深入了解“中心极限定理”的核心原理；