样本及其抽样分布

第六章样本(yàngběn)及其抽样分布第一页，共34页。第二页，共34页。(2)若P{F<λ}=α(α比较(bǐjiào)小),则则服从(fúcóng)自由度为n-1的t分布的随机变量是()6(974)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布,而设F~,对于给定定义:称n个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布,记作分布及其性质定义(dìngyì):设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.查表求100%分位数:且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))995(2)α的100α%分位数;第二十九页，共34页。例(993)设是来自正态总体X的s.第节抽样(chōuyànɡ)分布（3）h(t)的图形(túxíng)关于Y轴对称注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有性质(xìngzhì):样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(láizì)(或取自)某总体的样本。样本具有二重性:在抽样(chōuyànɡ)前,它是随机向量,在抽样(chōuyànɡ)后,它是数值向量(随机向量的取值)。样本选择方式(fāngshì):(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特别,样本容量<<总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.简单随机样本(s.r.s):

具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。

样本容量:

样本中所含个体的个数。第三页，共34页。如,检验(jiǎnyàn)一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体:这批灯泡(有限总体)个体:这批灯泡中的每一只样本(yàngběn):抽取的100只灯泡(简单随机样本(yàngběn))样本(yàngběn)容量:100样本(yàngběn)观测值:x1,x2,…,x100定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,…,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x))的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体(jùtǐ)观测值x1,x2,…,xn称为样本值XX1,X2,…,X100100样本值注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.第四页，共34页。总体(zǒngtǐ)选择(xuǎnzé)个体样本(yàngběn)观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论统计的一般步骤:推断总体性质

统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。第五页，共34页。

是来自总体例6.2.1

设未知,则()不是统计量。的s.r.s,其中已知,统计(tǒngjì)量定义(dìngyì):设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.统计(tǒngjì)量的分布称为抽样分布.第六页，共34页。①样本均值常用(chánɡyònɡ)统计量:②样本(yàngběn)方差③样本(yàngběn)标准差④样本k阶原点矩⑤样本k阶中心矩第七页，共34页。(6)顺序(shùnxù)统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察值为x1,x2,…,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),…,x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n))或它们的函数都称为(chēnɡwéi)顺序统计量.显然X(1)X(2)…X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))1)样本(yàngběn)中位数2)样本极差R=X(n)-X(1)第八页，共34页。样本分布函数(hánshù)(经验分布函数(hánshù))格里汶科定理(dìnglǐ):设总体X的分布(fēnbù)是F(x),则下式成立第九页，共34页。第节抽样(chōuyànɡ)分布一、样本均值的分布(fēnbù)定理：设X1，X2,…Xn是来自总体(zǒngtǐ)N(,2)的样本，是样本均值，则有注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有第十页，共34页。二、顺序统计(tǒngjì)量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概率密度函数为2、样本(yàngběn)中位数的概率密度函数为3、样本(yàngběn)极差的概率密度函数为其中第十一页，共34页。z

1-α例设X~N(0,1),分别(fēnbié)为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.Xφ(x)三、标准(biāozhǔn)正态分布及其100%分位数定义:设X~N(0,1),对任意(rènyì)0<<1,若P{X<λ}=,则称λ为标准正态分布的100%分位数,记为解:

时,反查表得:z类似可得:z=1.96,z－z

第十二页，共34页。分布及其性质1.定义:

称n个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布,记作(2)

X1,X2,…Xk独立,Xi~(ni),(i=1,2,…,k),则2.性质(xìngzhì):(1)X1,X2,…Xn独立(dúlì),Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则(3)X1,X2,…Xn为来自总体(zǒngtǐ)N(,2)的简单随机样本,则四、（4）第十三页，共34页。

例6.3.2

设是来自总体的s.r.s,则服从()分布。

例6.3.3(983)设是取自总体N(0,4)的s.r.s,

当a=

,b=

时,解(1)服从(fúcóng)(2)由题意(tíyì)得a=1/20b=1/100第十四页，共34页。3.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着(suízhe)n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.第十五页，共34页。4.

分布的100

%分位数定义:设,对于给定的

(0<

<1),若P{X<λ}=

,则称λ为自由度为n的分布的100%分位数,记为Xf(x)查表求100%分位数:(1)若P{X<λ}=

,则(1)若P{X>λ}=

,则例6.3.4.设X~(10),P{X>λ1}=0.025,P{X<λ2}=0.05,求λ1,λ2.解:查表得:查表得:第十六页，共34页。五、t分布(fēnbù)及其性质1.定义(dìngyì)

设随机变量,随机变量,Y且它们互相独立,则称随机变量

的分布为自由度是n的t分布,记作可以证明(zhèngmíng)t分布的概率密度函数为第十七页，共34页。特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近(jiējìn)于标准正态密度曲线.分布的密度(mìdù)曲线:Xf(x)第十八页，共34页。3、t分布(fēnbù)的性质（1）（2）（3）h(t)的图形(túxíng)关于Y轴对称第十九页，共34页。4.t分布(fēnbù)的100α%分位数:Xf(x)对于给定(ɡěidìnɡ)α(0<α<1),若P{t(n)<λ}=α,则称λ为t分布的100α%分位数,记为:1-α例6.3.5.

设t~t(15),求(1)α=0.995(2)α的100α%分位数;解:(1)λ=t(15),查表得(2)λ=t(15),查表得注:

第二十页，共34页。

例6.3.6(974)

设随机变量X和Y

相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X

和Y

的s.r.s,则统计量服从()分布,参数为().t9解:故与独立,所以(suǒyǐ)第二十一页，共34页。六、F分布(fēnbù)及其性质1.定义(dìngyì)

设随机变量随机变量且它们相互独立,则称随机变量的分布为自由度是的F

分布。记作可以(kěyǐ)证明，的概率密度函数为第二十二页，共34页。第二十一页，共34页。解(1)λ=F(24,15)特别,样本容量<<总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.的样本(yàngběn)，3、定理(dìnglǐ)样本(yàngběn)三、标准(biāozhǔn)正态分布及其100%分位数且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))分别是样本均值和样本方差，则有的样本(yàngběn)，三、标准(biāozhǔn)正态分布及其100%分位数第节抽样(chōuyànɡ)分布1)样本(yàngběn)中位数9(994)设是来自总体显然X(1)X(2)…X(n)分布(fēnbù)的概率密度曲线3.性质(xìngzhì):第二十三页，共34页。分布(fēnbù)的100α%分位数Xf(x)设F~,对于给定α(0<α<1),若P{F<λ}=α,则称λ为F分布的100α%分位数,记为:5.100α%分位数的计算(jìsuàn)(1)若P{F<λ}=α,则(2)若P{F<λ}=α(α比较(bǐjiào)小),则P{1/F<1/λ}=1-α,故第二十四页，共34页。例设F～F(24,15),分别(fēnbié)求满足解(1)λ=F(24,15)(2)λ=F(24,15)(3)α比较(bǐjiào)小,所以(suǒyǐ)第二十五页，共34页。七、抽样分布基本(jīběn)定理1、设是来自总体的s.r.s,

表示样本均值，则