河南省焦作市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页河南省焦作市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，设向量，，若，则实数的值为（

）A．1 B．3 C．7 D．144．如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（

）A．256 B．255 C．127 D．1265．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为（

）A． B． C． D．7．已知，满足约束条件，则的最大值是（

）A．0 B．4 C．6 D．8．已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且A．5−12 B．5−2 10．在直角坐标系中，一个长方形的四个顶点都在椭圆上，将该长方形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（

）A． B． C． D．11．已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．812．已知函数，当方程有5个不等实根，，时，的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题13．的展开式中的系数为（用数字作答）．14．已知直线与的交点在圆上，且经过圆心，则圆心到的距离为．15．已知函数，若对任意实数都成立，则．16．已知不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是．三、解答题17．为研究某品种小西红柿与种植地区的气候条件的关系，研究人员将该品种小西红柿在气候条件相差较大的，两地分别种植，到收获季节，随机抽取两地的该品种小西红柿各100颗进行检测（分为普通果和优质果），得到如下数据（表中数据单位：颗）普通果优质果地区4060地区2080(1)能否有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关？(2)用样本中各地区优质果的频率代替相应地区每一颗小西红柿为优质果的概率，从地区收获的小西红柿中随机抽取2000颗，记其中优质果的颗数为，求的数学期望和方差．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，且，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．19．在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．(1)若，求；(2)求的最大值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与椭圆仅有个不同的公共点，且椭圆上一点到的距离之和为．(1)求的方程；(2)经过定点的动直线交于，两点，，若恒成立，求点到点的最小距离．21．已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．(1)求的最小值；(2)证明：当时，．参考数据：，．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．23．已知函数的图象关于直线对称．(1)求的最小值；(2)设，均为正数，且，求的最小值．

参考答案1．【答案】C【分析】由对数函数单调性解不等式可求得集合，根据并集定义可得结果.【详解】由得：，解得：，即；又，.故选：C.2．【答案】A【分析】利用复数除法运算和共轭复数定义可求得，由虚部定义可得结果.【详解】，，则的虚部为.故选：A.3．【答案】D【分析】先利用题意算出，然后利用数量积的运算律对进行化简，即可求解【详解】因为，，所以，因为向量，，，所以，即，解得故选：D4．【答案】B【分析】从对折中找到规律，发现对折次，面条的根数为，而且都会有两根面条的长度为0.8米，即可得到答案【详解】对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为1；对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为3；对折3次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为7；以此类推，对折8次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为255；故选：B5．【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，此时，所以，解得，所以，当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.综上，解得.故选：A．6．【答案】B【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果.【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况，甲恰好连胜两局的概率.故选：B.7．【答案】D【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线，可知z要取最大值，即直线与抛物线相切时，故联立可得整理得，故，解得，故的最大值是，故选：D8．【答案】D【分析】利用空间几何体的特征，将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,然后两点之间线段最短，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】将沿折起到的位置.使得平面与平面共面,当为线段与的交点时,最小,即最小,则有，又，所以易得与均为等腰直角三角形,,利用余弦定理可知最小值为.故选：D.9．【答案】A【解析】点P在抛物线C：y2=4x上，故设Py0故A−∵PA⊥PF，∴PA⋅PF∴−1−y024∴点P的横坐标为y0根据抛物线的定义，得PF=5−2+10．【答案】C【分析】设椭圆与长方形在第一象限交点为，即可得圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，可得圆柱体的体积为，令，利用导数求的最大值，即可求得答案【详解】设椭圆与长方形在第一象限交点为，根据长方形和椭圆的对称性可得，将该长方形绕轴旋转得到的圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，由可得，所以圆柱体的体积为，令，则，令，解得，所以当，，单调递增；当，，单调递减，所以当时，有最大值，即此时圆柱体的体积最大，所以此时圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，故圆柱体的侧面积为故选：C11．【答案】B【分析】先利用得到结合题意可得到，然后用错位相减法得到，根据是单调递增的，即可求解【详解】由可得，所以，当时，满足故所以是所有的正偶数，因为数列中，除了第一项以外，其余的数都为正的偶数，所以，所以，所以，，两式相减得：，所以，易得是单调递增的，且，，所以的正整数的最大值为6，故选：B12．【答案】C【分析】先利用导数分析当时，的单调性，根据的解析式画出图象，由图象可得，，可得，代入可得关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解【详解】当时，，则，令，解得，故当，，单调递增；当，，单调递减，且；当，，所以当时，的图象关于对称，故的图象如图，由图可得方程有5个不等实根，只需，故，即，由图的对称性可得，所以因为函数在单调递减，所以，即，故的取值范围为，故选：C13．【答案】【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成的形式,计算出结果【详解】，∵的展开式的通项为，将含项记为,则,故含项的系数为，故答案为：14．【答案】【分析】将两直线交点坐标代入圆的方程，将圆心坐标代入，可构造方程组求得圆心的坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】由得：，；由圆的方程可知：圆心，；由得：或，则圆心或，当圆心为时，所求距离；当圆心为时，所求距离；综上所述：圆心到的距离为.故答案为：.15．【答案】或0.375【分析】化简，其中，由题意可得为最大值，可得，利用二倍角公式和诱导公式即可求解【详解】因为，其中，因为对任意实数都成立，所以为的最大值，所以，即，所以，，所以故答案为：16．【答案】【分析】将题目所给不等式进行变形，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【详解】不等式可变形为.令，则.所以函数在上单调递增.不等式等价于，所以，即，因为，所以.设，则.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，又有意义知.所以.故答案为：.17．【答案】(1)有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关；(2)的数学期望为，的方差为【分析】（1）依据数据代入，求出后参考临界值表；（2）由题意可得，利用二项分布的期望公式和方差公式即可求解【详解】（1）因为，且，所以有99%的把握认为小西红柿的优质率与种植地区的气候条件有关；（2）从表中可得到地区小西红柿的优质率为，由题意可知满足二项分布，故，故的数学期望为，的方差18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行的判定可证得结论；（2）取中点，可证得四边形为平行四边形，结合垂直关系可得，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）取中点，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）取中点，连接，，，四边形为平行四边形，，，，，，则以坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面积公式可求得；根据同角三角函数关系可求得，利用余弦定理可求得；（2）由可得到，利用正弦定理边化角得到，结合两角和差正弦公式可化简得到，结合同角三角函数商数关系可整理得到，根据的范围，结合二次函数最值的求法可求得结果.【详解】（1），解得：；，，，由余弦定理得：，解得：.（2），即，由正弦定理得：，，，；，，，则当时，取得最小值，的最大值为.20．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆与椭圆交点个数可知，结合椭圆定义和椭圆之间关系即可求得椭圆方程；（2）易知在椭圆内部；当直线斜率为时，不是定点，不合题意，由此可设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据可知，由斜率公式和韦达定理的结论可化简得到或；分析可知满足题意，由此确定；设，将问题转化为二次函数最小值的求解问题，由此可得结果.【详解】（1）以为直径的圆与椭圆仅有个不同的公共点，，由椭圆定义知：，解得：，，解得：，的方程为：.（2）若点在椭圆上或椭圆外，此时，不合题意，在椭圆内部，即；当直线斜率为时，为椭圆左右顶点，此时恒成立，则不是定点，不合题意；当直线斜率不为时，设，由得：，，则；设，，则，；，，，或；当时，，此时恒成立，则不是定点，不合题意；当时，满足；综上所述：定点的坐标为；设，则，当时，，即点到点的最小距离为.21．【答案】(1)0；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求出，再利用函数的单调性求解；（2）先证明当时不等式成立，再证明当时，令，求出函数最小值，证明最小值大于零即得证.【详解】（1）由题得，又，所以切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为，令得，所以.所以，当时，，函数在单调递增；当时，，函数在单调递减.所以函数的最小值为.所以函数的最小值为0.（2）当时，显然成立.当时，令，所以，所以，所以在单调递增（增函数+增函数=增函数），又，所以恒成立，所以在单调递增，又，所以存在使得即.所以在单调递减，在单调递增.所以.故得证.22．【答案】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为；(2)【分析】（1）利用消参即可得到曲线的普通方程，利用将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线代入直线可得，通过二次函数的性质即可求得的取值范围，即可求解【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数）可得曲线的普通方程，即，因为直