八年级数学“角平分线的尺规作图与性质探究”教案

八年级数学“角平分线的尺规作图与性质探究”教案

一、教材与学情分析

（一）【基础·教材分析】

本节课内容选自人教版八年级上册第十二章“全等三角形”第三节“角的平分线的性质”第一课时，或北师大版八年级下册第一章“三角形的证明”第四节“角平分线”。其核心内容不仅包括角平分线的尺规作图方法，更涵盖了角平分线性质定理的发现、证明及其初步应用。本节内容在教材体系中起着承上启下的关键作用。所谓“承上”，是指它紧密联系了七年级学习的“相交线与平行线”中角的概念、角的平分线的定义，以及刚刚学过的“全等三角形”的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS，HL），为性质的证明提供了逻辑工具。所谓“启下”，角平分线的性质是后续学习线段垂直平分线、等腰三角形、轴对称图形乃至圆内有关比例线段的重要基础，是几何推理体系中不可或缺的一环。本节课的教学设计，应立足于“大单元”视角，将尺规作图不仅视为一种技能，更视为一种几何原理的直观应用和逻辑推理的物化表现。

（二）【难点·学情分析】

八年级学生正处于几何思维从实验几何向论证几何过渡的关键时期。学生已经具备了一定的观察、操作和猜想能力，能够通过折纸、测量等方式直观感受几何图形的性质。然而，他们在以下几个方面仍存在认知难点：第一，对于尺规作图，学生往往流于机械模仿步骤，而缺乏对“为什么这样作图”的原理性理解，即无法将作图步骤与三角形全等的判定定理建立实质联系。第二，在探究角平分线的性质时，学生容易忽略定理中“距离”这一关键词所特指的“垂线段”长度，导致在复杂图形中找不到或找错相等的线段。第三，对于性质定理的逆命题（即判定定理），学生的逻辑思维转换存在困难，容易将条件和结论混淆，这是逻辑推理能力【难点】的集中体现。因此，本节课的教学必须超越简单的技能训练，引导学生深入理解作图背后的原理，并规范地经历命题的证明过程。

二、教学目标与核心素养

（一）【重要·知识与技能】

1.学生能够独立陈述角平分线的尺规作图步骤，并能利用三角形全等（SSS）证明所作射线即为角平分线，从而深刻理解作图的几何原理。

2.学生能准确说出角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。能结合图形用符号语言规范表达，并能够运用该定理解决简单的几何问题。

3.学生能理解角平分线性质定理的逆定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），并能在具体情境中进行辨析和应用。

（二）【重要·过程与方法】

1.经历“实验操作（折纸、测量）—观察猜想—推理论证—归纳应用”的数学活动过程，体验从感性认识上升到理性证明的思维方法。

2.通过探究尺规作图的一般逻辑（从确定点到确定线），初步感悟“交轨法”的几何思想，发展几何直观和空间观念。

3.在定理的证明及应用中，进一步熟练使用全等三角形的判定方法作为推理工具，培养演绎推理能力。

（三）【热点·情感态度与价值观】

1.在尺规作图的过程中，培养学生严谨求实的科学态度和一丝不苟的作图习惯。

2.通过揭示数学原理在解决实际问题（如找修建集贸市场的位置）中的应用，感受数学的价值，激发学习兴趣。

3.在小组合作交流中，敢于发表自己的见解，善于倾听他人的思路，形成良好的合作探究意识。

三、教学重难点

（一）【核心重点】

1.掌握角平分线的尺规作图方法，并能用全等三角形的知识证明其正确性。

2.掌握角平分线的性质定理及其应用。

（二）【关键难点】

1.理解尺规作图的理论依据，将操作步骤与“SSS”全等判定建立对应关系。

2.区分角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论，并能在复杂图形中准确识别和应用性质定理（特别是垂线段的识别）。

3.过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法（作为角平分线作图的延伸与拓展）。

四、教学准备

多媒体课件（PPT展示作图步骤、动态演示、例题）、透明纸片（每人一张，印有任意角）、圆规、直尺、三角板。

五、教学实施过程

（一）【基础·创设情境，引入新知】（预计用时3分钟）

上课伊始，教师通过多媒体展示一个实际问题：某地需要在两条公路（交叉于O点）所夹角的区域内，修建一个集贸市场P，要求P到两条公路的距离相等，且到交叉点O的距离为2.5千米（比例尺1：100000，即图上距离2.5厘米）。提问学生：“这个集贸市场应该建在何处？你能通过画图的方法找到这个点吗？”这一问题情境巧妙地融合了“到两边距离相等”和“到顶点距离固定”两个条件，其中“到两边距离相等”直接指向了本节课的核心——角平分线。学生在七年级已学过角的平分线定义，知道它可以把角分成两个相等的部分，但对于“到两边距离相等”这一性质尚未有深刻认识。通过此情境，教师顺势引出课题：“要想解决这个问题，我们需要先掌握一种精准的作图方法，来作出角的平分线。今天，我们就来共同探究‘角平分线的尺规作图与性质’。”

（二）【重要·活动探究，习得作法】（预计用时12分钟）

1.方法回顾与对比：

教师引导学生思考：“我们可以用什么方法得到一个角的平分线？”学生可能会回答用量角器度量。教师肯定这种方法，但同时指出其局限性：“量角器得到的是近似值，且在实际问题（如大型工程制图）中不够方便。古希腊的数学家们崇尚用没有刻度的直尺和圆规作图，因为这样作出的图形具有逻辑上的精确性。这就是我们今天要学习的‘尺规作图’。”

2.【热点·尺规作图】步骤分解与尝试：

教师板书或在PPT上逐步展示角平分线的作法（以∠AOB为例）：

（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。

（2）分别以点M，N为圆心，大于½MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

（3）作射线OC。则射线OC即为所求。

在展示第二步时，教师特别强调“大于½MN的长”这一条件，并抛出问题：“如果半径小于或等于½MN，会出现什么情况？”引导学生想象或通过几何画板动态演示，发现两弧无法相交或交点不唯一，从而理解这一关键步骤的几何意义。

3.【核心·原理剖析】证明为什么：

作图完成后，教师设问：“我们这样作出的射线OC，凭什么它就是∠AOB的平分线呢？如何用我们学过的知识来证明？”引导学生小组讨论，寻找证明思路。学生不难发现，需要连接CM和CN（教师板演连接线）。此时，图形中出现两个三角形：△OCM和△OCN。

师生共同分析作图过程中的“痕迹”所隐含的等量关系：

1.4.第一步得到的OM=ON（同圆半径相等）。

2.5.第二步得到的CM=CN（同圆半径相等）。

3.6.公共边OC=OC。

至此，学生兴奋地发现，这正是判定三角形全等的“SSS”定理。由此，严谨地写出证明过程：

在△OCM和△OCN中，

∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，

∴△OCM≌△OCN（SSS）。

∴∠MOC=∠NOC，即OC平分∠AOB。

这一环节【非常重要】，它将机械的操作步骤转化为严密的逻辑推理，让学生深刻体会到尺规作图的每一步都有其几何原理作为支撑，实现了“做”与“思”的统一，初步建立了“操作”与“证明”之间的桥梁。

（三）【核心·操作内化，延伸拓展】（预计用时8分钟）

1.学生独立实践：

请学生在练习本上任意画一个角，用尺规作出它的平分线。教师巡视指导，纠正个别学生不规范的作图习惯（如画弧不圆滑、保留作图痕迹不清晰等），强调尺规作图必须保留弧线的重要性，因为这是证明的依据。

2.【难点·拓展】过一点作已知直线的垂线：

教师提出问题：“当我们面对一个平角（即180°的角）时，如何用尺规作出它的平分线？”学生思考后回答，按角平分线作法作出后，发现所得到的射线与平角的两边（即一条直线）垂直。教师顺势引导：“这说明角平分线的作法可以帮我们解决另一个基本作图问题——过直线上一点作这条直线的垂线。”教师简要演示并讲解过直线上一点和过直线外一点作垂线的方法（以点C为圆心，适当长为半径画弧交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于½两点间距离为半径画弧交于一点，连接C和交点即可），并指出其本质仍然是构造全等三角形（SSS）得到相等的角，从而得到90°的角。这一拓展不仅巩固了所学，更拓宽了学生对尺规作图体系的认知。

（四）【非常重要·实验观察，猜想性质】（预计用时8分钟）

1.折纸活动：

请学生拿出课前准备的透明纸片（上面有一个角）。首先，用尺规作出这个角的平分线（巩固刚刚学到的技能）。然后，引导学生：“请大家沿着角平分线对折这张纸片，你发现了什么？”学生动手操作后回答：“角的两边完全重合。”

教师再问：“现在，在角平分线上任取一点P，过点P分别折出到角两边OA和OB的垂线（即让纸张的一边与OA重合，然后折叠使得过点P的折痕垂直于OA，同样方法折出垂直于OB的折痕），用笔标记出垂足，分别记为D和E。再次展开，观察PD和PE这两条折痕的长度，你有什么发现？”学生通过观察和测量（或直观感受），大胆猜想：PD=PE。

2.归纳猜想：

教师引导学生用文字语言描述这一发现：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。”并强调“距离”二字指的是“垂线段的长度”，这是定理成立的关键【高频考点】。

（五）【重中之重·逻辑证明，获得定理】（预计用时10分钟）

1.【重要·符号语言】已知、求证与证明：

猜想需要通过证明才能成为定理。教师引导学生将文字命题转化为数学符号语言，画出图形，写出已知和求证。

1.2.已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。

2.3.求证：PD=PE。

学生独立尝试证明，教师请一名学生板演。证明思路非常清晰：利用角的平分线得到角相等（∠AOC=∠BOC），利用垂直得到直角三角形（∠PDO=∠PEO=90°），加上公共边OP，利用“AAS”即可证明△PDO≌△PEO，从而得到PD=PE。

4.定理归纳与强调：

证明完毕后，教师板书角平分线的性质定理，并重点讲解其符号语言的规范书写：

∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE。

教师特别提醒学生注意定理使用的三个关键条件：①点在角平分线上；②有垂直（点到两边的距离）；③得到结论是线段相等。这是今后解决几何问题中证明两条线段相等的一个重要工具【高频考点】。

（六）【难点·逆向思考，辨析判定】（预计用时7分钟）

1.提出逆命题：

教师引导学生回顾刚才的定理：“这个命题的条件和结论分别是什么？”（条件是：点在角平分线上；结论是：点到角两边的距离相等）。教师启发：“如果我们将这个命题的条件和结论互换，得到的新命题是什么？这个新命题还成立吗？”

学生不难写出逆命题：“到角两边距离相等的点在角的平分线上。”

2.辨析与证明：

教师引导学生分析这个逆命题的题设和结论，画出图形（点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE），写出已知和求证。证明这个命题需要用到HL定理来证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠POD=∠POE，即点P在∠AOB的平分线上。此处的证明可交由学生小组讨论完成。

教师总结强调性质定理和判定定理的区别【非常重要】：

1.3.性质定理：因为点在角平分线上，所以得到距离相等。（用于证明线段相等）

2.4.判定定理：因为点到角两边距离相等，所以点在角平分线上。（用于证明角相等或某线是角平分线）

（七）【热点·应用迁移，巩固深化】（预计用时10分钟）

1.回归情境，解决问题：

回到课初提出的“建集贸市场”问题。教师引导学生分析：“到两条公路距离相等”这个条件，意味着点P应该建在两条公路夹角的平分线上；“到交叉点O的距离为2.5厘米（图上距离）”意味着点P应在以O为圆心，2.5厘米为半径的圆上。因此，点P的位置就是角平分线与圆的交点。学生动手在纸上画出图形，找到符合条件的点（通常有两个，分别在角的内部和外部，但根据“区域内”限制，取内部点）。通过解决实际问题，让学生体会数学建模的乐趣。

2.【难点·例题精讲】：

投影展示教材典型例题（如：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：BE=CF）。此题综合性强，往往需要先利用角平分线性质得到DE=DF，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，最后得到BE=CF。教师在讲解时，重点引导学生分析解题思路的起点（看到角平分线和垂直，立即想到性质定理），以及如何通过全等实现边的转化。

3.变式练习：

去掉图形中的一条垂线，改为连接EF，求证AD垂直平分EF。此题灵活性更强，需要学生综合运用角平分线性质、三角形全等以及线段垂直平分线的判定，对学生的思维提出了更高的要求，可作为学有余力学生的思考题。

（八）【基础·课堂小结，构建网络】（预计用时3分钟）

教师引导学生从以下三个方面进行总结：

1.知识与技能：我们学会了什么？（角平分线的尺规作图及其原理；角平分线的性质定理和判定定理；过一点作垂线的方法。）

2.过程与方法：我们是如何学习的？（经历了“操作—猜想—证明—应用”的探究过程；体会了从特殊到一般、转化与化归的数学思想。）

3.易错点警示【难点】：应用性质定理时，千万不能忘记“垂直”；尺规作图要保留痕迹，且明白每一步的道理。

（九）【分层作业，各有所获】（预计用时2分钟）

1.必做题（基础）：完成课后习题，独立用尺规作出一个角的平分线，并用测量的方法验证性质定理。

2.选做题（拓展）：查阅资料，了解“尺规作图不能问题”（如三等分角）的故事，写一篇100字左右的数学小短文，下节课分享。

3.实践题（热点）：利用本节课所学的角平分线知识，设计一个方案，用一张矩形纸片折叠出一个角平分线，并解释其中的道理。

六、板书设计

课题：角平分线