北师大版初中数学七年级上册“有理数加减混合运算”第一课时教案

北师大版初中数学七年级上册“有理数加减混合运算”第一课时教案

一、课标与理念分析

本节课的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，聚焦于“数与代数”领域，致力于发展学生的运算能力、推理意识和抽象能力。在“双减”政策背景下，本设计追求在减负增效的前提下，实现深度学习。其核心理念在于：将运算从单纯的技能训练，升华为一种建立在理解基础上的、灵活的数学思维活动。我们不再满足于学生“会算”，而是追求学生“懂理”、“善变”、“能化”。

跨学科视野的融入是本设计的显著特征。有理数加减混合运算不仅是数学内部的逻辑链条，更是理解现实世界诸多模型的语言基础。例如，在物理中描述物体的相对运动（速度的矢量合成）、在地理中分析海拔的变化、在经济学中计算盈亏的净值，其本质都是有理数加减混合运算的具象化。本设计将适时、适度地引入这些真实情境，帮助学生构建“数学作为通用语言和工具”的学科观念，实现从数学知识到数学素养的跨越。

二、教材与学情深度剖析

（一）教材内容解构与重组

在本套北师大版教材的序列中，学生已经历了“有理数的概念→相反数、绝对值→有理数的加法→有理数的减法”的学习路径。本节“加减混合运算”在逻辑上扮演着“集成者”与“优化者”的双重角色。它不仅是前序知识的必然综合，更是引入运算律（下节课内容）进行简便计算、以及后续学习乘除混合运算的重要基石。

教材通常呈现“减法统一为加法”的法则，然后进行运算。本设计将对此进行结构化深化：

1.法则的“为什么”：不只告诉学生“减去一个数等于加上它的相反数”，更通过数轴模型、生活实例（如负债与还款）揭示其几何意义与本质，打通算理。

2.算法的“多样化”与“优化”：引导学生探索并比较三种主流策略：逐次法（按顺序分步算）、加法法（统一成加法求和）、凑整法（初步的简便计算意识）。在对比中，让学生自发感受到“统一成加法”在书写和思维上的优越性，为运算律的应用埋下伏笔。

（二）学情精准诊断

七年级学生处于从具体运算思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。

1.认知基础：已掌握有理数单项加、减运算，但对“+”、“-”号的双重身份（运算符号、性质符号）辨析不清，这是出错的根源。

2.思维障碍：容易机械记忆规则，对运算的合理性缺乏深层次理解；面对多个符号的算式易产生畏难情绪和顺序混乱。

3.潜在优势：具备一定的探究热情和直观（数轴）理解能力，对联系生活的数学感兴趣。

因此，本设计将教学核心难点定位为：引导学生实现认知飞跃，将算式中“+”、“-”号理解为“性质符号”，将整个算式理解为“代数和”，从而将加减混合运算转化为单一的加法运算。突破此难点的关键在于设计层层递进、从具体到抽象的活动序列。

三、学习目标与评价标准

基于以上分析，制定如下可观测、可评价的学习目标：

1.理解与表征：能解释有理数减法转化为加法的合理性（借助数轴或生活模型），并准确地将任意有理数的加减混合算式写成省略加号的和的形式（即代数和形式）。

1.2.评价证据：课堂问答、板演、探究活动单的完成情况。

3.运算与推理：能熟练、准确地计算有理数的加减混合运算，并能初步根据数字特点，选择“逐次运算”或“统一加法后运算”的策略，说明选择的理由。

1.4.评价证据：课堂练习的正确率与速度，小组讨论中策略选择的发言质量。

5.应用与建模：能识别现实情境（如温度变化、账户流水、海拔升降）中的加减混合运算模型，并用有理数运算解决问题，解释结果的现实意义。

1.6.评价证据：应用题的解答过程与结果解释。

7.意识与态度：在探究算法多样性和最优化的过程中，养成一丝不苟、寻求合理简捷的运算习惯，发展批判性思维和乐于分享的合作精神。

1.8.评价证据：小组合作中的参与度，对他人方法的评价与反思。

四、教学重难点

1.教学重点：有理数加减混合运算统一成加法运算的方法与熟练计算。

2.教学难点：理解“减法统一为加法”的算理本质；将算式理解为“代数和”，并能流畅地在标准式与省略加号的和的形式之间进行转化。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含动态数轴演示、生活情境动画）、交互式白板软件、探究学习任务单、差异化课堂练习卡、实物温度计模型、小组评价磁贴。

2.学生准备：复习有理数加、减法法则，直尺，课前思考一个包含“增加”和“减少”的生活实例。

3.环境准备：学生按“异质分组”（不同能力层次混合）就座，便于合作学习。

六、教学过程实施

第一阶段：情境锚定——在真实问题中唤醒认知（预计用时：8分钟）

活动一：“太空城”气象报告

1.情境导入：播放一段简短的科幻动画，展示“未来太空城”某一天的气温变化：凌晨为-5℃，日出后上升了8℃，正午时又上升了3℃，午后一场太阳风暴导致气温骤降了10℃，日落前恢复了5℃。

2.问题驱动：

1.3.（教师）你能用有理数表示每个时间点的温度变化吗？（+8，+3，-10，+5）

2.4.（教师）今天的最高气温是多少？我们需要进行怎样的运算？

3.5.（学生列式）(-5)+8+3+(-10)+5。

4.6.（教师追问）这个算式包含哪些运算？它和我们之前学的有何不同？——引出课题《有理数的加减混合运算》。

设计意图与素养渗透：通过科幻情境激发兴趣，将抽象的运算与现实变量（温度）绑定。列式过程自然地产生了加减混合运算的需求，实现了“无痕”导入。渗透数学建模和数学应用意识。

第二阶段：探究建构——在算理深处实现贯通（预计用时：22分钟）

活动二：回溯本源，重温“减法化加”

1.温故知新：请学生计算(-5)-(-10)。并思考：除了直接用减法法则，还能怎么算？为什么可以这样算？

2.模型验证：

1.3.数轴模型：教师在交互白板上动态演示。从-5对应的点开始，“减去-10”在数轴上如何运动？向左还是向右？移动多少？学生观察发现，效果等同于“向右（正方向）移动10个单位”，即“+10”。

2.4.生活模型：“你欠我5元（-5），现在免掉你10元的债务（减去-10），相当于你有了什么？”（相当于获得10元，即+10）。得出：(-5)-(-10)=(-5)+(+10)。

5.归纳表达：引导学生用文字和符号重新表述减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。强调这里的“数”可以是正数、负数或0。

设计意图与素养渗透：此环节是突破难点的关键。避免规则的空洞记忆，通过直观想象（数轴）和意义关联（生活）两种路径，追溯法则的源头，让学生真正理解“何以如此”。培养推理能力和几何直观。

活动三：算法初探，感受“统一”优势

1.任务挑战：计算算式：(-7)+(-5)-(+4)-(-2)+(+3)。

2.策略工坊（小组合作）：

1.3.组内成员尝试用不同的方法计算。

2.4.教师巡视，引导出可能的三种策略：

1.3.5.策略A（逐次法）：(-7)+(-5)=-12，-12-(+4)=-16，-16-(-2)=-14，-14+(+3)=-11。

2.4.6.策略B（加法法）：将减法全部转化为加法：(-7)+(-5)+(-4)+(+2)+(+3)，再计算。

3.5.7.策略C（观察凑整法）：敏锐的学生可能直接写为：(-7)+(+3)结合，(-5)+(+2)结合，再与(-4)运算。

8.全班研讨：

1.9.请不同策略的代表上台板书并讲解。

2.10.核心对比研讨：聚焦策略A和策略B。提问：“策略B中，原来的算式‘-(+4)-(-2)’变成了‘+(-4)+(+2)’，这里的‘+’和‘-’号发生了什么变化？”引导学生发现：在统一成加法后，所有的“-”号（运算符号）都已转化，剩下的“+”和“-”都只是性质符号，表示这个数的正负。

3.11.形式简化：教师介绍代数和书写：(-7)+(-5)+(-4)+(+2)+(+3)可以省略所有加号，写成：-7-5-4+2+3。带领学生朗读这个式子：“负7、负5、负4、正2、正3的和”。强调“和”字，强化加法本质。

4.12.初步优化：对比策略A和B，学生讨论哪种更易避免符号错误？普遍认为策略B（统一加法）思路更清晰，书写更简洁。

设计意图与素养渗透：这是本节课的核心探究环节。通过开放性的任务和小组合作，让学生亲历算法多样化的过程。全班研讨的关键在于引导学生聚焦符号意义的转变，这是理解代数和概念的“顿悟时刻”。比较、分析、归纳的思维过程，有力促进了运算能力和批判性思维的发展。

第三阶段：精讲精练——在分层实践中内化技能（预计用时：12分钟）

活动四：概念辨析与规范形成

1.精讲点拨：教师系统总结步骤：

1.2.第一步：转化。利用“减化加”法则，将算式变为只有加法的算式（代数和）。

2.3.第二步：简化。省略加号和括号，写成简写形式。（例：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=-20+3+5-7）

3.4.第三步：运算。运用加法法则或运算技巧（同号结合、同分母结合、凑整等）计算结果。

5.辨析擂台（快速抢答）：

1.6.“-3-5”读作“负3减5”还是“负3、负5的和”？(两者皆可，但后者体现本质)

2.7.在算式“8-2+6”中，省略加号的形式是什么？(就是它本身，即8-2+6，读作“正8、负2、正6的和”)

3.8.把“+(-4)-(+6)+(-2)”写成省略加号的形式。(-4-6-2)

活动五：分层巩固练习

学生根据前期诊断，选择不同层级的练习卡完成。

1.基础卡（巩固转化与简化）：侧重将混合算式写成代数和形式并计算。如：(+9)-(+10)+(-2)-(-8)。

2.进阶卡（熟练运算与简单应用）：包含小数、分数，并有一道简单应用题。如：“某水库正常水位为0米，记录一周水位变化：+0.3，-0.2，-0.5，+0.1，0，-0.4，+0.2。求周末水位。”

3.挑战卡（策略优化与思维拓展）：数字设计有巧算空间，鼓励学生发现简便方法。如：(-1.25)+3.25-(+0.75)-(-2.75)+(-4)。

教师巡视，对选择基础卡有困难的学生进行一对一辅导，重点指导符号处理；对挑战卡完成者，请其分享巧算思路。

设计意图与素养渗透：精讲实现从“探究发现”到“规范成型”的升华。分层练习践行“因材施教”与“差异化教学”，确保所有学生在“最近发展区”获得成功体验，同时为学有余力者提供发展空间。应用题的设置持续强化数学建模。

第四阶段：迁移升华——在跨学科应用中形成观念（预计用时：6分钟）

活动六：“我是分析师”

呈现两个跨学科背景问题，小组任选其一分析解决。

1.物理情境：一架无人机从海拔50米处起飞，先上升30米进行拍摄，后因风下降45米，最后又上升20米悬停。求最终悬停高度。（模型：50+30-45+20）

2.经济情境：小张的电子钱包初始余额100元，发生以下交易：扫码支付65元，收到退款20元，红包收入15元，缴纳话费30元。求最终余额。（模型：100-65+20+15-30）

要求：①列出算式并计算；②用省略加号的和的形式重写算式；③向全班解释结果在实际情境中的含义。

设计意图与素养渗透：此环节是跨学科视野的集中体现。让学生看到同一个数学模型如何刻画不同领域的现象，深刻体会数学的工具性和普适性。解释结果含义的要求，培养了学生的语言表达和现实关联能力。

第五阶段：反思总结——在结构化梳理中沉淀素养（预计用时：2分钟）

活动七：收获与疑问

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：今天我们学到了什么？（有理数加减混合运算可以统一成加法，写成代数和形式。）

2.方法层面：我们经历了怎样的学习过程？（从实际问题→探究算法→比较优化→形成规范→应用拓展。）

3.思想层面：其中蕴含了什么数学思想？（转化思想——把未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题；符号化思想——用统一的“代数和”形式简化表达。）

4.悬疑启下：统一成加法后，对于像“-7-5-4+2+3”这样的算式，我们一定要从左到右依次加吗？有没有更聪明的方法？下节课我们将探索加法运算律在其中的神奇威力！

七、板书设计

主板（左侧-探究生成区）

有理数的加减混合运算

核心：减法→加法

a-b=a+(-b)

例：(-7)+(-5)-(+4)-(-2)+(+3)

策略A（逐次）：(-12)-4→(-16)+2→(-14)+3=-11

策略B（统一）：(-7)+(-5)+(-4)+(+2)+(+3)

简化（代数和）：-7-5-4+2+3

读作：负7，负5，负4，正2，正3的和。

副板（右侧-要点提炼区）

【运算步骤】

1.化：减变加（改符号）。

2.简：省加号、括号。

3.算：用加法法则。

【思想方法】

1.转化思想

2.模型思想

3.优化思想

八、分层作业设计

必做题（面向全体，巩固基础）：

1.教科书P××页，随堂练习1，2题。

2.将下列算式写成省略加号的和的形式并计算：

(1)(+12)-(-7)+(-5)-(+30)

(2)(-4.5)-(+2.1)+(-3.2)-(-1.8)

选做题（面向大多数，提升能力）：

3.某检修小组乘工程车沿东西向公路检修线路，约定向东为正。某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15,-2,+5,-1,-3,+12。问收工时，检修小组在A地的哪个方向？距A地多远？

4.思考：计算1-2+3-4+5-6+...+99-100

。你有什么发现？尝试寻找规律。

探究题（面向学有余力，拓展思维）：

5.“24点”有理数版：运用加减法（可重复使用数字），将“3，-5，2，-4”这四个有理数连接起来，使其计算结果等于24。你能找到几种方法？