概率论与数理统计题库练习题及答案

概率论与数理统计题库练习题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则对任意正整数k，有A.PB.PC.PD.P答案：A2.设随机变量X的密度函数为f(x)A.存在且等于0B.存在且等于1C.不存在D.存在且等于π答案：C3.设,,…,为来自总体N(μA.NB.NC.ND.N答案：B4.在假设检验中，若显著性水平α增大，则A.第一类错误概率减小B.第二类错误概率减小C.检验的功效减小D.拒绝域缩小答案：B5.设X与Y独立同分布于U(0,1)A.恒等于1B.先线性增后线性减，呈梯形C.恒等于0.5D.呈三角形，顶点在1答案：D二、多项选择题（每题5分，共20分，每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）6.下列关于相关系数的说法正确的有A.若X,YB.若=0，则XC.|D.=1当且仅当Y=答案：ACD7.设X∼N(0,1)A.B.C.D.答案：ACD8.下列统计量中，可作为总体方差的无偏估计的有A.样本方差=B.样本二阶中心矩=C.若总体均值μ已知，(D.若总体均值μ已知，(答案：AC9.设,,…,A.∼B.X¯是pC.X¯是pD.V答案：ABCD三、填空题（每题4分，共20分）10.设随机变量X的密度函数为f(x)=答案：0.2511.设X∼N(2,答案：212.设随机变量X,Y=0Y=1X=00.20.3X=10.10.4则\(P(X=1Y=1)=\)______。答案：=13.设总体X的均值为μ，方差为，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值X¯的方差为______。答案：/14.设,,为来自总体N(μ,1答案：a四、计算题（每题10分，共30分）15.设随机变量X的密度函数为f(x求（1）E(X)；（2）E解：（1）E(（2）E(（3）Va答案：（1）0；（2）；（3）。16.设,,…,为来自总体N(μ:构造显著性水平α的检验，写出检验统计量及其分布，并给出拒绝域。解：检验统计量Z=在下成立。拒绝域为|Z|>，其中为标准正态分布的上答案：统计量Z=，拒绝域|17.设随机变量X,f(x求（1）边缘密度(x)；（2）条件密度(y解：（1）对固定x∈(0（2）(y|x（3）当X=时，Y的条件分布为UP(答案：（1）(x)=2(五、应用题（每题15分，共30分）18.某生产线袋装食品标准重量为500g，长期经验表明重量服从正态分布N(（1）在显著性水平α=（2）求（1）中检验的p值；（3）若实际均值变为503g，求此时第二类错误的概率β。解：（1）:μ=500检验统计量Z=单侧拒绝域Z>=1.645（2）p值=P（3）当μ=503时，接受域上限为500+β=答案：（1）拒绝；（2）0.0062；（3）0.0176。19.设某保险公司在一年内理赔次数N服从参数λ=5的泊松分布，每次理赔额独立同分布于指数分布Exp(0.01（1）求E(（2）求Va（3）利用正态近似计算P(解：（1）E(（2）Va（3）S近似N(500,P(答案：（1）500；（2）10000；（3）0.1587。六、综合题（每题20分，共40分）20.设总体X的密度函数为f(x,,（1）求θ的矩估计；（2）求θ的最大似然估计；（3）讨论的无偏性，并给出修正无偏估计；（4）计算的方差，并证明其相合性。解：（1）E(令X¯=，解得（2）似然函数L(ln求导+\sumln=0（3）令=−ln=，E()=修正无偏估计==（4）Var(Var(当n→∈fty答案：（1）；（2）−；（3）有偏，修正；（4）方差，相合。21.某高校欲评估在线教学效果，随机抽取100名学生，分别记录其线下考试分数X与线上考试分数Y，得样本均值X¯=72，Y¯=75，样本方差=，（1）给出均值差=−（2）检验:=0vs:≠（3）若欲检测真实均值差为3分，在α=0.05，（4）讨论配对设计与独立双样本设计的优劣。解：（1）差值=−，D¯=标准误，95%置信区间3±（2）检验统计量t==4.16，双侧p（