正方形的性质 2026-2027学年九年级数学上册北师大版

1.4.1正方形的性质新版北师大九上

第一章1.知识目标：掌握正方形的定义、边、角、对角线的性质，理清正方形与矩形、菱形、平行四边形的从属关系。2.能力目标：能运用正方形的性质进行计算、推理与几何证明，规范书写解题过程。3.素养目标：通过对比探究图形性质，体会类比、转化思想，发展几何直观与逻辑推理能力。学习目标图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？你能总结出正方形的定义吗？情境导入有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.矩形定义性质判定正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形ABCD正方形和矩形、菱形之间具有怎样的关系呢？情境导入矩形变正方形一组邻边相等点击播放几何画板.GSP菱形变正方形点击播放几何画板.GSP一个角是90°（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？平行四边形矩形正方形菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角相关图形性质的关系平行四边形的性质对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形的性质四条边相等对角线互相垂直四个角都是直角对角线相等矩形的性质正方形的性质正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.AB=BC=CD=DA∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°AO=BO=CO=DO，AC⊥BD总结想一想正方形有几条对称轴？正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.正方形有4条对称轴.

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.（2）延长BE交DF于点M.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.如图1-15，四边形ABCD是正方形。(1)在图1-15中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足B怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。(2)在图1-15中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。尝试·思考EG与FH的交点是正方形中心O，且OE=OG，OF=OH，即EG与FH均过O，且被O平分另外两个点E、F关于O对称，即OE=OF1.如图，在正方形ABCD

中，点F为对角线AC

上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.解：图中的全等三角形共有3对，分别是△ADC

与△ABC,△FCD与△FCB,△FAD与△FAB．选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB.随堂练习教材第18页如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm2，正方形A'BC'D的面积为50cm2，求AC的长。随堂练习

1.对角线长为2cm的正方形，边长是多少？解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°△ABC是等腰直角三角形，AB2+BC2=AC2=4，∴AB=教材习题1.4第1题巩固提升2.如图，四边形ABCD

是正方形，△CBE是等边三角形，

求∠AEB

的度数.证明:∵△BEC是等边三角形，∴BE=EC=BC=AB，∴△ABE

是等腰三角形，∴∠ABE=90°-60°=30°∴∠AEB==75°教材习题1.4第2题巩固提升6.如图，A，B，C，D

四家工厂分别坐落在正方形城镇的四

个角上.仓库P

和Q

分别位于AD和DC

上，且PD=QC.

证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ.证明:如图,AQ

与BP

交于点O．在正方形ABCD

中,∵PD

＝QC,∴DQ＝AP．又∵AB＝AD,∠D

＝∠PAB＝90°,∴△ABP≌△DAQ．∴BP

＝AQ,∠DAQ＝∠ABP

．∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．∴∠AOP

＝90°．∴BP

＝AQ且BP⊥AQ．教材习题1.4第6题巩固提升8.四边形ABCD是正方形。（1）如图(1)，点P是对角线BD上一点，连接AP，CP。线段AP与CP有怎样的关系?请证