探索三角形相似的条件 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2探索三角形相似的条件逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似三角形两角分别相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似黄金分割知识点相似三角形知1－讲1

知1－讲2.相似三角形的对应性、顺序性、传递性内容示例图示对应性两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上如:△ABC∽△A′B′C′不能写成△ABC∽△B′C′A′知1－讲内容示例图示顺序性相似比具有顺序性如:△ABC∽△A′B′C′，其相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC，其相似比为传递性相似三角形具有传递性如:△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△GHK，则△ABC∽△GHK知1－讲特别提醒全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1，而相似三角形不一定是全等三角形。知1－讲方法归纳相似三角形中对应元素的寻找方法：知1－练例1如图3-2-2，已知△ABC∽△ADE，∠C=70°，AB=6，BC=6，AD=3.解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.知1－练(1)求△ABC与△

ADE的相似比；

知1－练(2)求∠

AED的度数和DE

的长.

知1－练1-1.如图，在正方形网格\中，△ABC∽△EDF，且两个三角形的顶点都在格点上，则∠ABC+∠ACB的度数为_______。45°知1－练1-2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(4，0)，CD=2，则点A的坐标为________。(－6，0)知2－讲知识点两角分别相等的两个三角形相似2判定定理图示符号语言两角分别相等的两个三角形相似如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′知2－讲特别提醒常见的相等的角有：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.知2－练如图3-2-3，在△ABC中，AD

是∠BAC的平分线，AD

的垂直平分线交AD

于点E，交BC

的延长线于点F.求证：△

ABF∽△CAF.例2解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”证明.由于∠

BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B=∠4或∠BAF=∠ACF即可证明.知2－练证明：∵

EF垂直平分AD，∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.∵AD是∠BAC

的平分线，∴∠1=∠2，∴∠B=∠4.又∵∠BFA=∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知2－练2-1.如图，在四边形ABCD

中，∠ADB=∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：△

ACE∽△BDE.证明：∵∠ADB

＝∠ACB，∴180°－∠ADB＝180°－∠ACB，即∠BDE

＝∠ACE。又∵∠E

＝∠E，∴△ACE

∽△BDE。知3－讲知识点两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3判定定理图示符号语言两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∵=，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′知3－讲特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS方法.知3－练如图3-2-4，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.例3解题秘方：紧扣“边角关系判定相似三角形定理”证明即可.知3－练

知3－练3-1.如图，在△

ABC中，D，E

分别在AB与AC

上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求证：△ADE∽△ACB.知3－练知4－讲知识点三边成比例的两个三角形相似4判定定理图示符号语言三边成比例的两个三角形相似如图，在△ABC和△A′B′C′中，∵==，∴△ABC∽△A′B′C′要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边.1.知4－讲2.判定两个三角形相似的基本思路知4－讲特别提醒证明特殊三角形相似的方法：1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2.直角边和斜边或两条直角边成比例的两个直角三角形相似；3.有一个底角或顶角相等的两个等腰三角形相似；4.所有的等边三角形相似；5.所有的等腰直角三角形相似。知4－练[母题教材P74习题T6]图3-2-5，图3-2-6中小正方形的边长均为1，则图3-2-6中的哪一个三角形(阴影部分)与图3-2-5中的△

ABC相似？例4知4－练解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.知4－练

知4－练解题通法：利用三边判断三角形是否相似的步骤：(1)排：将三角形的三边分别按从大到小(或从小到大)的顺序排列；(2)算：分别计算最长边与最长边、最短边与最短边、第三边与第三边的比值；(3)判：若比值都相等，则这两个三角形相似，否则，不相似.知4－练4-1.如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF。△AEF与△ECF是否相似？请说明理由。知4－练知5－讲知识点黄金分割5

知5－讲知5－讲

知5－讲方法二：如图3-2-10，已知线段AB.(1)以线段AB

为边作正方形ABCD；(2)取AD的中点E，连接EB；(3)延长DA

至F，使EF=EB；(4)以AF

为边作正方形AFGH.点H

即为线段AB

的黄金分割点.知5－讲

知5－练科学研究表明，当人的下半身长与身高之比为黄金分割比时，看起来最美.某成年女士的身高为155cm，以肚脐为分界点下半身长94cm，按此比例，该女士所穿高跟鞋的鞋跟最佳高度约为多少？(结果精确到0.1cm)例5解题秘方：紧扣黄金分割的比例列出方程解决问题.知5－练

知5－练

B知5－练[新考法分类讨论法]已知线段AB=6，点C

为线段AB的黄金分割点，AC=a，BC=b，求a－b

和a·b

的值.例6未指明点C

离哪个点近，故需分情况