数学校本课程《趣味数学》-图文

数学校本课程《趣味数学》-图文

序言

数学是一门基础科学，一切自然科学都离不开数学严密的计算

和推理，数学也是人文科学和逻辑思维的基砧。

趣味数学是以传统的课堂教学为基础，以开放，创新的思维模式，集

中体现了素质教育思想，立足培养兴趣，旨在提高成绩，通过讲，学，练

这一科学有效的训练方法，培养学生的数学兴趣和教学思维。立足基础知

识，结合教学实际，博采众长，寓理于例，重在思维训练，并加以适合的

延伸和拓展，以提高学生对数学的兴趣，启发学生的创造力和思维能力，

爱学，乐学，增强孩子的学习主动性，提高学生思维的敏捷性，灵活性，

准确性和深刻性是我们的宗旨和目标。

“千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启

迪智慧，在和谐中走向成功！

目录

第一部分：课程目标

第二部分：课程的组织形式与实施计划第三部分：课程内容简介

第1讲集合中的趣题一“集合”与“模糊数学第2讲函数中的趣题一

一份购房合同第3讲函数中的趣题一孙悟空大战牛魔王第4讲三角函数的

趣题一直角三角形第5讲三角函数的趣题一月平均气温问题第6讲数列中

的趣题一柯克曼女生问题第7讲数列中的趣题一数列的应用第8讲不等式

性质应用趣题一两边夹不等式的推广及趣例第9讲不等式性质应用趣题一

均值不等式的应用第10讲立体几何趣题一正多面体拼接构成新多面体面

数问题第11讲立体几何趣题一球在平面上的投影第12讲解析几何中的趣

题一神奇的莫比乌斯圈第13讲解析几何中的趣题一最短途问题第14讲排

列组合中的趣题一抽屉原理第15讲排列组合中的趣题一摸球游戏第16讲

暇率中的趣题第17讲简易逻辑中的趣题

2

第18讲解数学题的策略第四部分：课程评价

3

第一部分：课程目标

L启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题

和创造地解决问题；

2.能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用

能力.

3.体会数学在实际问题中的应用价值.

4.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题

过程中的应用。

5.通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性，

培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背

景，让学生自主探究知识的发生发展过程

第二部分：课程的组织形式与实施计划

1.组织形式:

校本课程的开课以自选班为单位安排在“地方与我校课程”课时中进行，

具体教学时间是每周一节课，也可以进行集中安排（如考察、社会实践等

活动）。2、课程实施：

1）校本课程由我校教师开发，只有讲义，学生不需要教材，减轻学

4

生的经济负担，体现“以生为本”的教学理念。

2）授课教师结合我校的校本课程，依据学生层次特点、接受能力等可以

适当补充材料，逐步实施，并在实施中进一步完善教材内容，发现问题，

及时反思，总结经验。

5

第三部分：课程内容

第1讲集合中的趣题一一“集合”与“模糊数学”

教学目标：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会

分析问题和创造

地解决问题；

教学过程：一、情境引入

1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学

分支一一模糊数学。

二、实例尝试，探求新知

模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都

必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可

以用特征函数：

去.8+12-5=15.

（2）8+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.三、本课小

结

通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是

的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、作业

下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级

全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式某20的解；

7

第2讲函数中的趣题一一一份购房合同

教学目标：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生

数学应用能力.教学过程：一、情境引入

最早把'函数\（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨

（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716,德国数学家），但其含义和现

在不同，他把函数看成是'像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂

线长度等所有与曲线上的点有关的量\年，瑞士数学家约翰。贝努利

（JohnBernoulli,1667-1748,欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给

出了函数的一个定义，同时第一次使用了'变量'这个词。他写到：'变量

的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。、他的学生，瑞士数学家欧

拉（LeonardEuler,1707-1783,被称为历史上最'、多产'的数学家）将约

翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义

为：、变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达

式\,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二、实例尝试，探

求新知

例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。

内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次

性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产

开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10

年后付清，年利率为7.5%,房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，

但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元，

那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年

付款的本利和为1.0758a元、第三年为L0757a元，，第十年为a元，然

后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本

利,即1.0759a+l.0758a+l.0757a++a=(72某1000-28800-14400)某

1.07510,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时

付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但

8

不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的

款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付

款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元,

同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元，

第三年为1.0757a元，，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与

你应付余款72某1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等

的。仍得到L0759a+l.0758a+l.0757a++a=(72某1000-28800-14400)某

1.07510.用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例2.经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而

租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、

维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客

人，但余下的50位客人还是能给我们带来360某50=18000元的收入；扣

除50间房的支出40某50二2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润

只有160某80-40某80=9600元三、本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，

可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指

数函数型变化，满足关系式QQ0e0.0025t,其中Q0是臭氧的初始量，t是

所经过的时间.

1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有一半

的臭氧消失？

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第3讲函数中的趣题一一孙悟空大战牛魔王

教学目标：体会数学在实际问题中的应用价值.教学过程：一、故事

引入

孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。

可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤,

腾空飞去°悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追卜夫°牛魔干一想：凤是

百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞

下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好

牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。

牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，

变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，

原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他

对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！

立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本

象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前

来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托

塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不

得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，

继续往西天取经

二、实例尝试，探求新知

这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。

首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。

池们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小

虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确

无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要

随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之

间的关系。

其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的

呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是

保持不变的。或者，

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虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师

徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会

变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题

过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定

范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。

例1.1202年，意大利比萨的数学家斐波那契（约1170年〜约1250年）

在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄

的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。

那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外

情况，1年后将有多少对兔子？

解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因

此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，

3时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但_L个月

刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生

了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也己长大并且也生了1对小兔，因

此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察,

就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个

月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1,1,2,3,5,8就称

为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重耍的应用。

例2.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多

种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树

所接受的阳光就会减少.杈据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少

结5个橙子.

解析：假设果园增种某棵橙子树,果园橙子的总产量为y（个），依题

意，果园共有（100+某）棵树,平均每棵树结（600-5某）个橙子.

y=（100+某）（600-5某）=-5某2+100某+60000.=-5（某-10）-2+60500

即种：100+10=110棵时,产量最高是：即500三、本课小结

通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系

其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。四、作业

某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或

小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

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作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜1/21100元烟叶

1/3750元小麦1/4600元

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，

且使农作物预计总产值最多。(设工人数)

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第4讲三角函数的趣题一一直角三角形

教学目标：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解

决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入

直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.

我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们

展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题,

都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆

的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析

例1.海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向

东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛

的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东

航行途中会有触礁的危险吗

解析：过A作BC的垂线，交BC丁点D.得至I」RtAABD和RtAACD,从

而BD二ADtan55°,CD=ADtan25°,由BD-CD=BC,又BC=20海里.得

ADtan55°-ADtan25°=20.AD(tan55°-tan25°)=20,AD=

20-20.79（海里）.

tan55tan25这样AD^20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险

例2、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正

西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到

气象部门通知，一台风

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中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中

心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响.

（1）问：B处是否会受到台风的影响请说明理由.

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物

解析：（1）过点B作BD_LAC.垂足为D.

依题意，得NBAC=30°,在RtAABD中，BD=AB处会受到台风影响.

（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F,由勾股定理可

求得DE=120.ADE603.

AE=AD-DE=1603-120,

1603120=3.8（小时）.

4011AB二某20某16=160<200,22因此，核船应在3.8小时内卸完货

物.

练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m,再爬30°

的山坡100m,求山高.（结果精确到0.01m）三、本课小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高

了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业

如图，RlaABC是一防洪毙背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12叫它的

波角为45°,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：

1.5的斜坡AD,求DB的长.（结果保留根号）

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第5讲三角函数的趣题一一月平均气温问题

教学目标：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活

动，提高学习数

学、学好数学的欲望.

教学过程：一、谈话导入

数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个

方面，“数学已无处不在"。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。

二、典例分析

例1,受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常

情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港

口水的深度y（米）是时间t（数据。t（时）0369.9121518217.02410.0,

单位：时）的函数，记作尸f（t）,下面是该港口在某季节每天水深的

y（米）10.013.010.013.010.1根据数据求出y=f（t）的拟合函数，，

一般情况下，船舶航行时，

船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船

底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，

如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？

(忽略进出港所需时间)

解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3

,2

1,

,得12,在同一天内，取k=0或

或，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时

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退出，在港口内最多停留16小时。

例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片,

已知在4ABC中，

面积(精确到lcm2).

解析：VinA+coA=.\2inAcoA=—

,①，(inA+coA)2=

,问要生产这些三角形铁片共需耍铁片的

.V0°<A<180°,AinA>0,coA<0.

(inA-coA)2=1-2inAcoA=,

inA-coA二①十②，得inA=

.②

・・・要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：

答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.三、

本课小结

三角函数不但应用于数学的各个分支，也广泛应用于其他的学科及社

会生产实践中,.在实际生活中，也会经常碰到一些需要运用三角函数来解

决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用四、

蚱业

把一段半径为R的圆木，锯成横截而为矩形的木料，怎样锯法，才能使横

截面积最大？

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第6讲数列中的趣题一一柯克曼女生问题

教学目标:通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的

积极性.教学过程：一、问题引入：

有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，耍使每个女

生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，

彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？二、典例分析

例1.大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会

议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最

短。(假定相邻两层楼梯长相等)

分析：设相邻两层楼梯长为a,则

Sa[(12k1)0(12(nk))]n2na[k(n1)k](1kn)22

分n为奇数和n为偶数两类讨论.

例2.某地区荒山22C0亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，

第一年植树100

亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

(1)若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化

(2)若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然

二曾长率为20%,

那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S,求S的表达式.

(3)若1.28—4.3,计算S(精确到1立方米).

分析：由题意可知，各年植树亩数为：100,150,200,成等差数列

三、本课小洁：下面回到课前问题，设15位女生用下面15个符号表示:

某,al,a2,bl,b2,cl,c2,dl,d2,el,e2,fl,f2,gl,g2;将它们

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排成七行，每天五个三人行小组(共十五人)，使x处于七行中的最

前•位置上：

(某,al,a2);(某,bl,b2);(某,cl,c2);(某,dl,d2);(某,el,e2);(某,fl,f2

);(某,gl,g2).于是只须分配14个元素，再每一行中，后继三人行小组，

即对有下标的七个元素a,b,c,d,e,f,g进行三元素组合，填

入每行，但每个字母只许出项两次。即

Sunday:(某，a,a),(b,d,f),(b,e,g),(c,d,g),(c,e,f);Monday:(某,b

,b),(a,b,e),(a,f,g),(c,d,g),(c,e,f);Tueday:(某,c,c),(a,d,e),(a,f

,g),(b,d,f),(b,e,g);Wednday:(某,d,d),(a,b,cj,(a,f,g),(b,e,g),(c,

e,f);Thurday:(某,e,e),(a,b,c),(a,f,g),(b,d,f),(c,d,g)Friday:(某，

f,f),(a,b,c),(a,d,e),(b,e,g),(c,d,g);Saturday:(某，g,g),(a,b,c),(

a,d,e),(b,d,f),(c,e,f)

现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三

行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标bl,b2;若每一个“三人

行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由

两种原则定出脚标，就定为1。得到解：

Sunday:(某，al,a2),(b2,el,gl),(cl,d2,g2),(c2,e2,f2

);Monday:(某,bl,b2),(al,b2,e2),(a2,f2,g2),(cl,dl,gl),(c2,el,fl);

Tueday:(某,cl,c2),(al,dl,el),(a2,f1,gl),(bl,d2,f2),(b2,e2,g2);We

dnday:(某，dl,d2),(al,b2,c2),(a2,f2,gl),(b2,el,g2),(cl,e2,fl);Thu

rday:(某，el,e2),(al,bl,cl),(a2,fl,g2),(b2,dl,f2),(c2,d2,gl)Frida

y：(某,fl,f2),(al,b2,cl),(a2,d2,el),(bl,e2,gl),(c2,dl,g2);Saturda

y:(某，gl,g2),(al,bl,c2),(a2,dl,e2),(b2,d2,fl),(cl,el,f2)三、作业

某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，

第一年植100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活).

⑴需几年可将此荒山全部绿化.

⑵已知新植树苗每亩木材量为2m3,树木每年的自然增长率为10%,设

荒山全部绿化后的年底木材总量为S,求S的最简表达式

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第7讲数列中的趣题一数列的应用

教学目标：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供

研究的问题及背

景，让学生自主探究知识的发生发展过程

教学过程：一、诗词弓I入

先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生

活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系二、典例分析

例1.、有一序列图形Pl,P2,P3.己知P1是边长为1的等边三角形，

将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为力，向外作等边三角形,

再将中间部分的线段去掉得P2,将PkT的每条边三等分，以每边中

间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn

求分别求Pn的周长Cn和面积Sn.

解析:这序列图形的边数构成的数列为:3,34,342,,34nl,;

111它们的边长构成的数列为：1,,2,,nl,.

33314Cnnl34nl333S2比S1多3个面积为

nl.

S1的正三角形.即919

S13,同理，9S1S3S2212,9S2SlSln234,累加得：

nl901n2nlS1444S154SnSll.

3999399nl334又S1,所以Sn83.4209SnSnl例2.在[1000,2000]

内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解析：不妨设an3n,bm4ml(m,nN某)，

则｛cp｝为｛an｝与｛bn｝的公共项构成的等差数列(1000<cp^2000)

Van=bm,即：3n=4m+l令n=3,则m=2.*.cl=9且有上式可知：d=12.\

cp=9+12(pl)(pN某)由1000WenW2000解得:837npi661212.'p取

84.85.、166共83项。三、本课小结

根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、

对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结

构中去。四、作业

1.一梯形两底边长分别为12cni22cm,将梯形一腰10等分，经过每分

点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.

2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若

初时含杂质

10.2%,每过滤一次可使杂质减少，问至少过滤多少次才能使产品达到市

场的要求

3

20

第8讲不等式性质应用趣题一一

“两边夹不等式”的推广及趣例

教学目标：理解“两边夹不等式”的推广及应用

教学过程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若等式，如

acaacc,则若将条件中的等式改为不bdbbddac,那么结论如何呢课本上

有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数，bdaacc(高中数学第二册

(上)(人教版))，在平时的教学过程中，且bead,则bbdd稍不注意，其

丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式

aacc为两边夹不等bbdd式。当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这

个不等式却别有一番风味.对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始

的.

二、“两边夹不等式”理解推广1.两边夹不等式的两种理解

解：(1)实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A.B,已知溶液A的

浓度为液B的浓度

a,溶bcac,现将两种溶液混合成溶液C,此时溶液浓度为，由日常

生

bddaacc活经验知道有bbdd(2)几何意义的理解：由分式联想到直

线的斜率，设OA(b,a),

ac则直线OA.OB斜率分别是，(如图D,则OB(d,c)OAOB(bd,ac),

bdaacc它表示图中的0C,显然直线0C的斜率介于OA.0B的斜率之间，即

bbdd进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如0D0A20B(b2d,a2c)得

21

到不等式

aa2cc,仿此还可到几个不等式链：bb2ddaaca2ca3canc(1)

bbdb2db3dbndaac2ac3acnac(2)bbd2bd3bdnbdamancc(其中m,nN)(3)

bmbnddcdcd2.两边夹不等式的一个简单应用

练习1.利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知

a,b,m都是正数，且ab,求证：

aambbmamaani分析：ab,1,由两边夹不等式立即得.

bmbbm3.两个有意义的推广

推论1(等比定理的推广):已知ai,biR(il,2,3,,n),若

aala2n,blb2bna则Iblabililnniian。bn利用两边夹不等式可以容

易得到证明，这里从略。

由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将分

母各乘以非零实数1,2又有什么结论呢

推论2(一般性推广)：若正数a,b,c,d及非零实数1,2满足

ac,则bdac与的分子bdala2ccblb2dd证明：acalac2c,,bdblbd2d

由两边夹不等式立即得

练习2.无限夹数游戏

ala2ccblb2dd(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一

些数吗

22

122111如与，与，与等。332552依据两边夹不等式可以得到

211介于与之间，

352321介于与之间，

385321介于与之间。752三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式

几何意义理解及两种推广四、作业：探求“黄金分割数”

在0、1之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以

下的规律进

111,此时得到两个区间Al=(0,),Bl=(,1)在区间Bl内利2222

用两边夹不等式得到第二个数a2二；此时a2又将区间B1分成两个区间

31223A2=(,),B2=(,1)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数",

,衣此类推，

5233行：第一个数为a1可以得到数列｛an｝,数列｛an｝的极限称为黄金分

割数，求此极限。(Iimann51)2

23

第9讲不等式性质应用趣题一一均值不等式的应用

教学目标：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：一、情境引入：

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值

不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平

均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均

值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不

等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历,

但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式

和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：(表后重点分析“包

装罐设计”问题)实践活动已知条件最优方案解决办法

设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一

经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二车船票价

设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出速度、各项费用及

相应最低成本，再由此比例关系计算出最低票价（票价=最低票价++平均

利润）例1.包装罐设计问题1.“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且

底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积

最小）？分析：容积一定二〉与rh=V（定值）=>S=2“r+2JIrh=2JI（r+rh）=2

JI（r+rh/2+rh/2）

22Ji3（rh）/4=32nV（当且仅当r二rh/2=〉h=2r时取等号）,

24

・••应设计为h二d的等边圆柱体.例2.“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h,若体积为定值V,且上下底厚度为侧面厚

度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己写此本文从

咯）.,•应设计为h=2d的圆柱体.

25

第10讲立体几何趣题—

正多面体拼接构成新多面体面数问题

教学目标：训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴

趣

教学过程：一、问题提出

在《数学（高一下册）》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师

给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把

它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面”对于这个

问题学生们表现出了极大的兴趣.他们通过直观感知，提出了自己的看法:

正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，

所以重合之后的新多面体有10个面.二、故事介绍

教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事.多年前美国的

一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长

都相等，问重合一个面后还有几个面大学教授给这道竞赛题的参考答案是

7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有一个面重叠，

减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹

尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所

疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果

正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委

会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。三、操作确认

故事讲完后学牛立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论.于是教师建议：

请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作

（模型组合）来确认自己的结论.学生展示大小不一的实物模型.教师让每

个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程.通过观察、讨论，全

班同学明白丹尼尔结论的原因所在.同时也观察到了正四面体和正八面体

重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课

26

通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程

中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了.四、思辩论证

老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论

进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼

接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构

成的二面角为180.证明如下：如图1,在正八面体AC中，连结AC交平

面BE于点0.设正八面体的棱长为1,BF的中点为D,连结AD、CD,易

得NADC为二面角A—BF—C的平面角。AD=DC=

1313,AC=2A0=22,由余弦定理得COSADC

32441仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角的余弦值为。

3由上可知ADC180,因此新多面体是七面体。五、问题扩展

理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生

的多向思维.证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题：如果再拼

一个同样的正四面体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，

教师立刻利用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并

不确定，而是依赖于拼接四面体在八面体上的位置.进一步，当拼接更多

的四面体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的兴趣.在激烈地争论中,

师生的思考一度陷入僵局.余是老师提出能否看看不同情况下新多面体可

能新多面体最少面数.这一问题得到了学生的认可，新一轮实物模型的操

上确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少为

6个面，构成一个六面体（如图2）.

27

当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面，构成一个棱台如图

（3）.

当拼接四个正四面体时•，新多面体最少为4个面构成一个正四面体（如图

4）.

本节小结：学习数学不要只靠我们的直觉，而要有推理论证检验。

28

第11讲立体几何趣题一一球在平面上的投影

教学目标：明白球在不同光照下的投影教学过程：放在水平面上的球与水

平面切于点A,一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线切

点A与轮廓曲线的关系又是什么

一、平行光线下球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为

（90）的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭

圆.

分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即90时，球在水平面上的投

影是以为A圆心，R为半径的圆；当00900时，球在水平面上的投影是以

A为一"焦点的椭圆，如图1.

如图1所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆0,则

光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线11,设与水平

面平行且与球相切的平面与球相切于点D,与圆柱面的交线为12；P为11

上的任意一点，经过点P的

光线为PP',（P',为光线PP'与平面的交点），且与球相切于点C,

过点D作与光线平行的直线交水平面于点B,连结PB,易知，PB二P'D二P'C,

PA=PC,即知PA+PB=PP',又

2R2RPP'=in为一定值，则知点P在以AB为焦点,长轴长为in的椭圆

上，

二、点光源下的球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A,与水平面距离为h的点

光源S（S

29

在球面外）投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的

圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及

SA与水平面所成角有关.1.当过点S,球心。的直线与水平面垂时'此

时必有h>2R.球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆（图

略），

2.当过点S、球心。的直线与水平面不垂直时.①若h>2R,则球在

水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2.

如图2所示，与球0相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆

03；球01与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的叨点的集合为圆02,与

水平面

的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与

球0、01的切点分别为D,C,则有PC二PB.PD=PA,易知CD为两圆锥母线

之差（为一定值）.即PA+PB=CD（定值），所以，球在水平面上的投影是以

A.B为焦点的椭圆.

②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3.

如图3所示，与球0相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆01；

过S、0,A的平面与水平面交于AG；圆01所在的平面与水平面的交线为

L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面

交于圆02所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线.

3若h<2R,则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支,

如图4.O

如图4所示，与球0相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆

02；球01与圆锥面及

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03,与水平面的切点为

月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球0、01的切

点分别为G、打，则有PH二PB、PG二PA,且易知GH为两圆锥母线之和

（为一定值）.即PB-PA=QI（定值），所以，球在水平面上的投影是以A,B

为焦点的双曲线的一支.

30

1女，共有多少种不司的搭配方法？

22分析：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来有c8c7

种选法，然后4考虑4人的排法，故乘以p4

例2高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4某100米接力队,

参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？

4分析：分三类，第一类，没有甲乙，有c5种选法；第二类，有甲

没乙或有乙没32甲有2c5种选法；第二类，既有甲也有乙，有c5种选法

例3体育课上，赵红老师安排4名男生和3名女生站队，练习第三套

中学生广播体操。若满足下列条件，分别有多少种站法？（1）3名女生

要求站在一起；（2）3名女生要求互不相邻；

（3）梁伟不站在排头，黄金叶不站在排尾；

分析:排队在现实生活中是很常见的现象，结合实例，使得学生感悟

更深。三、全课总结

回到课前那个游戏，根据排列组合知识从12个球中摸出6个球，总

的方法数有：

6cl2924种,其中“6红”或者“6白”的情况都紧有唯一的一种,

按概率论计算有

1/924的出现概率四、作业:

若你家里来客人，鞋架上有5双大小形状不同的拖鞋，从中选择4只，问:

恰有2双的选法？

36

第16讲概率中的趣题

一、教学目标：通过五个实例介绍概率的应用，提高学生学习概率的

积极性，培养

浓厚的学习兴趣。

二、教学重难点：如何利用概率知识解决生活中的问题。三、教学过

程：

例2.在轮盘游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的

概率会越来越大。这种判断也是错误的，

例3.在投掷硬币的游戏中，如果是一枚硬币，那么我们无论猜什么猜对

的概率都是50%；换成投掷两枚硬币，那么如果我们猜一个是“字”一个

是“背”，猜对的概率是猜“都是字”或者“都是背”的两倍。

例4、三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，

在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其

它两扇门

37

后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门,

但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外

两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，

选择另一扇门，以使得赢得汽车的概率更大一些？正确结果是，如果

此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门，他赢得汽车的概率会增加

一倍。

例5、生日悖论：在一个足球场上有23个人（2某11个运动员和1个

裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生口是在同一天

的概率要大于50%。解释：

1.因为每次中奖的概率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推

移而变大。2.即出现黑色的概率每次是相等的，因为球本身并没有\记忆\,

它不会意识到以前都发生了H么，其概率始终是18/37。

3.有四种可能的情况，全部有相同的概率（1/4）：

两个“字”一“字”一“背”一“背”一“字”两个“背”

所以回答“一个是“字”一个是“背””答对的概率是50%。4.有三

种可能的情况，全部拥有相等的可能性（1/3）:

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑

111羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人

挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

因为三种情况有两种是通过转换而获得汽车的，所以转换后中奖的概率为

2/3o5.关键在于领会在题目中，相同生日的搭配可以是相当多的。23个

人可以产生23某22/2=253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等

的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是

那样的不可思议。换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，

房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常

低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任

何23个人中会有两人生日相同的概率是多少？四、作业：

38

1.三枚硬币

乔：“我向空中扔3枚硬币。如果它们落地后全是正面朝上，我就给

你10美分。如果它们全是反面朝上，我也给你10美分。但是，如果它们

落地时是其他情况，你得给我5美分。”吉姆：“让我考虑一分钟。至少

有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚硬币情况不同，那么第三枚一

定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚不是与

这两枚情况相同，就是与它们不同。第三枚与其他两枚情况相同或情况不

同的可能性是一样的。因此，3枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的

可能性是一样的。但是乔是以10美分对我的5美分来赌它们的不完全相

同，这分明对我有利。好吧，我打这个赌！”吉姆接受这样的打赌是明

智的吗？2.老K的优势

桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有两张且只有

两张是老K,但是你不知道老K在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻

开。下面哪一种情况更为可能？

⑴两张牌中至少有一张是老K；⑵两张牌中没有一张是老K。3.男孩

对女孩

有这样一个故事：一个国王打算增加国家中妇女的人口，使之超过男

子的人口，以让男人能有更多的妻妾。为了达到这个目的，他颁布了如下

的法律：一位母亲生了第一个男孩后，她就立即被禁止再生孩子。

国王论证道，通过这种方法，有些家庭就会有几个女孩而只有一个男孩，

但是任何家庭都不会有一个以上的男孩。用不了多长时间，女性人口就会

大大超过男性人口。你认为国王的这个法律会产生这样的效果吗？4.第

十次投掷

一只普通的骰子有6个面，因此任何一面朝上的概率是六分之一。假设你

将某一个骰子投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。第十次投掷，1点

汪是朝上的概率是多少呢？它是大于六分之一，还是小于，或者等于六分

之一？

39

第17讲简易逻辑中的趣题

教学目标：通过几个实例介绍简易逻辑的应用，提高学生学习的积极

在，从而培养浓厚的学习兴趣。

教学重难点：如何利用简易逻辑知识解决生活中的问题。教学过程：

例1、老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按

前后顺序站成一列，然后让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并

将剩下的两顶帽子藏了起来，三人睁开眼睛后，后面的人可以看见前面人

的帽子颜色.这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色？”结

果三人都说：“不能！”老师又说：“你们再考虑考虑，能判断出来吗？

三人思考了一会儿，还是都说：“不能！”老师再一次问：“真的不能

吗？"，这时，站在最前面的同学突然说：“老师，我知道我戴的帽子颜

色了！”请问，这位同学戴的帽子是什么颜色的？他又是怎样判断出自己

帽子的颜色的？解析：不妨从前到后记三人为甲乙丙,第一次问，甲乙自

然无法判断，而丙也无法判断，说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或

“一红一白”；第二次问，丙的情形没有变化，也无法判断，这时，甲和

乙可以动脑筋了，既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”，如果

乙看到甲的帽子颜色为红色，则乙的帽子颜色肯定为白色，这

40

样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案，这说明乙看到的甲的帽

子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色.

这样，当老师第三次提问时，甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”

的回答给自己的提示，从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色.

例2.孙膑是中国古代著名的军事学家，他的兵法众人皆知.一天，大

王决定要考一考孙膑的才能，便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝

座.”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来！”大王对他的答案立即

给予否定：“这不是用计！”庞涓又说：“那我用火烧！”大王也

不以为然，这时孙膑说：“大王，要你走下宝座确实不易，但如果你来到

宝座下面的话，我可以用计让你走回去！”大王一心要试一试孙膑的

智力，毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计，这时孙膑说：“大王，我已经

成功了！”大伙儿一时都糊涂了，这是怎么回事呢？

解析：其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局，如果大王不下宝

座，则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面"不成立，这样我的智力无法

表现出来了，而如果大王走下宝座，则“我己经让你走下了宝座”。因此,

无论大王怎么样动作，孙膑都能够保证自己至少不输！

例3、数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一

道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒,

每只盒子的铭牌上各写有一句话。三句话中，只有一句是真话。谁能猜中

我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫。”盒子上的话见图，求

婚者猜中了，问：他是怎样猜中的？解析：我们可以首先从问题中的一些

关联条件出发，借助图形加以分析，找出解题的突破口与关键，再应用形

式逻辑的一般规律等数学知识，以及生活中的常识，作出推理、判断，使

问题获解。

当求婚者看到金盒上面的铭牌“肖像在这盒里"（即肖像在金盒里）与铅

盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的两句话时，依据形式

逻辑中的排中律：一句话要么是真，要么是假，两者必居其一，因此可以

得出结论，这两句话必是一真一假。又因为三句话中只有一句是真话，所

以银盒子铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就肯定是假话了，于

是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里。

例4：话说在远方的一个岛上，住着两个民族，一个是诚实族，一个是说

流族。顾名思义，说谎族在说话或回答问题时总是说谎话，诚实族在说话

或回答问题时，则全是说实话。某记者在此岛上遇到了四个岛民，记者照

例对他们进行了访问：“你们都是

41

什么族的？诚实族的还是说谎族的？”这四人的回答如下：

第一个人说：“我们四人全都是说谎族的。”第二个人说：“我们之中只

有一人是说谎族的。”第三个人说：“我们四人之中有两人是说谎族的。”

第四个人说：“我是诚实族的。”试问第四个人是否真的是诚实族的？

解析：我们可以从题设条件出发，通过分析找出解题的突破口，依据

一个人所讲的话非真即假，并辅之以反证法，对各种情形逐一推理、判断,

使问题获解。由第一个人的回答可得出如下判断：

①四个人中一定有诚实族的人；②第一人是说谎族的。（因为如果四个人

全是说谎族的，那么谁也不会说“我们四个人全都是说谎族的”。）由第

二、第三人的回答可得出如下判断：③第二人是说谎族的。

因为如果他说真话，则第二、第三和第四人应是诚实族的，但第二和第三

人的回答相矛盾，故第二人必是说谎族的。

对第三人，若是说谎族的，则由①、②和③知，第四人必是诚实族的；若

是诚实族的，即他说真话，则第三、第四两人必是诚实族的。因此第四人

是诚实族的。

42

第18讲解数学题的策略

新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学

生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的

组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？

教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这

个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是

能力的能力。一、好心态优先的策略

沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有

大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直

觉失效，没有题感，死得很惨”。

例1、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个

三角形