数学建模 SARS的传播 (三)

SARS的传播

摘要

我们把本次问题分为以下四个阶段：

一，早期模型的合理性和实用性分析。

附件1中给出的模型建立在指数函数的基础上，并对传染期限进行了限

制，并且机的量定量化了，这样势必造成模型的不实用性，我们根据文献对它进

行分析。

二、建立模型

(-)利用线性回归建立的模型

(1)在经历数据的预分析，回归方程的选取，模型的精细分析，模型的确认后

做出回归方程。有资料显示，SARS的传播和传染率、潜伏期、病程长度以及死

亡率有关。于是我们根据附件2给的北京地区的数据，由资料和经验选择因变量

和对有重要意义的变量，拟合一个线性回归模型，接着利用显著水平检验线性回

归关系是否显著，结果发现拟合的效果并不是很好，于是给出否定。

1,尽管方程被否定了，但是我们在作图的过程中发现了一个很重要的关系，

由此建立了模型一。

2,我们用直线和高次累函数进行拟合得到了不错的效果。

这个模型最大的优点就是由数据本身出发，让数据说话，能反映数据的信息，但

是它的缺点也是显而易见的：lo只有当情况已经发展得很严重时才能给出预测,

而现实与之相反。2。某些部门，比如医疗部门，还希望我们做出的模型能够给

出更细致的分析或预测，如能预测出某一天被感染的人数，采取何种措施等等。

对第一个模型的换位思考

为了我们从另外一个角度考虑，从传染病发生及传播的途径，方式等角度考

虑，建立了另一个模型二，考虑随机性更大的模型；为了我们做出了模型(3)：

它能够满足个别部门的需要。

我们可以根据已经建立的模型，主要是模型三，来进行检验，看看采取措施、

不采取措施或措施不强劲而引起的后果。我们对提前或延后5天采取严格的隔离

措施对疫情传播所造成的影响做出了估计。这对于政府的调控有很重要的实际意

义。

三用已给定数据来说明非典对我国的旅游业的冲击。

1,运用灰色系统理论来进行预测，并将预测结果和现实情况进行了疝；

2,运用季节性模型，同时引入船舶学中的“艄前波法”来进一步简单说明

了这个问题。

四题目最后要求我们给当地的报刊写一篇文章来说明建立传染病数学

模型的重要性，而我们以上建立模型主要是根据非典这一特殊的情况来的，文章

对此进行了扩展。

—问题重述

SARS的传播

SARS（Sever。AcuteRespiratorySyndrom。，严重急性呼吸道综合症，俗称：

非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延

给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验

和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条

件的重要性。请你们本SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎

样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模

型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延

后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的

数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考工

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二问题的假设

1、不考虑SARS的空间扩散和分布，仅对研究区域.内易感人群中疫情随时间

的发展进行研究。

2、假设考虑的人群是一个封闭环境，人群没有迁入，也没有迁出，并考虑到

流行病的特殊性，在传染期间它导致的死亡率相对于自然的死亡率高得很

多的并且时间短，所以在这种意义上忽略自然的出生率和死亡率。

3、假设易传染人与得病的人，一旦接触就会被传染上，传染后他就是病人了，

没有潜伏期的，在单位时间内，移出染病类的比例是常数，并且如果病人

治愈将获得终身免疫也就是说不会再感染了。

三问题的分析

对早期模型合理性适应性的分析

早期的模型有几个很明显的缺点：首先，该模型过早地引入了一个模型，还

有两个不确定的参数。为了解该参数，早期的模型对香港和广州的疫情进行拟合

以确定参数，因为香港和广州两地的情况有很大不同，故参数的值也是不一样的。

于是模型分别用两个不同的参数对北京的疫情进行分析、预测和比较。这是不太

合理的。总结历史上爆发的流行病发展规律都显示了环境因素，尤其是气候与季

节因素对疾病的流行具有重要的影响，地区不同，环境因素差异很大，不能不考

虑。第二，该模型把传染期限设为一个定值，在这个期限力病人都具有传染能力。

而实际的情况是对一个病人来讲，他在潜伏期后会发病，潜伏期的长度一般是

2〜12天，但具体一个病人的潜伏期是随机的，弃且专家解释说潜伏期的传染力

是很小的，其实可以不予考虑。我们引入•个病程长度的概念，病程长度是指病

人具备传染的时间长度，这断时间病人具有较强的感染力。再者SARS是一种患

者绝对数量很低，相对易感人口总数的比率也很低的传染病,对这样一种传染病,

用随机模型应该更适宜，把一些量定位为定值的不是上策。第三，也是我们认为

最不妥的地方。我们认为一个较好的模型应该能够充分反映数据的特征，而不是

先建模型，再往数据上靠，这样我们在对数据本身涵盖的信息的了解方面就受到

了很大的限制，会产生误差，再用这样一个有很大误差的模型进行预测，误差又

会进一步放大。

四模型的建立

模型一：

由于早期模型有这样的缺点，我们可以在它的基础上将模型进行改进，或者从另

外的角度来建立模型。直接利用数据，挖掘数据本身涵盖的信息，让数

据本身来说话。这样可以避免正面的考虑自然、社会这些不可定因素，

降低了建模的难度，但又不影响模型的优劣。

在早期模型的基础上进行改进得到的模型。

建议如下的疫情演化微分方程：

=KW(f)-N("L)];

其中N代表SARS病人的总数，K(传染率)是指平均每天每病人传染他人的人数,

L是平均每个病人可传染他人的天数。(d/dt)N(T)为每天(单位时间)

发病人数。N⑺-N«-L)表示可传染他人的病人总数为总病人数减去失

去传染能力的病人数。

方程的求解

如假定一个初始的爆发时间，最初有N。个病人突然出现，在L天之内(IXL)

则N。-£)=0。在这人出发期间内，上述方程的解呈指数增长：

N(f)=N0(l+K)'(t<L)0

在L天之后，一部分人已经不具备传染力，作为上述微分方程的解，发病人数应

为

N(f)=[(1+K)'-("DK(1+K)'1(L<t<2L)

和

N(f)=M(l+K)'-N(j)(2L<t<3L)

并依次往后推。

入开始没有假定初始爆发时间，或认为最初的一批病例发现时，其中有人已发病

了若干天，那么最恰当的数学处理应是疝上述微分方程求解。下面我们

直接给出解析解:

N⑺=Ci+C2eW，（KL>1，或KL<1）

其中Cl和C2是常数，W为以后发生病例数的衰减率(其负值为增长率)，满足

如下超越特征方程

WL+KL(\-^')=O

当KL>1,WL的数值可按下式迭代求解

当KL<1,WL的数值可按下式迭代求解

WL=\n(\+WL/KL)}

当KL=1,WL=OO此时方程有退化解

N(t)=Cl+C2t,表明总人数呈线性增长。

WL也可以由幕级数展开计算。

I忆=2(1—KL)+(2/3)(1_KL)2+(4/9)(1_KL)'+(%35)(1_KL)4+(8%O5)(1_KL)$+..

疫情受控指标W

当人们谈到“疫情得到控制”或“尚未得到控制”时，是否有一个明确的科学指

标作为依据？我们认为W正是这一指标。按以上分析，如已知K和L,

则可用WLo指标KL实际上表示单个病人在传染期内所传染的总人数。如

KL=1,表明传染源的人数恒定，得病人数会无止境的增长；算出的WL

=0,表明疫情没有得到控制。如KL>1,表明以后会传染的人数越来越多；

算出的肛为负值，表明疫情不但没有控制，还仍在爆发。指标犯越大

越好，越负形势越危险。

模型二:

可以在第一个微分方程后面加一个常数C，这样，在后来对该方程求解时，可

以引入一个C(t),这正是一个随时间不断变化的量。在实际中，它可以

有具体的意义，如政府的调控，在各个阶段国家投入的财力物力，采取

的措施是不同的；再比如说，随着时间的推移。防御手段也会不断改进;

还比如说，群众在心里重视的程度也会随时间发生相应的变化。这样，

引入这样一个C(t),也即加入了一个很随机的因素之后，模型的实用性

就明显增强了，于是方程可以改进为

，=K[N⑴-NQ-L）1+6

求解过程略。

由传染病的相关专业知识我们了解到，最简化的SARS传播动力学模型和4个参

量有关：感染率，潜伏期，病程长度，死亡率。4个参量中，只有潜伏期

不受人类影响，且它作为不受人类影响的客观量，可变范围不大，有数

据表明在变化范围内潜伏期和病程长度疝模型的影响不大。影响传染病

传播的主要因素是感染率。借鉴已经有的例子，平均潜伏期增加1天，

仅引起疫情长度不到2%的减小和病人总数不到5%的减少。而感染率极

其微小的变化都可能对结果有较大的影响，如控制后的感染率不是0.01

而是0.015,疫情的总病人数均可能增加25%或者更多。

由上面初步的分析，我们着重考虑感染率，死亡率，并充分利用附

件二中的数据引入一个出院率。为了简化，我们不用率，而是直接用人

数来表达，这并不会引起模型的优劣，因为分母是一样的。我们把感染

人数稍作变换，以利用题给数据。定义可传染他人的病人总数为总病人

数减去失去传染能力的病人数。那么在这个模型中，作一些量的约定:Y-

确诊病人数；XI——可传染他人的病人数（以下简称为“可传”）；X2——

死亡累计人数；X3一一出院累计人数。

X1=Y-X2-X3;

我们利用DPS软件进行拟合，首先，我们将已确诊病人数作为因变量，另三个作

为自变量拟合，但是这样拟合出来的回归方程因变量与变量之间的显著

水平太低，即是说发现用确诊病人数作因变量，另外三个变量作自变量

拟合的结果并不是很好。但是可传染病人数和己确诊病人数的图形给了

我们一个很好的思路。二者的关系图例如下所示，前一段呈很明显的线

性关系，后一段呈骤减的趋势。这是有实际意义的，它反映出的共同的

特征为：（1）不加控制时患病人数会急剧增加；（2）控制后，由于易感

染病人有潜伏期，高潮滞后几天才出现；（3）控制效果显现后，患病人

数会比较迅速下降；（4）晚期作为随机起伏，零星发病可能将疫区解除

时间拖得比较长。

我们想找出具体的函数关系，根据以上的分析，我们可以将整个过程分为两

个阶段：控制前和控制后。有两种方案：两段直线拟合与直线拟和加

曲线拟和。比较两种方案，得出较优方案。。

数据前半段拟合图形

Dependentvariable.已确诊病Method..LINEAR

MultipleR.99863

RSquare.99726

AdjustedRSquare.99714

StandardError35.34009

Regression110898501.310898501.3

Residuals2429974.11248.9

F=8726.32620SignifF=.0000

VariablesintheEquation

VariableBSEBBetaTSigT

可传染病1.171746.012543.99862893.415.0000

(Constant)-26.75298518.396747-1.454.1588

已确诊病人累计

可传染病人数

后半段数据拟合:

-Dependentvariable.V2Method.CUBIC

ListwiseDeletionofMissingData

MultipleR.98731

RSquare.97478

AdjustedRSquare.97256

StandardError5.15557

AnalysisofVariance:

DFSumofSquaresMeanSquare

Regression334930.49411643.498

Residuals34903.71726.580

F=438.05630SignifF=.0000

VariablesintheEquation

VariableBSEBBetaTSigT

V7054582.014958-1.132855-3.649.0009

V7**2.0001091.7340E-054.6120016.274.0000

V7**3-5.46758968E-085.5767E-09-4.431374・•

(Constant)

2527.053305

3.084640819.238.0000

上图中V2表示可传染的人数，V7表示己经确诊的病人数。

我们分别用直线和三次方服函数线进行拟合，得到了不错的结果。并且它们

具有十分重要的实际意义。用直线拟合的部分可以认为是爆发初期，虽然病毒已

经广泛流传，但是由于公众对病毒传播速度认识得不够，没引起足够的重视，加

上政府的控制不强，所以呈现一个急速.匕升的趋势。在用高次幕曲线对第二部分

拟合的阶段，人数的下降得十分快，我们认为这是因为政府抗击非典的措施加强,

群众引起了高度的重视，采取了一系列防御措施，使得患病人数有递减的趋势。

从中我们可以看出隔离和防御等措施对疫情控制所引起的重要性。

模型三：

由模型一的建立我们发现一个很重要的因素：控制和防御措施对

SARS的传播有很重要的影响，于是我们的思路自然而然的转到了对控制

和防御的分析上了。这就是第二个模型的基础。

1、SARS传播模式

根据香港、广州、新加坡等地SARS病情特点，其传播模式呈现以下几个阶段：

A、爆发初期，由于潜伏期的存在，社会对病毒的传播速度认识不足，在病毒实

际上已经广泛传播的情况下，由于需要10〜14天才表现出临床症状，所

以政府和公众并不以为然。

B、当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，政府随即采取多种措施，但

并未收到预测效果，即未能使病毒的传播得到有效控制。

C、在患者人数不降反增的情况下，被迫加大控制SARS措施的强度。由于对病毒

传播的特点不清楚，公众错误的认为病毒是不可控制的，于是产生安全

恐慌。与此同时，防治措施使社会经济活动受到明显抑制，公众对未来

经济前景的信心下降，产生经济恐慌。此时社会处于一种高危状态。

D、当高强度的措施实施两周后，病毒扩散的速度实际已经被控制，发病人数保

持稳定，出在一个高平台阶段。E.在高平台现象一周以后，控制措施的

作用开始显现，患病人数开始缓慢下降，公众终于松了一口气。F、当发

病人数降低到一定控制水平之内时，各种管制措施也相应减少，此时，

应防止病毒传播的死灰复燃。为此管制措施必须有步骤有计划的逐步解

决O

2、SARS的传播模型和控制模型

1SARS传播模型

SARS的传播是由于患者在被收治之前与其他人的传染性接触而发生的。这里假

设被感染者的平均潜伏期是T天，最初的传染源为S。人，而每个传染源

在收治前（即潜伏期内）平均感染q人。根据卫生部门提供的信息，被

感染者的平均潜伏期约为5天，由于4月20日后才有公开的媒体报道，

故不能把这一天当作起始天，我们根据实际情况的3月6号不妨把3月1

号当作起始时间，因为北京市在4月20日之前基本无隔离措施，所有的

感染性接触都处于自由状态，由此，按5天一个周期，此期间北京市感

染和收治的人数可由下表计算：

表一感染人数与收治人数

周期起止时间熙染人数收治人数累计收治人数

13.1-15国

236-3.10S.q%。+0）

33.11-115So（1+g+/）

9

104.16—4.20s/

v-0

北京市在4月20EI以后采取多种阻断措施，这些措施可分为隔窗措施和防

疫措施两类。隔离措施主要包括：部分传染源被完全隔离（比如封楼），使传染

链被阻断；部分公共场所的关闭，也使某些传染链被阻断；部分传染源虽未被完

全隔离（比如小区隔离、单位隔离），却使传染链被破坏，传染源能够接触的人

数及传染人数大大减少。防疫措施包括：与SARS患者有接触者，通过消毒、保

护等防疫措施减少其被感染机会；公共场所、设施的消毒；各种办公场所及家庭、

居民区的消毒。此间的情况可以用下述模型表示：

M=P^(A^B)V

其中，P为与感染者有传染性接触的人被感染的概率，A为在一个潜伏期内

与感染者有传染性接触的可控制人数，B为在一个潜伏期内与感染者有传染性接

触的不可控制人数。其中可控制的传染性接触者包括家人、同事、邻居以及能够

通过调查追踪到的其他人，这些接触者可以被隔离；不可控制的传染性接触者是

指无法追踪到的传染性接触者。M表示在一个周期内的感染人数。

影响感染概率P的因素有：社区、公司、党政机关、社会团体自我防护措施,

公共场所的防护措施；接触者的自然免疫能力；家庭的消毒措施和卫生习惯；公

共场所的通风和消毒措施等；一般情况下，A等于与一个发病者有传染性接触而

被隔离的人数，它是一个可控数；由于B是流动的不可控制者，所以认为B是整

个社会流动性（各种正常的经济活动、社会活动芍来的流动性）或者说是社会经

济活动强度的函数，假设存在线形关系，也就是说，社会流动性不变时，B不变,

流动性越大，则B越大，反之，B越小。

以4月20日为起点（即第0期）：采取措施前社会上被感染的人数，

并假定各个周期内采取的措施相同，4月20日以后的感染情况可以下表表

示：

表二二十天以后感染情况

周起止时

盛染数收治人数

期间

04.20

421—

1WPBWPAW

4.25

4.26-WBP尸(Z+8)=

2幅2炉WF^ABWPB

430WPiAB-¥WP2B2

501-

3心〜炉+杵3炉WPiAB1行好

505

5.06-

4“8，WP^AE?阳尸炉

510

2、控制措施模型

很显然，如果控制某一个周期内的收治人数，主要是控制感染概率P和流动

接触者Bo

⑴P的控制与减少措施

SARS卫生知识的宣传；

强化公共场所的管理(如公交、商场、餐馆、娱乐场所等)

强化流动人口的管理(如长途汽车、火车、飞机、轮船、出租房屋、宾馆等)；

防护工具的使用；

消毒工具、药品的使用；

建筑物的通风条件的改善；V

卫生环境的改善；

提高人的自然免疫力。

很显然，每一个措施的采取，都将会使感染概率P下降，在4月20日以后,

措施越来越多，P会越来越小。

⑵流动接触者B的控制

流动感染者可以包括两个部分，一是城市间的人员流动；二是城市内部的各

种经济活动产生的流动。可以采取的措施有：

最极端的情况B=0。为此，需要切断各城市之间的联系(但会对经济产生

毁灭性的影响，不到万不得已不会采取)；断绝公共交通(飞机、火车、地铁、

公交)，隔离期间人员不得进出，要求全部人员生活在各自居住地，尽量不得交

叉来往。生活用品由政府、居委会保障日常生活供应。以采取完全强制措施起共

持续20天时间，其间，集中精力将北京市的患者从市民中分离出来。在此前被

感染的SARS患者将全部出现临床症状并被收治，而与SARS患者有传染性接触的

人被分类隔离观察14天。观察期满后，将无症状者解除隔离。

最宽松的情况，B二最大：城市之间和城市内部的经济活动正常进行，城市

的流动性最大。此时，M等于北京12个行业感染流动性的加权值，见下表：

中间情况：①对城市间的流动进行限制，通过检验体温等措施，可以控制

输入性传播。②通过对城市内的经济活动进行相对限制，比如某些行业放假或

在家办公，城市流动性相对减少，由此流动感染者人数减少。可以计算，如果对

需要程度最低的行业，即需要强度为2级的行业采取隔离措施，则城市流动性降

低为1.87(二2.08-0.21),相应地流动感染人数降低10%左右；如果继续对需要

程度为3级的行业采取隔离措施,则城市的流动性降低为1.33(=1.87-0.54),

流动感染人数降低36%左右；。依次类推，如果继续对需要程度为4级的行业采

取隔离措施，则城市的流动性降低为0.92(1.33-0.41),相应地流动感染人数

降低56%左右；如果采取极端措施，即完全封城，则城市流动性则降低为0。

(3)对各种措施的效果分析

1、假设只有隔离措施起作用，防疫措施没有低感染概率:

行业流动社会比孰GDP

人致潦动性

握度m需爵?度(%)比副％)

农林牧叁105592513305014

呆史115271001

制通16$315232142780035

电.气、水165571002

建筑160352574781012

也A'水利1.10240.6001

史逋'仓糟邮电通信26053448745012

290512881818010.52

金融保险2404111.51549004

房也产21021424150M

注会及务2454783II027

工生体育、社金福刎45。51927012

又化.广看电重电祝22524766015

科林、蟀台技术朦/p>

©京机夫.政党机灵.法会忸侬19543752000010

其他2003Z112626002

合计7114100208

由此容易计算各种措施的效果：如果采取2级措施，5月10日的新发病人

数降低35%,只有自由状态下的65%；如果采取3级隔离措施，5月10日的新发

病人数降低83%,只有自由状态下的17%；如果采取4级隔离措施，5月10日的

新发病人数降低96.2%只有自由状态下的3.8机

如果在5月1日采取措施，其效果为：2级措施，新发病人是自由状态下的

90%；3级措施，新发病人是自由状态下的64乐4级措施，新发病人是自由状态

下的44%。

2、假设防疫措施却隔离措施同时起作用(防疫措施降低感染概率10册而自

由流动时也无防疫措施)：

隔离模式流动性感染概率流动感祭者比例5月1。日新发患者数

自由次动208P2.08BWQ086

2级隔寓18709P187BW(187809P)1

3级隔离13309P133BJF(133B09尸¥

W战隔离09209P092BW(092b09尸)，

5级隔高009P00

与上面的计算相同，，如果采取2级隔离措施，5月10日的新发病人数降

低57%,只有自由状态下的43乐如果采取3级隔离措施，5月10日的新发病人

数降低89%,只有自由状态下的11%；如果采取4级隔离措施，5月10日的新发

病人数降低97.5%,只有自由状态下的2.5机

如果在5月1日采取措施，其效果为：2级措施，新发病人是自由状态下的

81%；3级措施，新发病人是自由状态下的58机4级措施，新发病人是自由状态

下的40%。

可以得出结论：隔离措施和防疫措施对减少新发病人数的效果相同，任何一个措

施的效果在后面的第三个周期才能显著地表现出来。

旅游预测模型：

GM模型：

根据题给数据建立相应模型，对SARS给海外旅游带来的影响做出估计，并

对今后旅游业的发展做出预测。

由于从前几年同期的海外旅游人数呈递增模式，故采用GM灰色预测模型。

A：假设

1、对于12个月的数据分别进行GM预测及通过前六年的1〜12月份的

数据预测2003年在没有SARS的情况下北京接待的海外旅游人数

2、由于今年前三个月北京几乎不受SARS的影响，所以可以用来检测G

M预测模型的准确性

B：为了建模过程中叙述方便，约定以下符号：

x(0)代表某一个月的原始数列

X”)代表某一个月的预测模型

X案为原始数列中的一个元素

xZ为预测模型中的一个元素

C：建立模型

这里之所以不采用GM(1,12)模型是因为前一年12个月的人数对第二年

某一个月旅游人数的影响儿乎为零、所以这里采用GM(1,1)模型。

建模的思想方法：

设系统的行为特征量的观测值为：

<<kG

X={M右)e区心wR，ti<t1-t,)K}

对此数列的发展变化进行预测称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预

测。

若数列服从灰指数分布率，就可以对它建立一阶线性微分方程

^-+ax(t)=b

dt

当系统行为特征量平稳变化时，或者说系统行为特征值X。)为一光滑曲线

时，我们就知道了工⑴在t=t时的导数等上的部分信息即知道了导数是连续

kdt

变化的，因此，可设幽。为一区间灰数。取其一个白化值，再由最小二乘法可

dt

得上述微分方程参数a、b的估计值a花。这种基于灰色系统理论中灰数白话理

论对一个数据序列建立的一阶线性微分方程模型称为GM(1,1)建模法。

解微分方程得到非齐次指数函数

x(Z)=c£(a+d,d=%",c=x(0)-d

称其为GM(1,1)的连续响应形式。

对1月份建立GM(1,1)模型

设X。=(X°(l)，X°(2)，…，X°(m)，得

X(，＞=(X(，)(l)，X(，)(2),...，X(，)(n))

=x2i)，x"'⑴+X’"(2)，…，X'"(〃T)+X'%)

建立白话形式的微分方程

工

dt八

设6=(々,〃)，按最小二乘法得到

其中

_；（X⑴⑴+X“2））I

*⑼⑵、

—：（x⑴⑵+X⑴⑵）1%(0)(3)

乙

•・y.=，

（X2〃T）+X“）（〃）i

易求得，方程的解为:

X⑴伏+D=（X⑼⑴一?

在本题中数据见附件3,

即一月份北京接待海外人员数的原始数列为

X（O）=（9.4,96,10.1,11.4,11.5,13.7）

建立GM（1,1）模型，按上述方程求解得到预测方程为：

X⑴（%+1）=（9.4+94.58.5）/""以666原—94.5805

由模型得预测值为14.9万，而事实上公布的数据为15.4万。所以基

本与事实相符合。

同理，对2〜12月份建立相同的模型，得预测值分别为29.4,24.9,31.7,

34.0,32.4,29.1,35.3,33.7,33.3,30.8,23.2。（单位：万人）

D：分析

从前三个月的检验来看，1、3月公布的官方的数据和预测的结果惊人的相

似，但是对第二个月，事实与结果有较大的出入，可能是由于农历新年正巧在二

月份，接待海外旅游的人少了。下面附上利用GM（1,1）模型预测的2004年

接待海外旅游的人数情况，仅供参考。一到十二月份分别为（19.5,32.1,27.4,

35.1,37.6,36.2,31.7,38.3,36.2,35.0,32.7,27.4）（单位：万人）

o3年实际与预测北京接待海外人数比较图

图中靠上的一条线是预测结果，靠下方的线是实际情况。

我们着重对发生非典之后（3月份之后）的情况进行分析：3〜6月份是突发

期。一般突发性事件即刚开始发生时，负性信息，特别是与民众自身关系密切的

信息，易引起他们的高风险评价，导致非理性的恐慌或紧张；6月份之后，玫府

的主动防范措施、控制力度加强。如对SARS传染源的封堵及定点医院对患者的

紧急救治，公众对该钟病毒的认识加强，政府对卫生系统的投资力度加大，同时

加强了管理等等，这些因素使得非典在后一阶段产生的影响减弱。

季节性模型：

除了灰色预测，我们站在另外一个角度对这个问题进行了分析°

在建立这个模型时，我们主要采用季节性模型的时序分析方法，并引入了船

舶运动姿态的预报模型的思想：也即“脑前波”法预测航母运动姿态的思想，这

是我们建立这个模型的基础。

由于海风海浪的影响，船舶的运动是一个十分复杂的六自由度过程，严重威

胁了舰载机的作业安全性。而实际又没有好的办法直接对其运动姿态做出预测。

利用时间序列方法建立大型船舶运动的数学模型，因为在模型中引入船舶处的海

浪信息，故又叫脑前波法。在海上由于风浪的作月，使船舶受力的作用而产生复

杂的运动。若在预报过程中引入波浪的信息，增加了模型中信息含量，以提高预

报精度，海浪通常可以认为是平稳随机过程且具有各态历经性，可以用一次大样

本实现代替总体。故该问题使用时间序列方法建立船舶运动的过程模型，并进行

预报。

SARS问题也可以借鉴“脑前波法”的思想。逐外旅游业因为SARS的影响有

所冲击，这样可以建立一个二者的关系，我们只要知道SARS的变化或者状态就

可以对与之联系的旅游业的情况做出估计。

我们首先根据前儿年的数据对SARS不出现时2003年的北京地区海外旅游人

数做出估计，并同在有SARS冲击下的北京地区海外旅游人数相比较，很容易发

现SARS对它的影响。目前无论是政府还是公众都对SARS引起了足够的重视，虽

然疫情高潮已过，为防反复，后期的监控仍很重要，这一理论模型对今后各种传

染病流行的监控都有积极的意义。

根据北京市接待海外旅游人数数据的分析以及附图可知改组数据蕴涵的

随机趋势性和随机季节性。数据本身显示出一个有规律的周期性趋势：每年9、

10月份出现一次较大的峰值；1月份出现较小的峰值，此外还存在总的增长趋势,

所有周期性趋向都叠加在增长趋势上，因此我们采用季节性模型的持续分析法对

2003年1〜8月份做出预测，并且与现有数据进行比较，分析SARS在2003年对

北京市接待海外旅游人数的影响，并且可以预测以后的发展趋势，为旅游部门等

提供参考。

建立模型

对于季节性模型，满足用疏系数AR1MA模型去描述的模型：

其中周期S为一正整数，一个时间序列{X7=0，±l，±2,...}

25

①（3）=1-①B-02B--①P矿

刨3）=1--①2*--6B。

首先采用数据变换的方法使数据平稳化和等方差化，对X,作对数变换：

K=LnXj设.乘积型序列,我们取得1997〜2002年各月海外旅游人

数，以月为间隔，总长度为n=72,为了进行预报，我们要估计匕的随机模型。

先分析匕的自相关函数和样本偏相关函数，若它们都不截尾也不拖尾，再分析

数据列▽口Y,=YrY.的样本自相关和偏相关函数，若仍不截尾也不拖尾，

可由低到高再考虑数据以及一旦从中找到一个,

可以认为它的样本自相关和偏相关具有截尾或托尾性质后，就以这样的一个公式

三川当作某个ARMA序列，用72个样本计算Z,，

▽乙，▽，，▽▽工，的样本自相关函数”与偏相关函数人，取公式A和

J都近于托尾的一组。

Tkk

作差分以消除X,的非平稳性和季节性，然后利用AIC准则对模

型定阶，这一过程可以利用procarima过程实现。取mim(AIC)

的一组阶，用ML估计算出①

Y=InX,假定为正态序列服从正态分布NQ/.b?),则x服从对数正态分

2

布E")=exp(〃+g，)。X,为正态序列，gjO代表在时刻k的1预报，&(/)

代表预报标准差，文J0代表X,在时刻k的1步预报值，则有

I)

X//)=exp(r//)+-a-；(/))o

优缺点：用灰色系统预测时的优点就是从数据出发具有说服力，在数据呈递

增或者递减的情况时，能校准确的反映客观事实。

缺点就是当数据呈无规律或复杂规律时变化时很难拟合，预测可靠性不高。

再针对以卜模型的缺点提出一点建议:

一般说来，我们用数学模型和统计方法研究疾病传染的规律，通常都是通过

宏观的量，有没有这种可能性，当我们采取某些具体措施的时候，把反映这些措

施的量也能考虑进去，这样的模型带有一定的微观性，比如说可以把隔离的情况、

医疗措施等考虑进去。这些措施如果考虑进去以后，原来的模型就会是另外一种

情况，虽然有些量可能不太好量化，但这样的模型分析更准确一点。

我们用这些模型来做SARS疫情有一定难度，因为它还在不断发展过程中，还有

很多新的数据进来，可以建立一个动态的模型，我们对死亡率的估计实际上就是

动态的模型，不断有新的数据进来，我们不断的修正我们的估计，在统计里面也

有一种方法叫做贝叶斯方法，就是先有以前的先脸估计，再加上新的数据进来，

不断修正我们的估计，这是动态的估计。

那个模型建立起来对今后有指导意义，我们不希望今后SARS再暴发，但是客观

事物不是我们能预料的，对今后再次出现疫情的时候，我们怎么控制它是有指导

意义的。

从SARS谈建立传染病模型的重要性

SARS,又叫非典型肺炎，或者叫重症急性呼吸道综合症，是去年11月发现首

例病例，在中国香港、广东等地区开始流行，危害性是非常严重的。历史上也曾

经出现过这样的大灾难，如1665年伦敦的大瘟疫，1906年印度的瘟疫等，它们

的发展过程是否能用定量的方法探讨这些传染病的传染过程，流行病的高峰期能

否做预报的等问题，基于这样的想法，就提出按传染病的传染机理建立数学模型。

数学的模型它是比较理想化的模型，和我们实际生活中发生的情况，总是有

一定的距离的「一个在准确性和实用件之间要找到平衡点的模型对我们的生活极

具指导意义。一个是进行预测，这在今年非典时期做得很好；另一个是进行控制