数列 专题检测

专题检测数列

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（2022•湖南岳阳一模）已知等差数列｛m｝满足〃2=4/3+。5=43-1）,则数列｛〃”｝的前5项和为（）

A.10B.15C.20D.30

2.（2022•山东日照模拟）数列｛%｝的前〃项和为S尸2〃+2,数列｛Iog2〃“｝的前〃项和为4,则T20=（）

A.190D.192

C.180D.182

3.（2022・四川凉山二模）等比数列｛斯｝的各项均为正数，等差数列｛儿｝的各项均为正数，若出的=儿岳，则

S与瓦的关系是（）

A.£73=Z>6B.432方6

C.sWb6D.以上都不正确

4.（2022•河北邯郸一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算

经》卷下第十六题的“物不知数'’问题，原文如卜:今有物不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七

数之，剩二.问物几何.现有一个相关的问题:将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4

的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）

A.132B.133

C.I34D.135

5.（2022♦湖南长沙模拟）若数列〔为｝满足斯+k3a“+2,则称｛小｝为“梦想数列”，已知各项均为正数的数列

｛a1｝为“梦想数列"，且七=2,则力4=（）

A3_p—c-［）~

81027

6.（2022•陕西汉中二模）已知各项均为正数的等比数列｛斯｝满足43=。2+%，若存在而面,使得

%,4=16。：,则3+之的最小值为（）

A.1B.16C.iiD.1

342

7.（2022•福建漳州二模）已知S”是数列｛〃”｝的前n项和⑼=1,。2=2,。3=3,记/为=aL+。”+2,且bn+\-

儿=2,贝ijS31=（）

A.171B.278

C.351D.395

8.（2022・浙江・10）已知数列｛m｝满足0="”+产出4底（“£1\0，则（）

A.2<100r/ioo<^B.^<1OO6'IOO<3

77

C.3<IOO«1OO<5D.y<IOO«ioo<4

二、选择题:本题共4小题,每小题5分洪20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.我国古代数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》卷中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑

堤，只云初日差六十四人,次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为:“官府陆续派遣1864人前往修筑

堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3

升.”则下列结论正确的有（）

A.将这1864人派遣完需要16天

B第10天派往筑堤的人数为134

C.官府前6天共发放1467升大米

D.官府前6天比最后6天少发放1260升大米

10.（2022•重庆第二次学业质量调研）设数列｛斯｝的前〃项和为S”,已知。尸2,且2伽+1）斯-〃斯+产0（〃£

N*）,则下列结论正确的是（）

A.｛〃4〃｝是等比数列

B•倍｝是等比数列

C.an=n-2"

1）0+2

11.（2022・辽宁大连模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中后人称为“三

角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第〃层有如个球，从上往下〃

层球的总数为工,则（）

A.S=35

5A

B.a,t+\-an=n

C&尸昨

12.（2022•江苏苏州模拟）正方形ABCD的边长为4,取正方形/18C。各边的四等分点£F,G,H作第二

个正方形EFG”,然后再取正方形EFGH各边的四等分点作第三个正方形MNPQ,按此方法

继续下去，就可以得到上图.记正方形ABCD的边长为0,后续各正方形的边长依次为。2,阳1小,…，如

图阴影部分,设直角三角形的面积为力，后续各直角三角形的面积依次为必限…,源…，下列说法

正确的是（）

A.正方形MNPQ的面积为靠

B.…怨广

C.使不等式60成立的正整数〃的最大值为4

D.数列｛九｝的前〃项和S”<4

三、填空题沐题共4小题,每小题5分洪20分.

13.（2022・四川泸州三诊）已知S〃为等比数列｛〃”）的前〃项和，且｛小｝为递增数列，若0=15=32则

54=.

14.（2022・广东江门模拟）设S“为各项均为正数的数列｛小｝的前〃项和，若店=3+",则通项公式

an=.

15.（2022•河北沧州模拟）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里出现了“杨辉三角”，这

是数学史上的一个伟大成就，“杨辉三角”用图形表示如下.在杨辉三角中，第〃行的所有数字之和为2-

I若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,464,5,10,10,5,…，则此数歹IJ的前56项和为.

16.（2022•江苏南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如

下:第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为有的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；

第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保印每个小正方形靠角的4个，其余正方形

删去;……以此方法继续下去，经过〃次操作后洪删去个小正方形;若要使保留下来的所

有小正方形面积之和不超过嬴，则至少需要操作次.（1g2=0.301OJg3=0.4771）

19.（12分）（2022•山东淄博一模）己知数列仅“｝满足。尸1,且6+尸卜71+1刀为奇数‘设为二。2科

120nm为偶数.

（1）求证:数列｛瓦+2］为等比数列,并求出｛瓦｝的通项公式;

（2）求数列｛〃”｝的前2〃项和.

20.（12分）（2022♦江苏泰州模拟）在①3s“+产S“+l,②s。③2s〃=1-3加这三个条件中选择两个,补充在

下面的横线上，并给出解答.

己知数列｛斯｝的前n项和为5小,，各项均为正数的等差数列出”｝满足4=2,且如,电-

1,加成等比数列.

（1）求｛%｝和｛仇｝的通项公式;

⑵若金=。'求数列｛c〃）的前口项和Tn.

注:如果选择多个条件分别解答,按笫一个解答计分.

21.（12分）（2022.北京大兴模拟）治理垃圾是A地改善环境的重要举措.去年A地产生的垃圾昼为200

万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年,每年的垃圾排放量比上一年

减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%.

（1）写出A地的年垃圾排放量与治理年数〃（〃七N,）的表达式；

（2）设A”为从今年开始〃年内的年平均垃圾排放量，证明数列/“｝为递减数列；

（3）至少通过几年的治理,A地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？

22.（12分）（2021.天津.19）已知｛斯｝是公差为2的等差数列•其前8项和为64.｛儿｝是公比大于0的等比

数列内=4力362=48.

（1）求｛〃”｝和｛6｝的通项公式;

⑵记C“二〃2”+B，〃£N”.证明：

bn

（，）｛若9”｝是等比数列；

（力•）£1^±1<2&5WN〉.

k=iyck'c2k

专题检测二数列

1.B解析在等差数列｛〃”｝中,2〃4=。3+。5=4(44-1),解得出=2,于是得｛〃”｝的公差〃=今空=-1必=5,

所以数列｛3｝的前5项和为§5=5©+&耍4/=15.

2.B解析当n=\时g=Si=2G2=4,当〃22时尸5”6“=2”+2-(2”-1+2)=2”-2"7=2已经检验。产4

不满足上式，所以o设儿=1。82通则为=5t二;、所以

(z,nNL.tn-1,7?£24,

Ao=bi+62+83+84+,•,+b2o=2+l+2+3+,,,+19=192.

3.C解析设等差数列｛〃”｝的公差为3c3c=(解-或(为+①二环，又«1«5=«1»***a3=b工dWb£

•・•｛4｝,｛仇｝的各项均为正数,,..sW"

4.C解析因为由1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的

顺序所构成的数列是一个首项为14,公差为15的等差数列｛〃〃｝,所以该数列的通项公式为

a„=14+15(止1)=15«-1.令an=\5n-\<2022,又〃£N：

解得〃W134,即该数列的项数为134.

5.B解析若长-1｝为“梦想数列”，则a-1=3信-1)+2,即含-1号1,即蜉=*又人产2,所以数

列的｝为以2为首项/为公比的等比数列.则仇=2x(；)3二焉

J\«5/L/

6.C解析设等比数列的公比为/根据题意⑼・/=。皿+20,因为数列他”｝是各项均为正数的等比

数列，所以0>0同>0,故由上式可解得夕=2.又即所以域"U/T=16谱，即2'"+"2=16,所以

m+n=6.

因为〃?,〃为正整数，所以(八〃)可取的数值组合为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),计算可得，当w=2,n=4

时」+2取最小值:.

7.C解析•.a+i也=斯+|+〃"+2+4〃+3-(〃”+〃"+1+小+2)=。”+3“=2,，。1,—…是首项为1,公差为2

的等差数列血。5画…是首项为2,公差为2的等差数列03,%。%…是首项为3,公差为2的等差数

7,],§31=(。1+如+,,•+。31)+(。2+。5+,,,+。29)+(。3+。6+,•,+。30)+——^――+2X1()X1()+

10x9x2

--——=351.

8.B解析W<0,则数列｛。“｝单调递减，

则由4,+产。〃(1]。")，得'-----=T~>:，累加得」------>则」一>34,所以

sa“+l即3-即3即+13<1100

34flioo<l.

故lOOmoo<3,由」----->］，得上>手,所以」-----=<—=:（1+士），

an+lal3an3a”+ia3-a3__3n+i

nndn+2

累加得-----<：〃+；（；+；+：+…+士），

斯+1al332J4n+1

+,+

即」-<TlQ+l+；+…+人）<34+1（|X64X93）<40,故100«100>1

aioo332341003282

9.ACD解析记数列｛小｝为第n天派遣的人数，数列｛"｝为第〃天发放的大米升数，则伍“）是以64

为首项,7为公差的等差数列和m=7〃+57,｛仇｝是以192为首项,21为公差的等差数列，即

。“=21〃+171,所以00=7x10+57=127,故B不正确;

令64〃+驾12=1864,解得〃=16（负值舍去），故A正确；

官府前6天共发放192x6+^x21=1467升大米，故C正确：

官府前6天比最后6天少发放7x3x10x6=1260升大米，故D正确.

n

1O.BC解析由题意得符=2."故｛智是首项为2,公比为2的等比数列§=2.2"T=2”,则af,=n-2,

故B,C正确,A错误;S”=2i+2.22+…+〃-2*2S.=22+2-23+…+以2"1两式相减得S〃=〃-2/L

（2+2?+…+2"）=（止1>2/1+2,故D错误.

11.ACD解析依题意可知出+1-4”=〃+1,。”+1=。“+〃+1,故B错误;丁

a\-1,02=1+2=3,03=3+3=6,04=6+4=10,tZ5=10+5=15,/.5s=I+3+6+10+15=35,itA正确；

an+\-an=n+1小尸〃（〃>2）,/.an=（an-an.i）+（an.i-an.2）+•••^（a2-ai）+ai=/i+（n-

1）+i+2+1=华2〃=1时，满足该式，故C正确」二2（］一工）,则上+工+…+」一=2［（1±）+（L

2annn+1a\。2仰002\2

9+…+岛喘）］=2。舄）=各故D正确.

2

12.BCD解析根据题意可得若=（MJ+（jan.i）=翔-i（〃22）,故侬｝是首项为"二16,公

比为飘等比数列,则W=16x（1）nl,

则%=J16X（沪=4x（苧，:与故正方形MNPQ的边长为打攵其面积为今故A错误,B正

确；

根据题意可得b,Ax=忌=1xd广：可知儿为递减数列，又3焉:>/5=黑<

244322\8/1024431924

所以使不等式儿日成立的正整数〃的最大值为4,故C正确;

4

<4,故D正确.

13.15解析设等比数列｛a”｝的公比为g,由53=夕2,得a\+。2+。3二92,即1+炉二|g,解得g=2或q=g.

•・•｛a”｝是递增数列,.•・q=2,：.54=罄=2工1=15.

1-Z

14.2,解析J^=a“+；,当n=\时可得〃产(即+；)，解得0=%当〃22时，由

22

Sn=^an+，可得5,r.i=(«„.!+，两式相减，可得(a〃+a”.i)(an-Qn-i-；)=°M为%>0,所以a„-an.

1=5.所以数列｛小｝是以;为公差，以抄首项的等差数列，所以a尸；+例-1)=竽.

15.4084解析去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数分别为1,2,3,…，

对应个数构成一个首项为I,公差为1的等差数列，

则前m行数字个数之和为7；尸必尹,当m=10时？o=55,故该数列的前56项和为杨辉三角中前

12行数字之和减去23个1,再加上杨辉三角中第13行第二个数字12,

故所求数列的前56项禾1为V--23+12=4084.

1-2

16.m4"-1)9解析由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4,首项为5的等比数列，所以经过

〃次操作后,共删去的正方形个数S尸"孕=*4"-1).易知，经过〃次操作后共保留4”个小正方形,

1-43

其边长为以，所以，保留下来的所有小正方形面积之和为面鼠牛二⑨1.由周1焉，得

心吗嬴=丽泰丁砺就丽日52.所以，至少需要操作9次才能使保留下来的所有

小正方形面积之和不超过焉.

17.解(1)(方法一)设等差数列【小｝的公差为d(d#)),

e+2d=5%+10d,(ai=-4,

7(01+d)a+3d)=4QI+Id=2,

则a”=-4+(〃-l)x2=2〃-6.

(方法二)由03=55=5(。；。5)二5见解得。3=0,则S4二电号3=2(。2+。3)=2。2,因此。2田=2〃2.因为数列

｛“,｝的公差不为0,所以。2#),则如=2,因此数列｛〃”｝的公差为即的=2,从而a”=()+(〃-3)x2=2〃-6.

(2)结合(1)可知,S尸-4〃+出产=/_5〃，

则S“>an等价于〃2-5〃>2〃-6,

解得n<\或/?>6,又所以〃27,

故使成立的n的最小值为7.

18.(1)解由嫌一确1=2/7-1(72^2),

得感.1-碎.2=2〃・3,&-*3=2»5，…㈤-谥=3,

由累加法得忌—后=3+5+…+2〃-1=(n-i"；-i+3)=〃2_],所以吗=〃2(〃22).又ci\=\满足该式，且

。”>0,

所以a”=〃(〃£N").

⑵证明因为广*<品=*-%衿,所以当〃22时4+氤…+算.+

1+贵+贵+…+焉=1+U<2.当〃=1时#1<2成立，所以煮+看+・•吗<2・

19.(1)证明由题意可知自=。产1,瓦+尸。2”+1=2々2“=23却|+l)=2a2n.i+2=2"+2,故b”+i+2=2(及+2),即

nl

?等二2,故｛乩+2｝是以5+2=3为首项，以2为公比的等比数列，故"+2=3-2叫故Z?n=3-2-2.

⑵解由⑴知也二32七2,即加产3-2”L2,

故。2"=%-1+1,故数列｛〃”｝的前2〃项和S2“=31+。3+。5+…+〃2止

1)+(。2+。4+〃6+…+。2”)=2((11+。3+。5+…+。2/卜1)+〃二-2九卜〃=6(2”-1)-3〃.

20.解⑴选①3s〃+i=S〃+1,②碣.

当”22时,3S产S“+l,可得3%+尸知,即a„+\=^an.

当n=\时,3(%+?=s+I,解得的=最满足敛二例.；•数列｛飙｝是等比数列，首项与公比都为:，•二

所削

设数列｛儿｝的公差为d,d20,・"i=2,且玩历-1,仇成等比数列,・•・(岳-l)2="&,・・.(2+d-l)2=2(2+2d),

解得d=3(负值舍去)，，乩=2+3(〃-1)=3〃-1.

选①3S.+产S〃+1,③2s〃=1・3斯+i.

将①代入③得6s“+厂2=1-3册”，即2s”+什加k1,

.•・2S〃+a”=l,两式相减，得2a”-i+。=0,

即。”+]=%〃.又由2S\+ai=1,得m=：,

・•・数列｛知｝是等比数列，首项与公比都为;，

・•・〃“=0n(以下同选①②)

选②6=：,③2sn=l-3a〃+i.当〃22时,2S“=l-3a”,可得2©尸3斯-3a”+i,即出+1=；。”.当n-\时,2。尸1-

3。2,。24,解得满足。2=11.***数列｛。〃｝是等比数列,首项与公比都为;,.I.(以下同选

①②)

1

⑵*.*cn=anb„=^r.；・数列｛c〃｝的前n项和Tn=^+*+弁…+竽，%+得+…+自京+条东两

/、Ui住产

wnjFR2T2“1,1,.13n-l2”、尹I引3n-l76n+7

式相威可付三「二§+3'/+系+…+”九产=三F一—产=不一寸

整理得*-器

21.(1)解设治理〃年后,A地的年垃圾排放量构成数列｛〃“｝.当〃W5,〃£N♦时,｛斯｝是首项为

0=2(X)2)=180,公差为-20的等差数列，所以斯=ai+(〃-l)d=180-20(〃-1)=200-20〃;当〃26时，数列

｛小｝是以a5-200-20乂5—100为首项，夕一，为公比的等比数列,所以为一的“内一100x(3ns.

(200-20n,l<n<5/£N",

所以治理〃年后,A地的年垃圾排放量的表达式为an=\zoxn-5

(100x(J,n>6,neN.

(2)证明设S〃为数列｛a,.｝的前〃项和,则A”丰

4A=S,i+1_&=nSn+rS+DSn__n(Sn+a.+i)-(n+1)S__na.41-S〃

/nn+1nn(n+l)n(n+l)n(n+l)

工(斯+1由)+(即+1七2)+3+(