数值分析第七章非线性方程求根习题答案

第七章非线性方程求根

（一）问题简介

求单变量函数方程

/（幻二°（7.11

的根是指求工*（实数或复数），使得了（■送）二°.称"为方程（7.1）的根，也称"为函数/"）的零点.假设

八工）可以分解为=J一炉）'"gW

其中m为正整数,放幻满足8（幻'°,那么x*是方程（7.1）的根.当m=l时，称x*为单根;当m＞l时，称x*为

m重根.假设以幻充分光滑,x*是方程（7.1）的m重根,那么有

/（%*）=/'（x*）=...=/叫户）=0,/（⑼（户）*0

假设/（外在⑶b］上连续且/3）/S）＜0，那么方程（7.1）在（a,b）内至少有一个实根，称［a,b］为方程（7.1）的有

根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.

（二）方程求根的几种常用方法

I.二分法

设人幻在［a,b］上连续那么八幻二°在（a,b）内有根炉.再设/“）二°在（a,b）内仅有一人

根令4=。也=力，计算"一和/（/）.假设/（”。）=°那么十=》，结束计算；假设

/（«oWo）＞0，那么令4="。4="，得新的有根区间［4曲］；假设/（/）/（%）＜°,那么令

4=4自=包得新的有根区间也用.肉瓦】U0曲"-即。"）.再令计算

了■）,同上法得出新的有根区间［心，"］,如此反复进行，可得一有根区间套

...u也］u也_Ju...u［g,4］

%<代<2，〃=°，1，2,…,btl-att=-0O-%)

且22

lim(b〃-a“)=0,lim七=lim<(a“+b,)=x*

故W-KO〃T8QfX2

因此,'一］"'"+"）可作为/。）二°的近似根,且有误差估计

区一丁区rS-。）

(7.2)

2.迭代法

将方程式（7.1）等价变形为x=F（x）（7.3）

假设要求x*满足八N）二°那么炉=以产）;反之亦然.称x*为函数仪制的一个不动点.求方程（7.1）的

根等价于求°（x）的不动点由式（7.3）产生的不动点迭代关系式（也称简单迭代法）为

玉+i=例玉），&=°，1，2・・・（74）

函数以幻称为迭代函数.如果对任意…由式（7.4）产生的序列"J有极限

limx4.=x*

那么称不动点迭代法（7.4）收敛.

定理7.1（不动点存在性定理）设双幻£口凡例满足以下两个条件：

I对任意向有。〈奴工）工〃；

2.存在正常数L<1,使对任意苍）'曰。向，都有I。*）-以））区次一），1（7.5）

那么叭x）在［a,b］上存在惟一的不动点x*.

定理7.2（不动点迭代法的全局收敛性定理）设奴工）€口〃,勿满足定理7.1中的两个条件，那么对任苣

*。切，由（7.4）式得到的迭代序列"J收敛.到8（x）的不动点,并有误差估计式

1%一卢区占Hz-七"

1—L(7.6)

1勺一彳*区r1占一占71

和1—L(7.7)

定理7.3（不动点迭代法的局部收敛性定理）设炉1为奴幻的不动点，8'（幻在"的某个邻域连续，且

I（P\x）1<1,那么迭代法（7.4）局部收敛.

收敛阶的概念设迭代过程（7.4）收敛于方程”二奴"）的根x*,如果迭代误差％二/一"当Z-8

时成产以下渐近关系式

久•—C（常数C/0）

线（7.8）

那么称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=l时称线性收敛,p>l时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.

定理74（收敛阶定理）对于迭代过程（74）,如果”在所求根x*的邻近旌续，并且

8"*）=*"（户）=…=9年7＞（炉）=。

（炉）工0

那么该迭代过程在点X*的邻近是收敛的，并有

1而必=-!-""（送）

…用pl

(7.10)

斯蒂芬森（Sleffensen）迭代法当不动点迭代法（Z4）只有线性收敛阶，甚至于不收敛时，可用斯蒂芬森迭代

法进行加速.具体公式为

”二W（Z），Z£=夕（"）

（九一〉）2

v-丫____—___-___

人hl一”C

〃=0,1,2,…

(7.11)

此法也可写成如下不动点迭代式

七-I="（8）,〃=0,1,2,...

如）=x__（*（x）3

♦（8（X））-2*（X）+X

(7.12)

定理7.5（斯蒂芬森迭代收敛定理）设炉为式（7.12）中“（％）的不动点,那么产是。（的的不动点;设炉（工）

存在.。'（产）*1,那么丁是的不动点,那么斯蒂芬森迭代法（7.11）是2阶收敛的.

3.牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

卫匕4=0,1,2,...

/V,)

其迭代函数为(7.13)

…一借

牛顿迭代法的收敛速度当/（尸）=0J'**）（炉9工。时，容易证

**）=①工0

明J（状）了（），/（廿），由定理7.4知，牛顿迭代法是平方收敛的，且

Hm笄=3

卜*8el2/'(x*)(7.14)

fM

(p(x)=x-

重根情形的牛顿迭代法当v是/@）二°的由重根（加之2）时，迭代函数/'（x）在炉处的导

<p\x*）-1---*（）.,/分\[[

数〃？，且10（炉）所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.假设炉的重数m知道,那么

迭代式

=xk-m卷;次=0,1,2,…

(7.15)

fM

〃（大）=

求重根二阶收敛.当m未知时，尸一定是函数/'（x）的单重零点，此时迭代式

x/（玉）/（演）

&=0,1,2,…

(7.16)

也歪二阶收敛的.

f(玉)L_Q17

%/'(/)'……

简化牛顿法如下迭代法

称为简化牛顿法或平行弦法.

牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.

4.弦截法

将牛顿迭代法（7.13）中的/&）用人幻在々t，4处的一阶差商来代替，即可得弦截法

f（xk）

七句=七一-；（王一4+J

/〃（一）、--匕（%）

(7.17)

定理7.6假设/*）在其零点X*的邻域AUx一产区”内具有二阶连续导数，且对任意XW△有

z.Y、cA0,X（eA〃=1+石。1.618

J⑺工U,又初值，，那么当邻域△允分小时,弦截法（7.17）将按阶2收敛到x*.

这里]）是方程万一丸一1二°的正根.

5.抛物线法

弦载法可以理解为用过（/一"/））两点的直线方程的根近似替人幻二°的根.假设

/（X）二°的三个近似根看小T,*2用过（4/5）），（X«T，/（k）），（%2，/g.2））的抛物线方程的根

近似代替/⑴二°的根，所得的迭代法称为抛物线法也称密勒（Muller]法.

当/（X）在X*的邻近有三阶连续导数，/'（­°,那么抛物线法局部收敛，且收敛阶为

〃=1.839。1.84

二、知识结构图

基本概念(单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶)

方

程二分法及其收敛性

近不动点迭代法及其收敛性理论

似(不动点迭代法的加速技巧一Steffense昉法)

求求根方法

根牛顿迭代法及其收敛性

■弦截法

插值型迭代法(多点迭代)

抛物线法

三、常考题型及典型题精解

例7T证明方程x3-x-1=0在［1,2］上有一个实根x*,并用二分法

求这个根,要求Ix「x*|<lot若要求|x「x*|<求:需二分区间［1,2］

多少次？

解设f(x)=x3-1―1,则f(1)=-1<0,f(2)二5〉0,故方程f(x)=0在［1,2］

上有根X*.又因f'(x)=3x2-l,所以当X£［l,2］时,f'(x)>0,即有x)=0在

［1,2］上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.

表7“

k

44/(七)的符号

0121.5+

111.51.25-

21.251.51.375+

31.251.3751.3125-

41.31251.3751.3438+

51.31251.134381.3282+

61.31251.32821.3204-

71.32041.32821.3243-

81.32431.32821.3263+

9132431.32631.3253+

此时x「L3253满足|x9-x*|w，40.977x103410-3,可以作为x*的近

似值.

6

若要求|xk-x*|<l0,只需|x「x*|W击W106即可,解得k+1>19.932,

即只需把［1,2］二分20次就能满足精度要求.

例7-2已知函数方程函-2方(1)确定有根区间［a,例；(2)构造不动

点迭代公式使之对任意初始近似x。w［a,b］,迭代方法均收敛；(3)用所构

造的公式计算根的近似值,要求|Xk-%KI。？

解⑴令f(x)=(x-2)ef由于f(2)=-1<0,f⑶­DO,因此区间[2,3]

是方程f(x)=O的一个有根区间.又因f'(x)=(xT)e\limf(x)=+oo,limf(x)=-l,

工TMXT-2

f(l)=-e'-l<0,当x〉l时f(x)单增,x〈l时f(x)单减,故f(x)=O在(-00,+oo)内

有且仅有一根X*,即x*e[2,3].

⑵将(x-2)e*=l等价变形为x=2-xt[2,3],则dx)=2+e、.由于当

xG[2,3]时24dx)«3,I(p'(x)|=|A|<^~2<1

故不动点迭代法Xk+i=2+ef,k=。1,2,...,对Wx。e[2,3]均收敛.

⑶取x「2.5,利用XE=2+「进行迭代计算,结果如表7-2所示.

我7・2

k

%1--J

02.5

12.0820849990.417915001

22.1246700040.042585005

32.1194723870.0005)97617

42.1200949760.000622589

此时\已满足误差要求，即x*工几=2.120094976.

例7-3考虑求解方程28§工-3文+12=06勺迭代公式

(1)试证:对任意初始近似x。GR,该方法收敛；

⑵取x0=4,求根的近似值Xk+],要求|XkrxJwlO

⑶所给方法的收敛阶是多少？

解(1)由迭代公式知，迭代函数e(x)=4+±9cosx,

3

99

(YC,+8)由于夕(x)的值域介于(4--)与(4+三)之间,且

JJ

99

IQ'(X)|=|--sinx|<-<1

33

故根据定理7.1,7.2知，w(x)在(-oo,+oo)内存在惟一的

不动点x*,且对Vx°GR,迭代公式得到的序列｛xj收敛于x*.

(21取x°:4,迭代计算结果如表7-3所示.

表7-3

k

为1一%1

04

13.5642375870.435762413

23.3919951680.172242419

33.3541248270.037870341

43.3483333840.005791443

53.3475299030.000803481

此时“5己满足误差要求,即八/=3.347529903

Wv(\^^-=(p\x^)

⑶由于"(卢八°」3632312"°,故根据定理74知方法是线性收敛的，并且有2%e

例7-4对于迭代函数°(x)=x+C(--2),试讨论：

(1)当C为何值时，飘玉)‘=°J2,…)产生的序列｛4｝收敛于0；

(2)C为何值时收敛最快？

c=_l__L

(3)分别取2,2立，计算以幻的不动点也，要求

K+「玉1<1°-

解：(I)0(x)=x+C(f-2),(p\x)=\+2Cx根据定理7.3,当1。'(&)1=11+2后C|<1,亦

"77<c<0

即72时迭代收敛。

(2)由定理7.4知，当*《/5)=1+2&C=°,即2夜时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快.

(3)分别取2，2加,并取七二12,迭代计和结果如表7-4所示。

表74

kx«T)k

9-东

01.201.2

11.4811.397989899

61.41336958621.414120505

121.41420930331.414213559

131.41421532741.414213562

此时都到达［事实上0=1.414213562...

2

为工0,一

例7-5给定初值0以及迭代公式

x=

k+\xk(2—axk)9k=0,1,2,…，常数a*。

证明：(1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列｛"J收敛的充要条件是"一"“。卜1

解：⑴显然，迭代函数为仪幻=吊2-3,且a。，即。是。(心的不动点.又

,，、i、“/、一个^'(-)=0°d)=_2"()

8㈤-2(1-ai),0所以a,a,由定理7.4知，

lim=-^>"(—)=-a

迭代是二阶收敛的，且J"42"^

(2)因aa,令〃一“9］，那么

七-1=七("4)'，=工

a

然而

=(/；_,+1)(11=-^

故

rk=一心=~rk2=…=

11»

“=-%=——为

aa

由此可知!暧=°等价于四〃=°,而!.=°又等价于卬<L即

注(1)的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明.另外，此题迭代式实际上是对

f(x)=a--

“使用牛顿迭代法而得.

例7-6对以幻=4+1"二°为仪外的一个不动点，验证迭代“川二夕(玉)对任意网*°不收敛，但改用

斯蒂芬森迭代却是收敛的，并说明斯蒂芬森迭代计算0(x)的不动点工二°时的收敛阶.

解由于w'(%)=1+3炉,当工工o时|夕(01>1,且有I-0H夕(占)-01=1Q'(4)(占一0)|苫介于xk

与0之间，假设及工°'八1,迭代不收敛.

假设改用斯蒂芬森迭代(7.12),可得

9

,(0)=:

3，根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛.

2

,(())二7()

由于3，故用斯蒂芬森迭代计算不动点x=°时,收敛阶P=1.(请读者注意，这一结论与定理

7.5的结论是否矛盾?)

例7-7当R取适当值时，曲线)'=丁与V+(1-8)2=胃相切，试用迭法求切点横坐标的近似值，要求不

少于四位有效数字，且不必求R.

解)'=/的导数)''=25由9+(工一8)2=我确定的函数)，的导数满足2»'+2(]-8)=0,由两曲

线相切的条件，可得

2XX2X2X+2(X-8)=0

即2丁-1-8=0

令/•")=2V一x-8,那么/⑴v()J(2)>()J(x)=()在(1,2)内有实根又/")=6/+1>0,故

八#二°仅有一个根,构造迭代公式

8—x—

加=*(()必4)=匕一)3,xe(L2)

那么当xw[1,2]时1W(p(x)<2

18-V-2111

l^'(x)|=|--(—)31<^=-(-)3<1

6263

故送代收敛.取天二力5，计算结果如表7-5所示.

表7-5

kk

xkXk1AA;,,|

01.50.01875221.4826710.001423

11.48124831.4825630.000108<-xl0-3

2

3

|x,-x*|<——|x3-x2|<-xlO旅7483

由于l-L2，故可取尸七一L4",即可保证两曲线切点的横坐标的近似

值具有四位有效数字.

例7-8曲线)'=V-0.5比+1与y=2.4/-1.89在点(161)附近相切，试用牛顿迭代法求切点的横坐

标的近似值%，使一七区1°：

解两曲线的导数分别为歹=3--0.51和)，'=4.8x,两曲线相切，导数相等，故有

3X2-4.8^-0.51=0

令f(x)=3x2-4.8x-0.51,那么fQ)v0"⑵>0,故区间［1,2］是/(幻二°的有根区间又当xw［1,2］

时J'(x)=6x—4.8>0,因此/(工)=°在［1,2］上有惟一实根x*.对/(x)应用牛顿迭代法，得计算公式

_3「4.8%—Q51Q…

X.=X.

k+6玉-4.8

由于/"(x)=6>0,故取x0=2迭代计算一定收敛计算结果如表76所示.

表7-6

kk

xkxk

02.031.706815287

12.29305555641.700025611

21.81778359251.7

继续计算仍得3=1乙故x*=1.7.

注此题也可令/一°,5比+1=2.4/-1.89,解得切点横坐标满足方程

/(幻=xy-2Ax2-5民+2.89=°用有重根时的牛顿迭代法5)式计算，此时〃?=2,仍取/=2,经

四步可得炉=17.

例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设/")在必，加上具有二阶连续导数，且满足条件

⑴yws)〈o；

(2)在［a向上f«)H0J"(%)H0；

⑶与G5,加满足/Uo)/Vo)>O

那么由牛顿迭代法产生的序列｛4｝单调收敛于/(幻二°在［0句内的惟一实根X*，并且是平方收敛的.

证明因/")在加上连续，由条件⑴知，方程/“)=°在(4坊内有根炉.又由于条件⑵知f'M在

团力］上恒正或恒负.所以/(幻在团乃］上严格单调.因而产是/(X)=0在3力)内的惟一实根.

条件(1),(2)共有四种情形:

(1)/⑷<0,/(/?)>0,/*(x)>0,/"(x)>0,VxG［ayb］\

f(a)<()JR)>(),/,«>0,/V)<0,Vx€Kb];

(2)

⑶/⑺＞0"S)＜。，/⑴V。，尸’(K)＞。,”「[ah];

(4)/3)>0,f(b)<0,/,(x)<0J"(x)<0,VXG[aM

仅就⑴进行定理证明，其余三种情况的证明方法是类似的.

由％e[〃向,/(%)/"(%)>°可知/(/)>°,再由/>0知f(x)单增且为>x*,又由牛顿迭代法

知

I°广6)°

又台劳展开得

/(x)=/(xo)+/'(^o)(x-"o)+""4)(x-%尸

4•

其中4。介于X与X。之间.利用=0，得

2

/Uo)+/'(xo)U*-xo)+|/"(^)(x*-xo)=O

青/(X。)1/'4)/*、2

:

x*=xr)--------------(x*-x0)=

/1Uo)2/(%)

1/嚅)/*\2

X.--------(x*-x0)

2/U)

由/(x)>0,/"(A-)>0以及前面证明的X<%，有

X*＜xt＜x0

一股地，设X*<玉<5,那么必有八七)>°且

3气

fw

同样由台劳公式

/«=/@)+fU)(Xf)+1/"4)(X-七)2

及心=0,得

/(々)+/,(X,)(X*Fg/仔)(4*f.)2=。

./(占)1/”©；)/*、2

x*=x,---------------(X*-X.)=

*f\xk)2尸6)

，，

1/(^；)2

+,-

A27UJ-川＜加＜"

根据归纳法原理知，数列值｝单调下降有下界X*,因此有极限.设人史”一.对迭代式"”-5）

两端取kTB的极限，并利用的连续性知/（/）=°,即/=X*.

1/'(炉)

lim-

28(七一犬尸2尸(x*)

由上述证明知，有关系式，即对于单根，牛顿迭代法是平方收敛的.

例7-10设函数/（幻具有二阶连续导数,=°，/3）*0，/"（/）*°，卜｝是由牛顿迭代法产生

的序列,证明

随检--貂

解牛顿迭代法为

士+1=丸一留，攵二°，1，2,...

/(玉)

故fW

王小一天/（王）广（心

（与一心fW/（X*.,）

/(占)一/(/)"口口)]2=

"(%)-/(/)?/伪)—

八&)[/(1)?(々7*)

/区)"GI)]2(XI-X*)2

其中媒介于“与之间,或T介于七T与A*之间,根据式（7.14）得

lim'屋一勺

”(七一%)

1/华)

-2/V*)

例7-11设/（幻具有连续的〃?阶导数,X*是/⑴=°的〃2重根-2），仇｝是由牛顿迭代法产生的序

列，证明

]而七+「「=i__L

⑴Is七一"171

..X-x1

limk+i---k-=1---

⑵fn

lim-1—-=m.

(3)2/S-i-24+七+]

证明⑴因x*是八幻二°的m重根，那么八幻可以表示成

所以

f'(A)=m(x-x*)m-1h(x)+(x-x*)"1h\x)=

(x-x*)w-1[mh(x)+(x-x*)/f(x)]

由牛顿迭代法./得

__________(玉一公产力区)__________

S+1—x*=Z—x*m

(xk-x^)~'[mh(xk)+(xk-x*)h\xk)]

(.”x*)1

mh(xk)+(xA-x*)h\xk)

故

k*.q—x*m

⑵

4+i一%=/(占)

(无一X*)"Z(%)(凡_[一月7"7[〃/(.七_|)+(冗』一尸访’(/_[)]

m}

(x4.j-x*)~[mh(xk)+(xk-x*)h\xk)]

艾kt*〃(-q)]〃例Xi)+(x1-'(X*T)

、七T一X”[hD)mh{xk)+区-x*)/z'(A7)

利用〃(N)二°及(1)的结论得

lim———=1--;

i玉一玉tm

伊⑴一一野

(3)先证明牛顿迭代函数/(X)的导函数

炉)

m

因x*是fW的m重零点，那么由假设,f(4)具有〃?阶连续导数，得

/**)=f&*)=...="z)(M=0/2户)工0

且

nr.

f'W=—f{m}&)(x-公产

f"a)=—!—fm)^(x-x^r2

(/fi-2)!

其中0，$，4介于X与尸之间，故有

n所->A*./［片自患LT

而

%r

^-1-2玉+Z+I一七）一（王一七+1）

1

怎T一4+9砥）（、F）\一9,0）

所以

X.,-x.11

lim------------=hm--------=--------=m

f%-2玉+%f1-0(幻1_(1_2_)

m

注结论（1）和"I都说明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论（3）可以用来计算重根数〃?.

例7-12考虑以下修正的牛顿公式（单点斯蒂芬森方法）

尸心）

/（玉+/（川））一/（公）

设fM有二阶连续导数,/（产）=0J'（产）丰°,试证明该方法是二阶收敛的.

证明将人W十,"演»在七处作台劳展开，得

f®+八七））=八七）+/1）/（/）+；八3尸（七）

乙

其中〈介于玉与天十八八）之间，于是

/(8+))-f(Xk)=f[)/6)+g/(J/?(&)

/讨一x*二七一x木--------华"---------

/⑺+"*W0)

由于炉是/@）二°的单根，故

f(x)=(x-A*)A(x),/Z(JC*)/0

所以

f\xk)=h(xk)+(xk-x*)h\xk)

（乙一炉）力（占）___________

，2（丸）+（Xk~炉）力5）+g/鸣）/（再）

________________―一)

(七一X*)1

鹏)+(xk-x*)h'(4)+；/"⑹)

,1

(々7*)2(七)

力(王)+(.”.一/)/?'("+；/"(g)〃Cq)

故

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lim川，=-------2--------------

氏廿（七一炉厂做户）

即迭代法是二阶收敛的.

四、学习效果测试题及答案

1、证明方程er+l°x-2=°在（04）内有一个实根x*,并用二分法求这个根.假设要求I乙一状KI。-6,

需二分区间［°4］多少次？

（答案:当I57*1<10”时产之玉=0.090820313对分次数"整20.）

2、对方程3丁一-一。，确定S，勿及可幻,使S+I=奴。）对任怠与三《，旬均收敛，并求出方程的各个根,

误差不超过1°".

(答

1H

[a,/?]=[-1,0],(p(x)=---=e\x^^-0.458962267

案:⑴13；(2)

1三

[a.b]=[1,0],以幻=,/①=o$10007572,,

G回=[3,4],8。)=ln(3/),x*a3.733079028、

3、建立一个迭代公式计算,2+)2+JTi二，分析迭代的收敛性，取“。二°,计算4.

(答案.七+1=&+占,A=0,1,2,...,A6=1.999397637)

4、试分别采用例（处=2+M”和必。）=，-2的斯蒂芬森迭代法求方程x-lnx=2在区间（2+8）内的

1区10«

根X*,要求勺

（答案:取“。=3,其解分别为七々3.146193220和£=3.146193262)

5、由方程/⑴=，-4/+4=0求二重根炉：=血,试用牛顿法q⑶,有重根时的牛顿法（715）,（7.16）

计算「要求除一々上1°：

（答案:三种方法均取题二L5分别得=L414213568,x3=1.414213562,x3=1.414213562.)

6、用弦切法求Leonardo方程/0）=V+2/+1Ox-20=0的根，要求Ikf1<1。池

（答案:取*。=1'々=2,用式a」7）得=1368808108）

7、用抛物线法求解方程/一3工一1=°在M=2附近的根要求I-七|<10;

（分案•取M=1，/=2,X,=2.5,x*»x6=1.879385242.）

8.试构造一个求方程k+x=2根的收敛的迭代格式，要求说明收敛理由，并求根的近似值々，使

I3一占TK^XIO'

x

（答案:有根区间不动点迭代式％=叭）=32-%），取%=0.5,4xI4=0.442671724另外,

也可用牛顿迭代法求解得炉"W=0.442854401,）

9、试确定常数使迭代公式

a"

玉+i=PZ+"

产生的序列收敛到证,并使其收敛阶尽可能高.

=二=_1

（答案:利用定理7.4可得9，；9，且0"'（加）丰°，此时迭代法三阶收敛.）

IO>（x）=*一〃。）/（幻_q（x）/“x）,试确定函数p（x）和夕（X）,使求解/（x）=0且以以幻为迭代函数

的迭代法至少三阶收敛.

p（x）=，Mx）=_La.

（答案:利用定理（7.4）可得/（幻2""）『）

五、课后习题全解

1、用二分法求方程/一*一1一°的正根，要求误差小于0.05.

解设/(幻=/7-1,川)=-1<0,〃2)=1>0,故［］,2］为/(幻的有根区间.又广(外=21-1,故当

0<x<—x>—,/、f(—)=—J(°)=-I-、八

2时，”幻单增，当2时八刈单增.而24，由单调性知八为=。的惟一正

根x*e(1,2).根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需<“第，解得左+1>5.322，故

至少应二分6次，具体计算结果川.表7-7.

表7-7

k

444的符号

0121.5-

11.521.75+

21.51.751.625+

31.51.6251.5625-

41.56251.6251.59375-

51.593751.6251.609375-

t,pX*»x5=1.609375

2、为求丁一/一1=°在%=15附近的一个根，设将方程改写成以下等价形式，并建立相应的迭代公式:

X=l+」7/+1=1+4

⑴X，迭代公式4

⑵V=1+f迭代公式七+］=(1+%2)3；

11

x2=—^'=7=7

⑶X-1,迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.

解取/=1$的邻域［I.3J.6］来考察.

199.1

、di4161=1+—H.3,1.6],|\=\~\<~^=L<\kLl+T7

⑴当xe|1.3,1.6]吐x-r1.3，故迭代公式七

在U31.6］上整体收敛.

(2)当xt[L3,1.6]时

^(x)=(l+x2),/3e[1.3,1.6]

1。(幻1=1|——3fL=0.522<1

'(l+x2r,1+1.32)3

I

故&+I=(1+蜡)3在n3/61上整体收敛.

1-111

(P(X)=-==A(P\X)1=1-一产|>>1七7=-1=7

(3)Vx-12(x-l)2(1.6-1)故4/T发散

由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需

I玉一产区占K一4-il<gx1(尸

即

|七一Xj|<—xlxl(r3<().5x1(尸

L2

取为=1・5计算结果见表7a

表7-8

kk

11.48124803441.467047973

21.47270573051.466243010

31.46881731461.465876820

毛1<7x10"入球々4—］466

2，故可取产”6一-4叱

3、比拟求ex+\0x-2=°的根到三位小数所需的计凫量：

（1）在区间［0.1］内用二分法；

=2-1

（2）用迭代法项”1°，取初值"。二°.

解（1）因人"£。1］，/（°）<°，/⑴>°,故°</<1，用二分法计算结果见表7-