高等数学课标教案

《高等数学》课程标准课程代码：适用专业：各专业修课方式：必修课教学时数：120学时总学分：8开课学期：第一、二学期所在学院：标准主撰人：

标准审核人：一、课程定位高等数学课程是本科工科专业必修的一门重要的公共基础必修课，按照“高素质高层次技术技能人才”的教学定位，围绕能力培养这一主线，强调掌握重要的基本概念、基础理论、基本运算，注重基础理论知识的应用，注重学生逻辑思维和创新能力的培养。通过本课程的学习，使学生学懂弄通一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础，并能够将简单的实际问题数学化。教学内容在精讲经典内容的同时，增加工程技术、经济应用中常用的数学思想和方法，更多地融入数学知识在工程技术、信息工程及生产生活等各领域的应用，通过案例设计问题，引导、激发学生的兴趣，使学生主动、自觉地进行学习内容的探索，为现代数学思想提供适当展示的窗口和延伸发展的接口，注重培养学生获取现代数学知识的能力。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的逻辑思维能力、演绎推理能力，抽象归纳能力、定量分析和科学计算等数学素质；培养学生运用所学数学知识去分析、解决实际问题的能力。因此，高等数学教学不仅关系到学生在整个大学期间的学习质量，还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。二、设计理念与思路高等数学课程以培养学生分析问题解决问题能力为出发点，以专业课需求的大学数学相关知识为基础，以与专业基础课、专业课相融合为目的。重新构建适合于职业本科大学人才培养的数学教学内容、打破传统知识结构，以专业需求的知识点为导向，制定必备的数学知识点，学生收集资料必备的知识点，教师帮助归纳总结，引导学习方向为手段。完成学生学习数学知识，解决专业需求的具体任务，达到学生分析问题、解决问题的目的。本课程是能力培养与素质提升的基础，培养学生的计算能力、逻辑思维能力，奠定人才发展的基础。通过教学培养学生的学习能力，使学生受到运用数学分析方法解决专业领域及日常生活中所遇到的实际问题的初步训练，为后续课程及解决专业领域的实际问题奠定必要的数学理论基础。三、课程目标（一）知识目标1.熟练掌握一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数等基本原理与概念及其几何意义；2.熟练掌握并会正确使用常用公式表、基本计算方法、能借助所学的数学知识解决专业基础课、专业课及工程技术中出现问题，解决简单的实际应用问题；3.学会用数学的思想去观察问题、分析问题、解决问题。（二）能力目标1.培养认真严谨的工作态度，勤奋好学的思维品质、爱岗敬业的工作态度、团结合作的创新探索的科学态度；2.培养学生运用数学思想和方法，提高知识运用能力、解决问题能力；

3.使学生形成思维严谨、推理合理、表达准确的素质及创新探索的科学精神和能力。（三）素质目标1.具备自主和独立学习新知识的能力；2.具有计算能力、借助计算机计算能力、建立数学模型能力；3.计算方法的应用能力，发现、分析、解决问题的能力；4.终身学习能力、逻辑思维能力、自主学习能力、创新能力；四、教学内容与学时分配教学任务安排及学时分配见表1-1。（一）教学内容安排及学时分配表1-1教学内容安排及学时分配表教学内容任务序号教学内容名称学时函数、极限、连续（16学时）任务1函数4任务2极限8任务3连续4一元函数微分学（22学时）任务1导数与微分12任务2导数的应用10一元函数积分学（20学时）任务1不定积分10任务2定积分及其应用10期末总复习（2学时）2常微分方程（8学时）任务1一阶微分方程4任务2高阶微分方程4向量代数与空间解析几何（8学时）任务1向量代数2任务2空间解析几何6多元函数微分学（12学时）任务1多元函数的微分法8任务2多元函数微分学的应用4重积分（12学时）任务1二重积分、三重积分的计算10任务2重积分的应用2曲线积分与曲面积分（10学时）任务1两类曲线积分的计算 8任务2两类曲面积分的计算2无穷级数（8学时）任务1常数项级数4任务2函数项级数4期末总复习（2学时）2合计120（二）教学设计每个教学内容的具体学习目标、教学内容、学生知识与能力准备、教师知识与能力要求、场地设施要求、教学方法建议和考核评价见表2-1-表2-19。表2-1函数教学内容设计表一函数、极限、连续学时16任务1函数学时4学习目标1.理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；2.理解复合函数和反函数的概念；3.熟悉基本初等函数的性质及其图形；4.会建立简单实际问题中的函数关系式。教学内容1.函数的定义及邻域定义；2.复合函数的定义；3.函数的四个性质；4.初等函数。学生知识与能力要求1.具备高中数学知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解初等函数及函数相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-2极限教学内容设计表一函数、极限、连续学时16任务2极限学时8学习目标1.了解极限的概念(对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求或不作过高的要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则；2.了解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限；3.理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念；会用等价无穷小求极限。教学内容1.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则；2.两个重要极限；3.无穷小、无穷大。学生知识与能力要求1.具备函数相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解极限相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-3连续教学内容设计表一函数、极限、连续学时16任务3连续学时4学习目标1.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，理解间断点的概念，并会判别间断点的类型；2.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。教学内容1.函数的连续性；2.函数的间断点；3.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。学生知识与能力要求1.具备极限相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解连续相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-4连续与微分教学内容设计表二一元函数微分学学时22任务1导数与微分学时12学习目标1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量；2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；3.了解高阶导数的概念；4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学内容1.导数的概念（含左导数与右导数的概念）及其几何意义；可导性与连续性的关系、导数的物理意义；2.初等函数的导数公式；导数四则运算法则与复合函数的求导法则；3.高阶导数的概念,简单函数的阶导数；4.隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；5.反函数的导数；6.微分的概念；导数与微分的关系；7.微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；8.微分在近似计算中的应用。学生知识与能力要求1.具备极限相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解导数与微分相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-5导数的应用教学内容设计表二一元函数微分学学时22任务2导数的应用学时10学习目标1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理；2.会用洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极限；3.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求解较简单的最大值和最小值的应用问题；4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；5.了解有向弧与弧微分的概念，了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径；6.了解求方程近似解的二分法和切线法。教学内容1.罗尔（Rolle）定理与拉格朗日（Lagrange）定理；2.柯西（Cauchy）定理；泰勒（Taylor）定理；3.洛必达法则与不定式的极限；4.函数的极值概念；5.函数单调性的判定；函数极值的计算，函数最大值和最小值的求法及其简单应用；6.曲线的凹凸性与拐点；函数图形的描绘（包含水平和铅直渐近线的确定）；7.曲率和曲率半径的概念及其计算。学生知识与能力要求1.具备导数相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解导数与微分、导数的应用相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-6不定积分教学内容设计表三一元函数积分学学时20任务1不定积分学时10学习目标1.理解原函数与不定积分的概念及性质；2.掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。教学内容1.函数与不定积分的概念；2.不定积分的性质；不定积分的基本公式；不定积分的换元法与分部积分法；3.有理函数、三角有理式及简单无理函数的积分。学生知识与能力要求1.具备一元函数微分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解导数与微分、导数的应用、一元函数积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-7定积分及其应用教学内容设计表三一元函数积分学学时20任务2定积分及其应用学时10学习目标1.了解定积分的概念及性质，了解可积条件，会求简单的有理函数的积分；2.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式；3.掌握定积分的换元法和分部积分法；4.了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法；5.了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)；6.掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。教学内容1.定积分的概念；积分上限的函数及其导数；2.定积分的性质及定积分中值定理；牛顿—莱布尼茨公式；定积分的换元法与分部积分法；3.反常积分的概念及其计算；4.定积分的近似计算法；5.定积分的元素法（微元法）；6.定积分的几何应用（包括：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体与平行截面面积为已知的立体的体积）；7.定积分的物理应用（包括：变力作功、引力、水压力等）。学生知识与能力要求1.具备不定积分相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解一元函数积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-8一阶微分方程教学内容设计表四常微分方程学时8任务1一阶微分方程学时4学习目标1.了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念；2.掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。教学内容1.微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念；2.可分离变量的微分方程；齐次方程；3.一阶线性微分方程及伯努利方程。学生知识与能力要求1.具备不定积分相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解一元函数积分学、常微分方程相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-9高阶微分方程教学内容设计表四常微分方程学时8任务2高阶微分方程学时4学习目标1.会用降阶法求解二阶简单微分方程；2.理解二阶线性微分方程解的结构；3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；4.会求自由项形如，的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；5.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。教学内容1.可降阶的高阶微分方程；2.二阶线性微分方程解的结构定理；3.高阶常系数齐次线性微分方程的解法；4.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。学生知识与能力要求1.具备不定积分相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解一元函数积分学、常微分方程相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-10向量代数教学内容设计表五向量代数与空间解析几何学时8任务1向量代数学时2学习目标1.会计算二阶、三阶行列式；2.理解空间直角坐标系；3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件；4.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。教学内容1.空间直角坐标系；向量的概念及表示法；2.向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）；3.向量的坐标表达式；单位向量、向量的模及方向余弦；向量在坐标下的运算；4.两个向量垂直、平行的条件。学生知识与能力要求1.具备平面解析几何相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解平面解析几何、向量代数与空间解析几何相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-11空间解析几何教学内容设计表五向量代数与空间解析几何学时8任务2空间解析几何学时6学习目标1.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；2.了解空间曲线的参数方程和一般方程；3.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。教学内容1.曲面方程的概念；二次曲面；2.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面；母线平行于坐标轴的柱面；3.空间曲线的参数方程与一般方程；空间曲线在坐标轴上的投影；4.平面的方程与直线的方程；平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）；5.点到平面的距离；平面与平面、平面与直线、直线与直线的交角。学生知识与能力要求1.具备平面解析几何相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解平面解析几何、向量代数与空间解析几何相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-12多元函数微分法教学内容设计表六多元函数微分学学时12任务1多元函数微分法学时8学习目标1.理解多元函数的概念；2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性；4.了解方向导数与梯度的概念，会求方向导数与梯度；5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。教学内容1.二元函数的概念；2.多元函数的概念、二元函数的极限与连续性的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质；3.二元函数偏导数与全微分的概念；4.全微分存在的必要条件与充分条件；全微分形式不变性；5.多元复合函数的求导法则与隐函数的偏导数（含高阶偏导数。）学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-13多元函数微分学的应用教学内容设计表六多元函数微分学学时16任务2多元函数微分学的应用学时4学习目标1.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程；2.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。教学内容1.曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；2.方向导数与梯度的概念及其计算；3.多元函数的极值与条件极值的概念；4.多元函数极值存在的必要条件；二元函数极值存在的充分条件；5.拉格朗日乘数法。学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-14二重积分、三重积分的计算教学内容设计表七重积分学时12任务1二重积分、三重积分的计算学时10学习目标1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质；2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)；3.掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。教学内容1.二重积分的概念及其性质；2.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；3.二重积分的换元法；4.三重积分的概念；5.三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-15重积分的应用教学内容设计表七重积分学时12任务2重积分的应用学时2学习目标1.了解利用重积分求一些几何量与物理量(曲面的面积、质量、质心、转动惯量、引力等)。教学内容1.重积分的应用（曲面面积、质量、质心、转动惯量、引力等）。学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-16两类曲线积分的计算教学内容设计表八曲线积分与曲面积分学时10任务1两类曲线积分的计算 学时8学习目标1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；2.会计算两类曲线积分；3.掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。教学内容1.两类曲线积分的概念；2.两类曲线积分的性质及二者之间的关系；3.两类曲线积分的计算； 4.格林公式；平面曲线积分与路径无关的条件。学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-17两类曲面积分的计算教学内容设计表八曲线积分与曲面积分学时10任务2两类曲面积分的计算 学时2学习目标1.了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)并会计算两类曲面积分；2.了解散度公式；3.了解利用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。教学内容1.两类曲面积分的概念及其性质；两类曲面积分之间的关系；2.两类曲面积分的计算；高斯公式；通量与散度。学生知识与能力要求1.具备一元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-18常数项级数教学内容设计表九无穷级数学时8任务1常数项级数学时4学习目标1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；2.掌握几何级数和级数的收敛性；3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛；4.了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差；5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。教学内容1.常数项级数收敛、发散以及和的概念；2.无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；3.几何级数与级数的收敛性；4.正项级数的审敛法（比较法及其极限形式、比值法、根值法）；5.交错级数的莱布尼茨定理；绝对收敛与条件收敛的概念。学生知识与能力要求1.具备一元多元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核表2-19常数项级数教学内容设计表九无穷级数学时8任务2函数项级数学时4学习目标1.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；2.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)；3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；4.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；5.麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数；6.了解幂级数在近似计算上的简单应用；7.了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件。教学内容1.函数项级数的收敛域与和函数的概念；2.幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；3.幂级数在其收敛区间的一些基本性质（和函数的连续性、逐项求导与逐项求积）；4.函数展开成幂级数的充分必要条件；5.麦克劳林展开式；函数间接展开成幂级数；6.幂级数在近似计算中的应用；7.傅里叶级数的概念与函数展开成傅里叶级数的狄利克雷收敛定理；8.函数展开为傅里叶级数；函数展开为正弦级数与余弦级数，傅里叶级数的和函数的表达式。学生知识与能力要求1.具备一元多元函数微积分学相关知识；2.具备基本分析能力和计算能力。教师知识与能力要求1.具有良好的职业素养与良好的文化素质；2.熟悉各种学习方法，了解元函数微积分学相关知识；3.较强的抽象能力，分析能力，综合思维能力及计算能力；4.具有良好的教学组织能力、操控能力和语言表达能力。场地设施要求1.多媒体教学设施和场地；2.在教室中配备投影仪、黑板等。教学方法建议讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法。考核评价评价内容：认真听讲，做好笔记，积极回答问题，积极参与课堂环节。评价方式：过程考核五、教学实施方案设计1.教学方法讲授法、引导法、头脑风暴法、团队讨论法等2.教学模式设计与教学方法选用本课程采用“案例、建模、求解、分析”四阶段递进，“教、学、用”一体化的教学模式。六、课程考核评价（一）课程考核评价成绩构成1.学生成绩最终由过程考核成绩和期末成绩两部分组成。其中，学生考勤成绩不算作平时成绩。但是，平时成绩考核的前提为：学生需保证没有缺席全学期课时数超过25%（含）。如果出现缺席全学期课时数超过25%的情况平时成绩直接计0分，不进行其他任何的考评流程。2.各部分考评内容占总成绩的比例：（1）过程考核成绩满分100分，占总成绩30%。过程考核成绩=平时表现分（30%）+作业分（30%）+课上评价（40%）（2）期末考核成绩满分100分，占总成绩的70%。（3）总成绩=过程考核成绩+期末考核成绩。期末考核通过闭卷考试进行，考试时间和地点由学校统一安排，参加学校期末统考，老师命题阅卷。具体内容见表6-1。表6-1课程考核评价成绩分值表成绩类别(分值比例)序号考核项目分值成绩占比过程考核成绩(30%)1平时表现分10030%2作业10030%3阶段测验10040%期末考核成绩(70%)1完成项目100100%七、教学实施条件（一）教师基本要求1、具有较强的数学专业理论功底，了解数学在各专业的相关知识中的需求；2、具有较强的分析问题解决问题的能力、知识的应用能力及多媒体课件制作操作能3、教师应该具有本科及以上学历或高级职称；4、热爱教育工作，对学生充满爱心；5、具有较强的事业心，在工作上具有创新能力；6、教学过程中教师应积极引导学生提升职业素养。八、其他建议（一）教学建议本课程标准要求适用于高中毕业，学制为4年的高等职业技术大学工科专业的学生。完成本课程教学的学时数拟为128学时。本课程标准中各学习项目的课时安排可根据具体情况进行相应调整。（二）推荐教材（三）参考书目(四)数字化资源

课题1.1函数的概念与性质课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）理解函数的定义（2）掌握函数的性质素质目标：（1）激发热情洋溢、乐观向上、积极面对挑战的人生态度（2）弘扬服务集体、团结协作的团队精神（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度教学重难点教学重点：函数的定义、函数的性质教学难点：函数的性质教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤问题导入【教师】提出以下问题：什么是函数？能不能举一个日常生活中应用函数的例子？【教师】总结学生回答，公布答案函数用来两个变量间的关系，其中一个变量（自变量）的变化会引起另一个变量（因变量）的变化。例如，如果汽车每小时行驶60公里，那么时间（小时）是自变量，行驶的路程是因变量。这种关系用数学表达式表示为y=60x，其中y代表行驶的距离，x代表时间（小时），这就是一个函数。传授新知【教师】通过学生的回答，引入函数的定义✈【教师】通过引例1和引例2，使学生了解函数在实际中的应用引例1杭州电视台应某广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧时，平均每集的收视观众人次为30万人次；播放乙连续剧时，平均每集的收视观众人次为25万人次．广告公司要求电视台每周播放两部连续剧，共8集．设每周播放x集甲连续剧，甲、乙两部连续剧的收视观众人次总和为y万人次，则x和y之间的关系为．引例2详见教材✈【学生】聆听、思考1.1.1函数的概念1．函数的定义✈【教师】讲解函数的定义定义设和是两个变量，是一个给定的非空数集．若对于每个，变量按照某种对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作．其中，称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域．对于每个，变量按照某种对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，这个数值称为函数在点处的函数值，记作．通常把自变量与因变量之间的这种依赖关系通常称为函数关系．当自变量取遍中的所有数值时，对应的函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作或．✈【学生】聆听、思考✈【教师】随机提出问题和有什么区别与联系？✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解和的区别与联系：表示自变量和因变量之间的对应法则；表示在对应法则下，与自变量对应的函数值．但为了叙述方便，通常用“”或“”来表示定义在上的函数．✈【学生】聆听、思考、理解2．函数的两要素函数的两要素是定义域和对应法则．当两个函数的定义域相同，且对应法则也相同时，称这两个函数为相同的函数．✈【教师】随机提出问题以下两组函数是否是相同的函数？（1）与（2）与✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解与是相同的函数；与则是不同的函数，因为它们的定义域不同．✈【学生】聆听、思考、理解3．函数的表示方法函数通常有以下3种表示法．（1）图形法：用图形表示函数，如我国人口出生率变化曲线等．其优点是直观性强，可直接通过函数的图形得到函数的变化趋势；缺点是通过图形所得到的数量关系是近似的，不便于做理论推导．（2）表格法：用列表的方法表示函数，如三角函数表、对数表、国内生产总值表等．其优点是简明直观，便于查找函数值；缺点是只能列出部分自变量与函数值，难以反映函数的全貌．（3）解析法：用数学式子（解析式）表示函数，如一次函数、二次函数等．其优点是形式简明，便于做理论推导和数值计算；缺点是不够形象直观．✈【教师】讲解“数学之美”函数以其严密的逻辑和无尽的创造力，描绘出宇宙间复杂的规律．从简单的线性关系到复杂的非线性关系，函数以其独特的视角揭示了世界的奥秘，展现了数学的无穷魅力．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】通过讲解例题，帮助学生理解函数的定义域例1求下列函数的定义域．（1）； （2）．解（1）要使函数有意义，需要满足故函数的定义域为．（2）要使函数有意义，需要满足即，故函数的定义域为．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“知识宝典”函数由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的一切数值所组成的集合．因此求函数的定义域时应遵循以下原则：（1）分式中的分母不能为0；（2）偶次根式内的式子非负；（3）对数中的真数大于0，底大于0且不等于1．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】通过讲解例题，帮助学生掌握求解函数值的方法

例

2求下列函数的函数值．（1）设函数，求及；（2）设函数，求．解（1）因为的对应法则为，所以．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2中第（2）题✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）令，则，代入，得因为的对应法则为，所以．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】通过讲解例题，帮助学生掌握函数的两要素例3判断函数和函数是否为同一函数．解因为和的定义域均为，且，和的对应法则也相同，所以它们是同一函数．✈【学生】聆听、思考、理解1.1.2函数的性质1．奇偶性✈【教师】讲解函数的奇偶性并举例设函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数．既不是奇函数，也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数．例如，是奇函数，因为；是偶函数，因为．常数函数是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-1（详见教材），讲解指点迷津（1）偶函数和奇函数图形的几何特性：偶函数的图形关于轴对称，如图1-1（a）所示；奇函数的图形关于原点对称，如图1-1（b）所示．（a）（b）图1-1注意：判断一个函数的奇偶性，首先要判断该函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数是非奇非偶函数；若对称，再进一步计算，判断该值是否等于或✈【学生】聆听、思考、理解2．单调性✈【教师】讲解函数的单调性设函数的定义域为，区间．若对于任意的，当时，恒有，则称函数在区间上单调增加，区间称为单调增区间；若对于任意的，当时，恒有，则称函数在区间上单调减少，区间称为单调减区间．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-2（详见教材），讲解指点迷津不同单调性的函数图形的几何特性：单调增加的函数的图形表现为一条从左至右单调上升的曲线，如图1-2（a）所示；单调减少的函数的图形表现为一条从左至右单调下降的曲线，如图1-2（b）所示．（a）（b）图1-2✈【学生】聆听、思考、记忆3．周期性设函数的定义域为．若存在正数，使得对于任意的，都有，且恒成立，则称为周期函数，为该函数的周期．满足的最小正数称为最小正周期，通常所说的周期函数的周期指的便是最小正周期．例如，和的周期都是；和的周期都是；的周期是．✈【教师】讲解并非每个周期函数都有最小正周期．例如，狄利克雷函数是一个周期函数，且任何正有理数都是它的周期，但最小正有理数是不存在的，所以它没有最小正周期．✈【学生】聆听、思考、理解4．有界性设函数的定义域为，数集．（1）若存在数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有上界，称为在区间上的一个上界．（2）若存在数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有下界，称为在区间上的一个下界．（3）若存在正数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有界．若这样的不存在，则称在区间上无界．例如，函数在内有界，且任意大于或等于的数都是它的上界，任意小于或等于的数都是它的下界；函数在区间上有界的充分必要条件是在上既有上界，又有下界．✈【教师】讲解在描述函数的有界性时，必须注明函数所处的区间，因为同一个函数在不同区间上，可能具有不同的有界性．例如，函数在内无界，而在内有界．✈【学生】聆听、思考、理解【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：函数在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了函数的定义、表示方法和函数的性质。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题1.1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题1.2初等函数1.3反函数与分段函数课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）掌握基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质（2）理解复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，并掌握求反函数的基本方法素质目标：（1）激发热情洋溢、乐观向上、积极面对挑战的人生态度．（2）弘扬服务集体、团结协作的团队精神．（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．教学重难点教学重点：基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质，复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，求反函数的基本方法教学难点：基本初等函数的定义域和值域，求反函数的基本方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解1.函数的两要素是什么？2.函数的表示方法有哪些？【教师】总结学生回答，公布答案1.函数的两要素是定义域和对应法则．2.函数的表示方法有图形法、表格法和解析法．传授新知1.2初等函数1.2.1基本初等函数✈【教师】展示表1-1（详见教材），讲解基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，基本初等函数的图形及主要性质如表1-1所示．（详见教材）✈【学生】聆听、思考1.2.2复合函数与初等函数✈【教师】通过引例1，引出复合函数的概念引例1在自由落体运动中，物体的动能是关于速度的函数，即，而速度又是关于时间的函数，即．因此，动能通过速度的关系而成为时间的函数，即。定义1设，若的值域或部分值域是的定义域的子集，则变量与之间通过构成了一种新的函数关系，这种函数关系称为由与复合而成的复合函数，记作，其中称为自变量，称为中间变量，称为因变量．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解并非任意的两个函数都可以复合成一个函数，只有当的值域和的定义域的交集不为空集时，两者才可进行复合．例如，和就不能复合成一个函数，因为的值域与的定义域的交集为空集．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，帮助学生理解复合函数的概念例1分析下列函数是由哪些函数复合而成的．例1（1）； （2）．解（1）是由和复合而成的．（2）是由和复合而成的．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例2

例2判断下列函数是否可以构成复合函数，若可以，则求复合函数的解析式及定义域．（1）； （2）．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（1）因为的定义域与的值域有交集，所以函数可进行复合．将代入，可得复合函数．由可知，复合函数的定义域为．（2）详见教材。✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝典”（1）复合函数可由基本初等函数复合而成，也可由基本初等函数经过四则运算后得到的函数（称为简单函数）复合而成．（2）复合函数可由两个以上的函数复合而成，只要它们满足构成复合函数的条件即可．判断两个以上的函数是否可以构成复合函数时，应当由内向外逐层分析，确定好内层函数的值域后，再进行下一层的分析与复合．（3）分析复合函数是由哪些函数复合而成时，应当由外向内逐层分析．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解初等函数的概念，并进行举例定义

2由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合而构成的，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数．例如，，等均为初等函数，符号函数不是初等函数．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆1.3反函数与分段函数1.3.1反函数✈【教师】讲解反函数的定义定义设函数的定义域为，值域为，若对于中的每一个，中都有唯一确定的与之对应，则可得到一个定义在上以为自变量的函数，这个函数称为的反函数，记作，其定义域为，值域为．习惯上将改写成．例如，函数的反函数为．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-4（详见教材），讲解互为反函数的两个函数和的图形关于直线对称，（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，帮助学生理解反函数的定义例1求函数的反函数．解由得，将和的位置互调，得到，即函数的反函数为．✈【学生】聆听、思考、记忆1.3.2分段函数✈【教师】通过引例，使学生了解函数在实际中的应用引例为了鼓励居民节约用电，某市出台了如下的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.6元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过的部分按0.9元/度计算（未超过的部分仍按0.6元/度计算）．假设某户居民某月的用电量为度，电费为元，试求电费与用电量之间的函数关系．✈【学生】聆听、思考、计算、举手作答✈【教师】公布答案并进行讲解分析当时，；当时，．因此，电费与用电量之间的函数关系为像上例这样，在函数的定义域内，当自变量在不同范围内取值时，自变量与因变量之间的对应法则各不相同，它们之间的函数关系需要用不同的解析式来表达，这类函数称为分段函数．常见的分段函数有以下几种．（1）绝对值函数：（2）符号函数：（3）狄利克雷函数：（4）取整函数：，表示不超过的最大整数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解注意事项（1）分段函数的定义域是各分段自变量取值范围的并集．（2）分段函数是用几个解析式来表示一个函数，而不是表示几个函数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生加深对分段函数的理解例2已知函数求，并绘制出函数图形．解因为，所以对应法则为，则．因为，所以对应法则为，则．因为，所以对应法则为，则；又因为，所以对应法则为，则．函数图形如图1-5所示（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】组织课堂讨论试讨论绘制分段函数图形时应注意哪些问题．✈【学生】聆听、思考、讨论✈【教师】总结讨论结果✈【学生】聆听、思考✈【教师】随机提问例3

例3某工厂生产某产品，当年产量不超过600台时，每台售价为300元；当年产量超过600台时，超过的部分按八折出售；当年产量超过800台时，超过的部分就销售不出去了．试写出本年的收益函数．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】公布答案，并进行讲解解设该产品本年的产量为台，本年的收益为元．将产量划分为3个阶段来考虑收益．由题可知，即本年的收益函数为✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解数学文化——华罗庚：人民的数学家华罗庚（1910—1985年），中国现代数学领域的杰出贡献者与先驱，被誉为“中国现代数学之父”．华罗庚一生致力于数学研究，在解析数论、典型群、矩阵几何学与多复变函数论等方面均取得了卓越的成就．…详见教材。✈【学生】聆听、思考、体会课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：分段函数在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质，复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，以及求反函数的基本方法。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成习题1.2、习题1.3和复习题1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.1极限的概念与性质课时4课时（180min）教学目标知识目标：理解数列极限、函数极限的概念与性质素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：数列极限、函数极限的概念与性质教学难点：数列极限、函数极限的性质教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤问题导入【教师】提出以下问题：什么是极限？能不能举一个日常生活中关于极限的例子？【教师】总结学生回答，公布答案极限是指的是一个变量在不断变化的过程中，逐渐向一个确定的数值逼近，但永远达不到这个数值的状态。述的是一种“无限靠近而永远不能到达”的状态。例如，当你爬一座山时，山顶就是你上升高度的极限，因为你无法继续上升了。这个例子中，山顶就是你的上升高度所能达到的极限值。案例引入2.1.1数列极限的概念与性质【教师】通过学生的回答，引入引例的讲解，通过引例的讲解，提出极限思想，引出数列的极限引例1庄子的截丈问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”分析设原棰（木棒）之长为一个单位长度，每天截取木棒一半的长度（所谓“日取其半”），用表示第n天截取木棒之后所剩的长度，则可得一个数列当n无限增大时，无限接近于0，但它永远不会等于0（所谓“万世不竭”），即当时，．传授新知【教师】讲解数列极限的概念1．数列极限的概念定义1对于数列，若当n无限增大时，无限接近于某一确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记作或．若数列的极限存在，则称数列收敛；若数列的极限不存在，则称数列发散．…详见教材．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解数列无界是数列极限不存在的充分不必要条件．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例1中的（1）和（2），帮助学生理解复合函数的概念例1观察下列各数列的变化趋势，并写出它们的极限．例1（1）； （2）；（3）； （4）．解（1）；（2）不存在；✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例1中的（3）和（4）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（3）；（4）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解几个常用的数列极限（1）为常数)； （2）；（3）； （4）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．数列极限的性质✈【教师】讲解数列极限的性质性质1（唯一性）性质2（有界性）若数列收敛，则该数列一定有界．性质3（保号性）若，且，则一定存在正整数，使得当时，恒成立．性质4（夹逼准则）若数列满足下列条件：（1）存在正整数，当时，有；（2），则数列的极限一定存在，且．✈【学生】聆听、思考、记忆2.1.2函数极限的概念与性质✈【教师】讲解引例2引例2现有一单摆，使其离开竖直方向，并与竖直方向成一定的角度，然后让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，随着时间t的推移，单摆与竖直方向所成的角度会越来越小，直至时间，单摆与竖直方向所成的角度为0．若对时间t与角度建立函数关系，则当时，．✈【学生】聆听、思考1．函数极限的概念✈【教师】讲解函数极限的概念1）自变量趋于无穷大时函数的极限定义2设函数在上有定义，若当无限增大时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记作或．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图2-1（详见教材），进行举例，通过实例，加深学生对定义2的理解例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数0，即．这在函数图形上表现为当沿轴的正向（负向）无限增大（减小）时，函数曲线无限接近于轴，如图2-1所示．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“注意事项”的绝对值无限增大，即，包括和两种情形．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解函数极限概念的定义3和定义4定义3设函数在内有定义，若当时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记作或．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解“”存在的充分必要条件是和都存在且相等，即例如，不存在，则不存在．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图2-1（详见教材），讲解例题例2讨论当时，函数的极限是否存在．解函数的图形如图2-2所示，可以看出．由于当时，并不接近于一个确定的常数，因此不存在．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解自变量趋于有限值时函数的极限2）自变量趋于有限值时函数的极限定义5设函数在点的邻域内有定义（点可以除外）．若当无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记作或．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】进行举例，通过实例，加深学生对定义5的理解例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数2，即．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝典”以点为中心的开区间均称为点的邻域，记作；若在中去掉点，则称该区域为点的去心邻域，记作．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解定义6并进行举例定义6设函数在点的某一左邻域内有定义．若当从的左侧无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的左极限，记作或()．例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数，即．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解定义7并进行举例定义7设函数在点的某一右邻域内有定义．若当从的右侧无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的右极限，记作或()．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“”存在的充分必要条件是和都存在且相等，即✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生学会利用定义解决问题例3试求函数在点和处的极限．解因为，，，所以函数在点处的极限不存在．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．函数极限的性质✈【教师】讲解函数极限的性质性质1（唯一性）性质2

（局部有界性）若，则存在点的某一去心邻域，在该邻域内函数有界．性质3…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：极限在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限、函数极限的概念与性质。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.2无穷小与无穷大课时4课时（180min）教学目标知识目标：了解无穷小与无穷大的概念、性质及关系素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：无穷小与无穷大的概念、性质及关系教学难点：无穷小与无穷大的性质及关系教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解数列极限有哪些性质？【教师】总结学生回答，公布答案数列极限的性质有唯一性、有界性、保号性和夹逼准则。传授新知2.2.1无穷小1．无穷小的概念【教师】讲解无穷小的概念，并举例定义1若在自变量x的某一变化趋势下，对应的函数值趋于0，则称函数为自变量x在这种变化趋势下的无穷小量，简称无穷小．例如，，则函数是当时的无穷小；，则函数是当时的无穷小．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项（1）无穷小是一个以0为极限的变量，在本质上不同于绝对值很小的常数．任何非0常数（即使很小）的极限还是非0常数，0是唯一可看成无穷小的常数．（2）无穷小与自变量的变化趋势有关，称一个变量是无穷小时，必须指明其自变量的变化趋势．例如，当时，，此时是无穷小；但当时，，此时不是无穷小．✈【学生】聆听、思考、体会2．无穷小的性质✈【教师】讲解无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小．推论1常数与无穷小的乘积为无穷小．推论2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生理解无穷小的性质例

1求．解因为，即是当时的无穷小，而，即是有界函数，所以由性质2可知．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“数学之美”唐代诗人李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会2.2.2无穷大✈【教师】讲解无穷大的定义，并进行举例定义2若在自变量x的某一变化趋势下，对应函数值的绝对值无限增大，则称函数为自变量x在这种变化趋势下的无穷大量，简称无穷大．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解注意事项（1）无穷大是一个绝对值无限增大的变量，而不是一个绝对值很大的常数，一个常数无论多大都不是无穷大．（2）当或时，，此时函数的极限是不存在的．因此，无穷大的极限不存在．或表示的是当或时无限增大．（3）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，巩固学生对无穷大定义的理解例

2求．解因为当时，，即函数是当时的无穷大，所以．✈【学生】聆听、思考、记忆2.2.3无穷小与无穷大的关系✈【教师】通过讲解定理和例题，帮助学生理解无穷小与无穷大的关系定理在自变量的同一变化趋势下，若函数为无穷大，则函数为无穷小；若函数为无穷小，且，则函数为无穷大．✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：无穷大与无穷小在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了无穷小与无穷大的概念、性质及关系。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.2的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.3极限的运算课时4课时（180min）教学目标知识目标：掌握极限的四则运算法则和求解方法素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：极限的四则运算法则和求解方法教学难点：极限的四则运算法则和求解方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解无穷小有哪些性质？【教师】总结学生回答，公布答案无穷小的性质：（1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小．（2）有界函数与无穷小的乘积为无穷小．（3）常数与无穷小的乘积为无穷小．（4）有限个无穷小的乘积仍为无穷小．传授新知2.3.1极限的四则运算法则【教师】讲解极限的四则运算法则定理设，，则（1）；（2）；（3）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项（1）记号“lim”下面没有标明自变量的变化趋势，是指定理对及都成立．（2）上述定理的（1）和（2）可以推广到有限个函数极限的情形．（3）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解两个推论推论1设，则为常数)．推论2设，则为正整数)．✈【学生】聆听、思考、记忆2.3.2极限的求解方法1．直接代入法✈【教师】讲解直接代入法求解多项式函数在的极限时，可直接用代替函数中的，即．若均为多项式函数，且，则．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例1中的（1），帮助学生学会使用直接代入法求解极限

例1求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例1中的（2）和（3）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）．（3）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．倒数法✈【教师】讲解倒数法倒数法适用于求解“但”情形下的（即“”型）．求解的具体步骤：由直接代入法，先求，求得，再由无穷小与无穷大的关系可得．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例2，帮助学生学会使用倒数法求解极限

例2求．解令，则，故该题可采用倒数法求解．因为，所以由无穷小与无穷大的关系可得．✈【学生】聆听、思考、理解3．分解因式法✈【教师】讲解分解因式法分解因式法适用于求解“且”情形下的（即“”型）．求解的具体步骤：对分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法求解✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例3，帮助学生学会使用分解因式法求解极限

例3求．解令，则

，故该题可采用分解因式法求解，即．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例4

例4求．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解由题可知，当时，的极限均不存在，即，

．对两个分式进行通分并分解因式，得进一步，约去共同的零因子，并用直接代入法求解，得原式．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝典”（1）求“”型的极限时，若分子或分母中含有根号，则应先将有根号的分子或分母有理化，约去共同的零因子，再用直接代入法求解．（2）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会4．公式法✈【教师】讲解公式法公式法适用于求解分子、分母均趋于情形下的（即“”型），其中为非负整数．求解的具体步骤：先将分子、分母同除以的最高次幂，再进行求解，结果为✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例5中的（1），帮助学生学会使用公式法求解极限

例5求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）分子、分母同除以的最高次幂，得✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例5中的（2）和（3）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）分子、分母同除以的最高次幂，得（3）分子、分母同除以的最高次幂，得✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：极限的四则运算在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了极限的四则运算法则和求解方法。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.3的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.4两个重要极限及无穷小的比较课时4课时（180min）教学目标知识目标：掌握两个重要极限的应用和无穷小的比较方法素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：两个重要极限的应用和无穷小的比较方法教学难点：两个重要极限的应用和无穷小的比较方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解极限的求解方法有哪些？【教师】总结学生回答，公布答案极限的求解方法有（1）直接代入法（2）倒数法（3）分解因式法（4）公式法传授新知【教师】讲解两个重要极限2.4.1两个重要极限1．第一个重要极限：✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】展示表2-2（详见教材），请学生仔细观察表格，说出当时，函数的变化趋势✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解从表2-2中可以看出，无论是还是，都无限接近于常数1．这说明当时，的极限存在且等于，即．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“知识宝库”（1）的一个等价形式是．（2）若，则．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例1，帮助学生学会利用第一个重要极限求解极限

例1求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．详见教材。详见教材。✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2．第二个重要极限：✈【教师】展示表2-3（详见教材），请学生仔细观察表格，说出当和时，函数的变化趋势✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解从表2-3中可以看出，无论是还是，都无限接近于无理数．这说明当时，的极限存在且等于，即．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝库”的一个等价形式是．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例3，帮助学生学会利用第二个重要极限求解极限

例3求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．详见教材．详见教材．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例4（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2.4.2无穷小的比较✈【教师】组织学生先观看“无穷小的比较”微课视频（详见教材），然后说说什么是无穷小的比较✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小的商却不一定是无穷小．例如，当时，都是无穷小，但