高等数学基础教学教案

宁夏职业技术学院《应用数学》教案系部职业素养教学部数学教研室教师二〇一八——二〇一九学年度第一学期《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第1章函数1.1函数的概念（一）授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标能由所给函数确定其定义域、求函数值，并描绘函数图像.1.通过函数定义理解函数的本质;2.掌握确定两种情形下函数的定义域;3.掌握函数值的求法;4.学会描绘函数图像;5.学会求分段函数定义域，并描绘图像.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、函数定义域的求法；2、函数对应法则的理解，求函数值的练习；3、根据函数的两大要素判断两个函数是否相同；4、分段函数的定义域、函数值以及图像描绘训练。重点函数定义域的求法，对应法则的理解。难点函数概念及函数的图像。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1告知知识目标：函数概念、函数的定义域和值域、函数的图像、分段函数.陈述PPT识记3分钟2一、函数概念引出函数概念的案例:例1自由落体运动中,物体的下落位移s与下落时间t的关系式对应.例2国际上常用恩格尔系数(食品支出总额占消费支出总额的比重)反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.据国家统计局数据显示,从2008年至2017年,近十年来我国城市居民家庭恩格尔系数与这十年时间的表格对应.例3某气象站温度自动记录仪,记录了某一天中温度T与时间t的变化曲线,即某一天中温度T与时间t的图像对应.上述几例,有着共同的特点,处在同一变化过程中的两个变量,当一个变量在其变化范围内每取一个确定的数值时,另一个变量相应地也有一个确定的数值与之对应,这种对应关系,就是函数.定义设x和y为两个变量,D为一个非空数集,如果对于集合D中的每一个x,按照某种确定的对应关系f,都有唯一确定的数值y与之对应,则称y为x的函数,记作，.其中,x叫做自变量,y叫做因变量；x的取值范围D叫做函数的定义域；当x取数值为时,对应的y值叫做函数在处的函数值,记为.所有函数值组成的集合称为函数的值域.通过函数的定义，理解到函数的本质是一种对应.总结出函数有三种表示方法：（1）解析法（2）表格法（3）图像法师生研讨课本结合PPT参与讨论20分钟3什么是对应关系？什么是定义域？怎么确定？一般当函数由解析式给出时,其定义域就是使该解析式有意义的自变量取值范围.师生研讨课本结合PPT参与讨论5分钟4例4已知函数,(1)求函数的定义域；(2)求,的值；(3)当时,求,的值.由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.当定义域和对应关系确定了,值域也就随之确定了.因此,我们称定义域和对应关系是函数的两要素.即只要定义域和对应关系都相同,那么这两个函数就是相同的一个函数；如果定义域或对应关系中有一个不相同,那么这两个函数就是不同的两个函数.例5下列哪个函数与是相同的函数？(1)(2)(3)(4)提问引导板书参与讨论20分钟5确定函数的定义域：例6求函数的定义域.解要使函数有意义,应满足,即，也即,所以,因此函数的定义域为(-4,4).在实际问题得到的函数中,变量有其所指的意义,这时函数的定义域则由问题的具体条件来确定.如例1、例2、例3.练一练：1、求函数的定义域.2、求函数的定义域.师生研讨学生板演课本结合PPT参与讨论练习17分钟6二、分段函数分段定义的函数,称为分段函数.例如,绝对值函数就是一个分段定义的函数,如图1-2所示,定义域为.图1-2图1-2x在实际问题中,通常会碰到这样的分段函数,有几个不同的解析式,合起来表示一个函数.例7旅客乘长途汽车可免费携带不超过20公斤的物品.如果规定超过20公斤而不超过40公斤的部分每公斤交运费0.5元,超过40公斤不超过50公斤的部分每公斤交运费1.5元,最多携带的物品不能超过50公斤．试建立总运费与携带物品重量的函数关系．例8做出函数的图像,并求出及函数的定义域.根据时间，再补充一些分段函数的例子.教师引导学生共同完成PPT结合板书积极参与思考20分钟7本节小结：函数的概念，函数的两要素，函数定义域的求法，函数的值域和图像，分段函数。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟8布置书面作业：习题1-11、2、3、4教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思函数是数学中一个很抽象的概念，大多数同学在中学期间就理解得很不清楚，所以在高等数学学习的开始，教师一定要带领着学生复习好理解透这个重要概念。教学中，尽量放慢速度，每个概念都要和学生共同研讨清楚，不能轻描淡写。因为函数是高等数学的唯一研究对象。

《应用数学》课程单元教学设计教案头单元标题：第1章函数1.1函数的概念（二）1.2基本初等函数授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1.能求简单的反函数，会判断函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性；2.能画出常值函数和常见的幂函数的图像，并说出它们的性质.1.理解反函数定义，并学会求简单的反函数;2.理解函数的四种简单性质，并学会判断;3.掌握常值函数和常见的幂函数的图像、性质.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、求简单的反函数训练；2、函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性的判断训练；3、常值函数的图像、性质训练；4、常见的幂函数的图像、性质训练.重点函数的奇偶性、单调性难点函数的有界性的判断教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8教学材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习上节内容并告知本节知识目标：(1)什么是反函数？怎么求反函数?(2)函数的四种简单性质指的是什么？陈述展示PPT复习回忆5分钟2三、反函数反函数的引出举例.求函数反函数的一般步骤:(1)先从中解出x的表达式；(2)将式子中的x,y互换,反函数通常表示为.例9求函数的反函数.解由函数变形为，再整理得,解得，则所求反函数为.两个函数之间的反函数关系是相互的.具有如下特性:(1)函数的定义域是其反函数的值域,函数的值域是其反函数的定义域.(2)函数与其反函数的图像是关于轴对称.如指数函数与对数函数互为反函数关系,它们的定义域和值域相反.不是所有函数都有反函数存在,单调连续函数一定存在反函数.教师引导课件板书学生参与讨论15分钟3四、函数的简单性态1.奇偶性设函数的定义域D关于原点对称,若对任意的,有,则称是偶函数.偶函数图形关于y轴对称.若对任意的,有,则称是奇函数.奇函数图形关于原点对称.例10判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)(4)结论奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数.奇函数偶函数=奇函数；奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数.教师引导课件板书学生参与讨论18分钟42.周期性若存在正常数,满足,称为周期函数,为函数的周期.通常说周期函数的周期是指其最小正周期.例如是以为最小正周期的周期函数.函数,的周期为.练习：求函数的周期.教师引导课件板书学生参与讨论练习12分钟53.单调性设函数的定义域为,区间.若对于任意的,有,则称在区间I上单调递增；若对于任意的,有,则称在区间I上单调递减.函数在内是单调递增的,在内是单调递减的,在内不是单调的；函数在内是单调递增的.练习：画出函数图像,并根据函数图像说明下列函数的增减性：(1)(2)(3)教师引导课件板书学生参与讨论16分钟64.有界性若总存在正数M,使得对任意的有,则称函数在D上是有界的,否则称为无界.例11说明的有界性．解在上是有界的,而在上是无界函数．特别说明的是,函数和在其定义域上是有界的,所以通常说和是有界函数.教师引导课件板书学生参与讨论9分钟7常值函数y=c定义域：D=(-∞，+∞)值域：W={c}具有偶函数性质（图像关于y轴对称）幂函数y=xa(a是常数),常见的y=x,x2,x3,x-1,x1/2,…作出图像.曲线均过(1,1)点,在第一象限都有图形.教师引导课件板书学生参与讨论10分钟8本节小结：反函数及求法，函数的四种性质及其判断，常值函数和幂函数的图像、性质。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟9布置书面作业：习题1-15、6教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思本节主要内容是函数的四种性质，尤其是奇偶性和单调性的判断，同学们多练习，要理解掌握。另外，常见的幂函数的图像、性质也很重要，后续课程经常会用到。对于常用到的内容没什么说的，必须得会。当然多记多看，掌握这些内容没问题的。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第1章函数1.2复合函数与初等函数授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标能说出五类基本初等函数的特性；能进行复合函数的分界与合成；能判断初等函数。1.熟记五类基本初等函数的图像、性质；2.理解复合函数概念，并学会复合函数的分解与合成；3.理解初等函数的概念。1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质训练；2、复合函数的分解与合成训练；3、初等函数的判断训练。重点基本初等函数的图像、性质；复合函数的分解。难点复合函数的分解，初等函数的概念。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习函数的四种简单性质，常值函数和幂函数的图像和性质，接着引入本节内容.展示陈述PPT识记5分钟23.指数函数y=ax(a是常数,a>0且a≠1),作出图像.常见的指数函数有,,,以及,.所有指数函数定义域为,值域为,且过(0,1)点．规定：，，.运算性质：(1)(2)(3)例1把下列各式表示成分数指数幂(其中a>0):(1)(2)(3)解(1);(2);(3).练习：(1)(2)教师引导课件板书学生参与讨论15分钟3例2比较下列值的大小：(1)(2)(3)解(1)可看做指数函数的两个函数值.由于底数a=1.7>1，函数在R上是增函数,所以.(2)可看做指数函数的两个函数值.由于底数0<0.8<1，函数在R上是减函数，所以.(3)不能看做同一个指数函数的两个函数值.我们可以首先在这两个数值中间找一个数值,将这一个数值与原来两个数值分别比较大小,然后确定原来两个数值的大小关系.由指数函数的性质知所以.教师引导课件板书学生参与讨论8分钟44.对数函数y=logax(a是常数,且a>0,a≠1),作图像常见的对数函数有：(),称为自然对数函数;,称为常用对数函数.所有对数的定义域为,值域为,且过(1,0)点．当在时,对数函数单调增加；当时,单调减小.例3求函数的定义域.解要使函数有意义,应满足，即,所以,因此函数的定义域为.教师引导课件板书学生参与讨论8分钟55.三角函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx两个函数定义域相同,值域相同,周期相同．正弦函数为奇函数,余弦函数为偶函数．正切函数余切函数正切、余切函数值域相同,周期相同,均为奇函数.但定义域不同,正切函数的定义域,余切函数的定义域,其中．教师引导课件板书学生参与讨论12分钟66*.反三角函数(注:标“*”的内容可作为选学,以下同)对,当.在上定义的反函数,称为反正弦函数.类似可定义反余弦函数,反正切函数,反余切函数教师引导课件板书学生参与讨论8分钟7基本初等函数或基本初等函数的有限次四则运算得到的函数称为简单函数.陈述课本识记3分钟8二、复合函数由引例给出复合函数的定义：定义设,,当，,如果对于D中的每一个x所对应的u,都能使有定义,那么最终是的函数,记为,这个函数就叫做是由函数和复合而成的复合函数.为自变量,称为中间变量,为因变量．注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,如y=arcsinu,u=2+x2就不能复合成y是x的函数.例4写出下列简单函数复合后的复合函数.(1),(2),(3),,解(1)复合后的函数为;(2)复合后的函数为;(3)复合后的函数为.例5下列复合函数可看成哪些简单函数复合而成的?(1)(2)解(1)看成是由与复合而成的复合函数.(2)看成是由与复合而成的复合函数.(3)看成是由与复合而成的复合函数.练习:下列复合函数可看成哪些简单函数复合而成.(1)y=(3x+5)10(2)y=ln(sinx)教师引导课件演示黑板展示学生讨论学习20分钟9三、初等函数初等函数是指基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的,并能够用一个式子表示的函数.强调：（1）有限次;（2）一个式子.举例：如下列两个函数中：(1)(2)函数(1)不是用一个式子表示,不是初等函数；函数(2)是基本初等函数的无限次四则运算,也不是初等函数.课件教学课件演示识记6分钟10本节小结：指数函数、对数函数、三角函数的图像、性质，复合函数的分解与复合，初等函数的概念。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟11布置书面作业：习题1-21、2、3教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思基本初等函数是初等函数最重要的基础，需要多花些时间，特别需要学生记住五类函数的特性及图像。复合函数的分解与复合也是一个重点，尤其是分解，后续课程要用到，所以要理解透彻打好基础。本节内容比较多，课时有些紧。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第1章函数1.3函数建模授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标根据实际问题，分辨常量与变量，确定自变量与应变量，并能建立变量之间数量关系.1.学会建立简单实际问题的函数模型；2.学懂指数增长函数y=N(1+p)x；3.学懂建立个人所得税缴税函数.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1.根据实际问题分辨分辨常量与变量2.确定自变量与应变量3.寻找等量关系重点确定自变量与应变量，寻找等量关系难点确定自变量与应变量，寻找等量关系教学组织班级授课、讲练结合，课件与板书结合，课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连：大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础[》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1告知知识目标：函数建模是针对所考察问题构造出相应的函数模型——函数关系,通过对函数模型的研究,使问题得以解决的一种数学方法.一般建立函数模型的基本步骤为：1.从实际问题中分析找出变量和常量,分别用字母表示；2.根据所给条件,运用数学、物理或其他知识,确定等量关系；3.写出具体函数解析式,并指明定义域.陈述PPT识记5分钟2例1拟建造一个容积为V的圆形无盖蓄水池,如果池底所用材料单位面积的造价是池壁单位面积造价的2倍,求总造价与底面半径的函数模型.师生研讨课本结合PPT参与讨论12分钟3例2截止2004年底,我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少？(精确到亿)解设今后我国人口年平均增长率为1%,那么经过年后,我国人口亿.1999年底,我国人口约13亿，经过1年以后,人口数为;经过2年以后,人口数为;经过3年以后,人口数为;......所以,经过x年以后,人口数为.当x=20时,.师生研讨课本结合PPT参与讨论12分钟4在实际问题中,经常会遇到类似上例的指数增长模型:设原有量为N,每次增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则.形如的函数是一种指数型函数,这是一种非常有用的函数模型.师生研讨课本结合PPT参与讨论5分钟5例3某房地产公司有100套公寓要出租.当租金定为800元/套·月时,公寓可全部租出；当租金提高20元/套·月时,就有一套公寓租不出去；已租出去的公寓整修维护费用为40元/套·月.试建立房地产公司的月收入与月租金的函数关系.学生板演（可以的话）PPT结合板书主动参与12分钟6例4(缴纳个人所得税问题)根据中华人民共和国个人所得税法规定:公民全月收入所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累积计算:级数全月应纳所得额税率(％)1不超过1500元的部分32超过1500元至4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25若某人的月收入所得不超过一万元,试列出他应缴纳的税款与其月收入之间的函数关系．教师引导学生共同完成PPT结合板书积极参与思考38分钟7本节内容小结：1.建立函数模型的基本步骤；2.指数增长函数；3.个人所得税缴税的计算. 课堂回顾消化吸收积极参与3分钟8布置书面作业习题1-3教师预留PPT学生记录3分钟三、后记、反思函数关系是一种变量相依关系的数学模型,函数建模方法是科学处理实际问题的一种常用方法.建立函数模型的能力，直接体现了学生的数学能力，显现了学生通过所学数学知识解决实际问题的能力。

《应用数学》课程单元教学设计单元标题：第2章极限与连续2.1函数的极限授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标通过观察数值或图像，推断出函数极限；能够根据一点的左右极限，确定函数在此点的极限．理解和这两种趋势下极限的描述性定义；初步理解“极限思想”方法及其在本课程中的重要地位与作用。1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、练习推断出函数极限；2、练习推断函数的左右极限，从而确定函数在此点的极限．重点理解和这两种趋势下极限的描述性定义难点和时函数的单侧极限概念及求法教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业业教材中对应的各章节习题一、教案头二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1新课内容告知：以及时函数的极限，数列的极限.陈述PPT了解感知2分钟2一、当时,函数的极限讲解时函数极限的引例:例1观察函数无限大时函数值的变化趋势.解：通过观察分析函数的表达式，可看到如下事实：这是一个分式，自变量在分母上，由初中代数知识可知，分母越大，整个分式的值就越小。进一步思考，便容易得出这样的结论：当，函数值的绝对值将变得越来越小，以致趋向于零.所以，0就是函数时的极限，记为师生研讨PPT+板书参与讨论7分钟3引入时函数极限的描述性定义：定义1对于函数，如果当无限增大时，其函数值y无限接近于一个确定的常数A，则称函数的极限存在，常数A就是函数当无限大时的极限，记为.提醒学生注意：1.数学符号的含义是自变量x的绝对值无限增大。也可以理解为自变量x可以沿着数轴左右两个方向走无限远。2.自变量在这样的变化趋势下，如果相应的函数值无限接近于常数A，那么，该函数的极限就是A，这就是定义1的基本含义.师生研讨PPT识记7分钟4例2观察极限的值.函数现在的形式不利于观察其变化趋势，需将其变形：，从这个形式上很容易观察出它的变化趋势是，故有陈述PPT+板书分组讨论3分钟5引入两种极限过程：又可分为两种情况，即和，它们的含义可以理解为自变量x只沿着数轴向右走无限远，和向左走无限远，如果相应的函数值能无限接近一个确定的常数A,则称函数f(x)的极限是A,分别记作：例3观察极限的值。利用函数图象可以很容易观察出它们的结果分别为：，需要注意的是，1.第二个结果意味着此时极限不存在；2.通过此例说明函数图象的重要性，再次要求学生掌握函数图象.师生研讨PPT+板书参与讨论8分钟6二、当时,函数的极限例4观察函数时的极限.通过列表（该表在教材P16）可观察出，函数时的极限为2.例5再来观察函数,在时的极限.通过列表和图像可观察出，函数,在时的极限也为2.其实,上述例4、例5的两个函数与,只在一点处的定义不同,但是它们在时的极限相同,说明了极限值和函数值是不同的两个概念.和的意义也是完全不同,前者x是在静止状态下取一个值,而后者x是在变动状态下取无数个值.师生研讨PPT参与讨论8分钟7引入时函数极限的描述性定义：定义2对于函数，如果当x无限接近于时，y的值无限接近于一个确定的常数A，则称函数的极限存在，A就是函数在时的极限，记作.提醒学生注意符号的准确含义：x沿着数轴在的左右两边向x无限接近.展示PPT识记5分钟8例6观察极限的值.利用图象可以得出.例7观察极限的值.利用图象可以得出.师生研讨PPT参与讨论8分钟9在以上基础上讲解两种极限过程.的极限过程分为两种情形,可以从两个方向和向趋近,通常记为和,此时的极限分别称为处的左极限和右极限,统称为的单侧极限．陈述PPT+板书师生共同研讨8分钟10例8讨论函数在时的左右极限.结论:的充要条件是．例9讨论函数在时的左右极限.例10设,求,．分析如图2-5,=2不是分段点,可直接求得；=1是函数的分段点,因为在分段点两侧的函数表达式不同,所以必须要分左右极限考虑.解;=,=,所以不存在.练习：求极限.师生研讨PPT+板书参与讨论20分钟11三、数列的极限数列…,…,简记为{},其中称为是数列的通项或一般项.例如(1)…,…(2)1,-1,…,…(3)2,4,8,…,2n,…(4)…,…师生研讨PPT+板书参与讨论3分钟12一个数列{}可以看作是一个自变量为的函数,即,定义域是自然数集.对于数列,只考虑时的极限,即.所以数列可以看成是特殊的函数.如果数列的极限存在,也称数列收敛;否则,称该数列发散．观察上面四个数列的极限:数列(1);数列(2)总是取＋１或－１；数列(3)的值越来越大,趋于无穷;数列(4)．因此,我们说数列(1),(4)有极限,是收敛的;而数列(2),(3)不存在极限,是发散的．师生研讨PPT+板书参与讨论6分钟13本节小结：以及当，共6种变化趋势下的函数的极限概念，数列的极限。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟14布置书面作业：习题2-1教师预留PPT学生记录2分钟后记、反思：本次课概念较多，例题也比较多，时间较紧。由于极限是高等数学中非常重要的概念，因此既要保证进度，也要确保授课质量，应使学生初步理解极限的思想，为今后的学习奠定必要的基础。在极限的推断中，多结合函数的图形，能够得到更好的理解。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第2章极限与连续2.2无穷小量与无穷大量授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1、学会利用无穷小量的性质判断极限;2、能够利用无穷小量理解极限的概念.1、理解无穷小量的概念，并会判断；2、理解无穷小量的性质，会用性质2判断极限；3、理解无穷大量的概念，并会判断；4、理解无穷小量与无穷大量的倒数关系；5、了解无穷小量阶的比较.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、练习无穷小量、无穷大量的判断；2、练习利用无穷小量的性质确定极限.重点无穷小量的概念及性质，无穷小量与极限概念的关系.难点无穷小量阶的比较教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习上节课程和这两种趋势下极限的情形：如：;如：,求,.启发板书参与回答5分钟2新课引入：无穷小量、无穷大量的概念与极限概念密切相关，反过来，极限概念可以用无穷小量概念很好解释。陈述口述识记2分钟3一、无穷小量1.无穷小量的含义极限：,,，有一个共同的特性——极限都为0，2.定义以0为极限的函数（或变量）称为无穷小量．陈述PPT+板书识记6分钟4例１观察自变量在怎样的变化过程下,下列函数为无穷小量（也简称为无穷小）：1）2）3）4）展示PPT参与回答15分钟53.无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和是无穷小．性质2无穷小与有界量的积仍是无穷小．性质3有限个无穷小的积仍是无穷小．推论常数与无穷小的积仍是无穷小．例2求.陈述PPT+板书学生识记10分钟6再举例练习：求2.求启发板书学生讨论练习7分钟7二、无穷大量1.无穷大量的含义上述所观察所得极限中,,以及,其共同特点是函数值的绝对值变得越来越大,趋于无穷大.称此类函数（或变量）为无穷大量(简称无穷大).2.无穷大量与无穷小量的关系结论无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．展示PPT识记10分钟8三*无穷小量的比较无穷小的商是什么呢?是否还是无穷小?上面我们讨论了两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量,但两个无穷小量的商,则不一定为无穷小,例如时,,和都是无穷小,但是,,．两个无穷小量商的极限各不相同,反映了无穷小趋于零速度的差异,下表中可以明显地比较出它们趋近于零的快慢．其中趋近于零的速度最快,与趋近于零的速度相当．…-0.1-0.01-0.001…0.0010.010.1……-0.2-0.02-0.002…0.0020.020.2……0.010.00010.000001…0.0000010.00010.01…两个无穷小量之间可以进行阶的比较.讲述PPT学生识记10分钟9定义设某一极限过程中,与都是无穷小量,（1）如果,则称是比较高阶的无穷小量；（2）如果,则称是比较低阶的无穷小量；（3）如果,则称和是同阶的无穷小量．特别是,当时,则称和是等价的无穷小量,记作．例3指出下列无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量.（1）当时,与；（2）当时,与．讲述PPT学生识记15分钟10四、函数极限与无穷小量的关系结论函数以常数为极限的充要条件是,函数与常数的差是一个无穷小量.即().讲述PPT学生识记4分钟11本节小结：1、无穷小量的概念及性质（会用性质2判断极限）；2、理解判断无穷大量；无穷小量与无穷大量的倒数关系；3、了解无穷小量阶的比较.教师引领PPT学生陈述4分钟12布置书面作业：习题2-21、2、3、4教师预留PPT学生标记2分钟后记、反思：无穷小量的概念与极限概念的关系密切，本节在理解无穷小量与性质的基础上，进而利用无穷小量来理解极限概念。在第三个问题中，无穷小量阶的比较选讲，根据不同程度的同学，这个内容可以讲，也可以不讲。不影响后续内容的学习。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第2章极限与连续2.3极限的运算授课班级：学时：2上课地点：（具体地点）教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标能利用极限的四则运算法则计算函数极限.掌握极限的四则运算法则，会利用极限的四则运算法则计算多种函数类型的极限.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务利用极限的四则运算法则计算函数极限。重点利用极限的四则运算法则计算极限。难点商的极限运算法则。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习上节课程1.无穷小量的概念及性质；2.无穷小量与极限概念的关系；3.无穷小量与无穷大量的关系。新课引入：极限的运算是高等数学中的一个重要运算，四则运算是最基本的求极限运算方法.启发板书参与回答5分钟2一、极限的四则运算利用极限运算法则可以求出更多函数的极限．法则；,.教师讲述PPT+板书学生识记5分钟3例1求例2求例3求例4求教师引领PPT+板书学生动手15分钟4方法总结：直接代入法，分解因式约分法练习：1.2.启发板书参与回答10分钟5例5求例6求下列极限：(1)(2)方法总结：上下同除法教师引领PPT+板书学生动手15分钟6教师讲述PPT+板书学生识记3分钟7例7求下列函数极限:（1）（2）其它方法：通分法，根式有理化法等陈述PPT+板书分组讨论10分钟8总结提炼：对呈现“”、“”,“”等未定型的极限可通过约分、通分、上下同除、根式有理化或变量代换后,再求极限；陈述PPT+板书教师提示学生练习5分钟9练习：1.填空（1）（）（2）（）2.求下列各极限（1）（2）（3）（4）教师引领PPT+板书学生动手15分钟10本节小结：1.求函数极限的常用方法：(1)利用极限的四则运算法则直接求极限；(2)对呈现“”“”“”等未定型的极限可通过约分、通分、上下同除、根式有理化或变量代换后,再求极限。教师引领PPT学生陈述5分钟11布置书面作业：习题2-31、2、3、4教师预留PPT学生记录2分钟后记、反思：极限运算是高等数学的重要运算之一，在教学的过程中，需要不断总结方法，根据函数特点，区分不同类型。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第2章极限与连续2.4两个极限公式授课班级：学时：2上课地点：（具体地点）教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标能利用两个极限公式求相关函数的极限.记住两个极限公式，并学会利用两个公式计算一些相关函数的极限.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务练习如何利用两个极限公式求相关函数的极限．重点利用两个极限公式计算函数的极限难点利用第二个极限公式计算函数的极限教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习上节课程：1.求函数极限的常用方法：(1)利用极限的四则运算法则直接求极限；(2)对呈现“”“”“”等未定型的极限可通过约分、通分、上下同除、根式有理化或变量代换后,再求极限.新课引入：极限的运算除了四则运算方法之外，还有其它多种计算极限的方法.两个极限公式是函数求极限的重要的常用公式．启发板书参与回答5分钟2第一个极限公式这个极限是一个“”型未定式,不容易直接确定极限.下表列出了取值于一些接近零的数值时,函数的对应值: 10.70.50.30.10.01…0.841470.920310.958850.985070.998330.9998…可以看出,当时,的值无限接近常数1,所以．教师主讲PPT+板书学生识记5分钟3例1求例2例3求例4求例5时,比较下列各对无穷小量的阶：

(1)与(2)与(3)与教师板书PPT学生跟答20分钟4练习：1.求，2.求3.4.展示PPT+板书教师提示学生练习15分钟5第二个极限公式这个极限是一个“”型未定式,极限同样也是不容易确定.下表列出当时,函数的对应值：110100100010000100000┄22.593742.704812.716922.718152.71827┄数e=2.7182818…是一个无理数,可以看出,.还可以列时的对应值,函数极限同样也等于.所以.教师主讲PPT+板书学生识记5分钟6例6求.例7求.例8求.例9求其实,极限和极限是同一个极限类型,都是“”型,只是表达形式不同,都可以作为公式用.例10求.教师板书PPT学生跟答20分钟7练习：1.求，2.求3.4.展示PPT教师提示学生练习14分钟8本节课小结：两个极限公式：第一个极限公式第二个极限公式记忆及运用方法.教师提问PPT+板书学生回答4分钟9布置书面作业：习题2-41、2教师预留PPT学生标记2分钟后记、反思：利用两个极限公式求极限是极限运算的一个特殊类型，对于高职学生来说，在课时紧张的情况下，大多数同学难以掌握，只要求掌握简单的基本类型即可。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第2章极限与连续2.5函数的连续性及性质授课班级：学时：2上课地点：（具体地点）教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1.基本能判断函数在某一点的连续性；2.基本能判断初等函数的间断点；3.基本能利用连续性求函数的极限．1.基本理解函数的连续性，并学会判断函数在一点的连续性；2.理解并会判断初等函数的间断点；3.了解初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的性质．1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务1、练习判断函数的连续性；2、练习利用连续性求函数的极限．重点判断函数在一点的连续性难点判断函数的连续性教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习上节课程：记忆及运用两个极限公式：第一个极限公式第二个极限公式启发PPT+板书学生回答3分钟2新课引入：自然界中的许多现象,都是在连续不断地运动和变化着.如气温、气压的连续变化,身高的连续生长等.这些现象反映到数学的函数关系上,就是函数的连续．函数的连续是指函数值的连续变化,反映在图形上,就是函数图形可以一笔画出,没有断点.观察如图1-27与1-28所示的两个函数,在点处的不同变化.陈述PPT+板书师生共同研讨5分钟3一、函数的连续性1.函数的增量自变量的增量：即

函数的增量

函数增量又可表示为.（增量不一定是正的,当初值大于终值时,增量就是负的）.2.函数的连续定义1如果函数在及其附近有定义,且

即

则称函数在点处连续.因为也可以写为,所以在处连续也可写为即于是,函数在一点处连续的定义也可叙述如下：讲述PPT识记10分钟4定义2如果函数满足,则称函数在点处连续.也就是说,函数如果在点处连续,必须满足以下三个条件：（1）函数在及其附近有定义；（2）处的极限值存在；（3）极限值.例1说明函数和在处的连续性.定义如果函数在内每一点都连续,则称函数在区间内连续.

讲述PPT识记13分钟5或

前者称为函数在点处左连续,后者称为函数在点处右连续.函数在区间上连续是指函数在区间内连续且在左端点右连续,在右端点左连续．

结论函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处左连续且右连续.例2说明函数在定义域内是连续的.例3说明函数在定义域内是连续的.

函数在定义域内也是连续的.例4讨论函数在点处的连续性.

讲述PPT+板书师生共同研讨15分钟6二、函数的间断点

定义若函数在点处不连续,则称函数在处间断,称为该函数的间断点.

例5讨论函数的间断点.

例6设函数

讨论函数在点处的连续性.

例7设函数

讨论函数在点处的连续性.

讲述PPT识记15分钟7三、连续函数的运算性质性质1设函数及在点处连续,则它们的和、差、积、商在点处也连续．性质2设函数在点处连续,函数在点处连续,且,则复合函数在点处连续.例8说明函数在定义域内是连续的.性质3基本初等函数在其定义域上都是连续的.性质4初等函数在其定义区间内是连续的.可以将性质4用在求极限运算上,会带来方便.例9求.例10求陈述PPT师生共同研讨16分钟8四、闭区间上连续函数的性质

性质5设函数在闭区间[]上连续,则函数在闭区间[]上有界.

证明从略,可参照图1-29,的值介于与之间.性质6（最大值和最小值定理）设函数在闭区间[]上连续,则

（1）在[]上至少存在一点,使对于任何,恒有；

（2）在[]上至少存在一点,使对于任何,恒有.,分别称为函数在区间[]上的最大值和最小值,统称为最值.

如图1-30中,最大值在处取得,为,最小值就是.性质7（介值定理）设函数在闭区间[]上连续,M和m分别为在[]上的最大值和最小值,则对于满足条件的任何实数,在闭区间[]上至少存在一点,使.

展示PPT识记8分钟9本节课小结：1.函数在点处连续,必须同时满足以下三条：(1)函数值存在;(2)极限值存在;(3).2.若函数不连续点,称为函数的间断点.3.闭区间上连续函数的性质;引领PPT口述3分钟10布置书面作业：习题2-51、2、3、4、5口述PPT学生标记2分钟后记、反思：函数的连续性与极限概念密切相关，在函数极限概念的基础上，才能给出判断函数连续性的数学方法。连续函数的运算性质和闭区间上连续函数的性质这部分内容量较大，学生理解比较困难，可以根据时间情况选讲。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第3章导数与微分3.1导数的概念授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1.由导数几何意义能求出曲线的切线方程；2.能写出几个基本导数公式;3.能说出可导与连续的关系.1.理解导数的概念，掌握导数的几何意义;2.熟记几个基本导数公式;3.知道可导与连续的关系.1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务求曲线的切线方程和法线方程训练；根据幂函数的导数公式做一些简单求导练习。重点1、导数的概念；2、导数的几何意义。难点点点导数概念教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1告知本节内容:由两个引例引入导数概念，导数几何意义，导函数，可导与连续的关系.陈述PPT了解1分钟2一、两个引例引例1变速直线运动的瞬时速度匀速运动：速度=移动的距离/移动所用时间物体从时刻到时刻时间内的平均速度为，运动规律为的变速直线运动,物体任一时刻的瞬时速度为.物体在一点附近的平均速度的极限就是物体在该点处的瞬时速度.展示陈述PPT+板书参与讨论7分钟3引例2平面曲线的切线斜率设曲线的方程为,先看曲线切线的定义.定义1设点是曲线L上的一个定点，点是曲线L上的动点，当点沿曲线L趋向于点时,如果割线的极限位置存在,则称直线为曲线L在点处的切线.由曲线切线的含义,过点割线的极限位置即是它的切线,因此割线的斜率的极限值就是切线的斜率.设曲线上定点的坐标为,在曲线上另取一点,其坐标为,设割线的倾斜角为,切线的倾斜角为,则割线的斜率为.当点沿曲线L移动并无限接近于点,即无限接近于0时,割线也随之变化而无限接近于切线.于是,当即时,割线的斜率无限接近于切线的斜率,即.师生研讨PPT+板书参与讨论10分钟4用极限的观点,考察变速直线运动的瞬时速度问题和曲线切线的斜率问题,抛开这些量具体的物理意义、几何意义,抓住其数量共性,引入导数的概念.二、导数的定义定义2设函数在点及其附近有定义,当自变量在点处有增量时,相应的函数的增量为,若与之比当即时的极限存在,则称函数在点处可导,称此极限值为函数在点处的导数.记为，即或.如果上述极限不存在或为无穷大,则称在点处不可导.由导数的意义,导数也称为瞬时变化率,是平均变化率的极限.有了导数这个概念,前面两个引例问题可以重述为:(1)变速直线运动在任一时刻的瞬时速度,就是位置函数在处对时间的导数,即.(2)曲线上点处的切线斜率是函数在处对的导数,即.教师引导课件板书学生参与讨论8分钟5利用定义求导数举例：例1求函数，处的导数，即，，.师生研讨课件板书学生参与讨论8分钟6三、导数的几何意义：由引例2可知,函数点处的导数是曲线在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义,即.曲线处的切线方程为：，法线方程为：求曲线的切线方程、法线方程举例：例2求曲线处的切线方程和法线方程.由引例1可知:变速直线运动路程对时间的导数(即瞬时变化率),就是速度,速度对时间的导数就是加速度,这是导数的物理意义.教师引导课件板书学生参与讨论练习10分钟7四、导函数分析例1引入导函数.如果函数在区间内每一点都可导,则称函数在区间内可导.这时对于区间内任意一点,都有一个确定的导数值与之对应,因此构成了x的一个新函数,称之为函数的导函数,记作.导函数计算公式为：注意：上式求极限过程中x视为常数.陈述课件板书识记5分钟8求导函数举例：由例1知,,更一般地,对于幂函数,可以得出如下结论：(为实数).(1)(1)式是幂函数的求导公式,是最基本的一个导数公式,不仅要记住,而且要会用.例如，.由导数定义可求出：教师引导课件黑板展示学生讨论学习10分钟9练习：求，，，，，.教师引导PPT+黑板展示学生练习12分钟10五、可导与连续的关系在讲可导与连续的关系之前,先得看看左右导数的概念.定义3如果存在,则称此极限值为函数在点处的左导数,记作.同样,如果存在,则称此极限值为函数在点处的右导数,记作.显然,在点处可导的充分必要条件是与均存在且相等.若函数在开区间内每一点均可导，且在区间端点处有及存在,则称函数在闭区间上是可导的.下面来看连续与可导之间有什么关系.定理设函数在点处可导,则函数在点处连续,其逆不真.例4讨论函数处的连续性与可导性.解(1)因，f(0)=0,,所以,即函数处连续.(2)=，=左、右导数虽存在但不相等,即.故不存在,即函数处不可导.这个函数是一个典型的连续但不可导的例子.联系前面学过的知识,可得结论:可导必定连续,连续必定有极限.反之未必成立.由这个定理,还可知:若函数在一点处不连续,则在该点处一定不可导.师生研讨课件板书参与讨论14分钟11本节小结：导数概念，导数的几何意义，几个基本函数的导数公式，可导与连续的关系.课堂回顾消化吸收积极参与3分钟12布置书面作业：习题3-11、2、3、4、5教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思：本节概念性强，对于初学者而言较为抽象，不太好理解，要让学生多想一想加以理解领悟。几个基本导数公式要熟记，并加强相应练习。另课时也有点紧，根据学生掌握情况看，若讲不完，可导与连续的关系可放到下次课再讲。

一、教案头单元标题：第3章导数与微分3.2求导法则授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1.能利用导数的四则运算法则求函数的导数；2.能求出不太复杂的复合函数的导数。1、熟练掌握几个常用的基本导数公式和导数的四则运算法则；2、掌握复合函数的求导法则。1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务导数的四则运算法则训练；复合函数的求导数训练。重点导数的乘积、商的运算法则；复合函数的求导法则。难点点点乘积和商的求导运算法则，复合函数的求导。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习并引入新课：通过复习导数概念、几何意义、几个基本导数公式、可导与连续的关系引入求导法则.提问引导PPT复习回忆参与5分钟2一、函数的和差积商的求导法则1.导数的四则运算定理1设函数（以下简记为）在点x处可导，则它们的和、差、积与商在点x处也可导，且推论1若(c为常数),则.推论2若,则.推论3展示陈述课件板书识记8分钟3导数的四则运算法则举例：例1设求.解例2设，求.解师生研讨课件板书学生参与讨论8分钟4例3设，求。解求导公式熟悉后,运算步骤可以省略一些.例4在一个含有恒定电阻为4,可变电阻为的并联电路中,总电阻由下式给出:,求对的变化率.解总电阻对可变电阻的变化率就是对的导数,所以要先对所给出的函数式变形,然后再求导.由,得,故对的的变化率为.师生研讨课件板书学生参与讨论10分钟5练习：(1)(2)(3)教师引导板书学生练习10分钟6例5求.解=.同理可得.这两个求导结果以后可以作为公式来用.例6求.解根据推论2,有.同理可得.教师引导课件板书学生参与讨论10分钟7二、复合函数的求导法则例7设,求.解法1因,所以.解法2可看成是由与复合而成,其中为中间变量,于是.同学们可以发现:这两种做法的结果是一样的.对于复合函数来说,解法二具有一般性.定理2(复合函数求导法则)设函数在点x处可导,而函数在对应的点处可导,则复合函数在点x处可导,且简记为或.推论设,即.如果复合函数的复合层次更多,上述公式还可以推广.注意:求复合函数的导数时,一定要分析清楚复合过程,认清中间变量.展示陈述课件板书学生参与讨论10分钟8例8设,求.解此函数是由复合而成,其中u为中间变量,由复合函数的求导法则得例9设.解此函数由复合而成,其中u为中间变量,由复合函数的求导法则得.注意:最后应该将中间变量代入.例10设.解此函数是由复合而成,所以有师生研讨课件板书学生参与讨论12分钟9例11设.解此函数是由复合而成,所以有.复合函数求导运算熟练后,可不必再写出中间变量.注意:复合函数求导一定要搞清复合关系,从外到里一层一层对中间变量求导,最后对最终自变量求导,同时将求导结果相乘.例12设.解将中间变量记在头脑中,也在脑中运算,这样可直接写出下式：.师生研讨课件板书学生参与讨论10分钟10例13设.解函数可看成是由复合而成,所以.根据时间可选讲.师生研讨课件板书学生参与讨论5分钟11本节小结：几个基本导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟12布置书面作业：习题3-21、2、3、4教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思：本节内容是本章最重要的部分，其中复合函数求导又是本章的难点，如果复合函数的分解掌握得不好，学习复合函数求导时会感觉很困难。所以，在讲这部分内容之前，有必要复习一下复合函数的分解，同时，一定要让学生有比较充分的时间练习。建议讲解时速度放慢，加上一次习题课，盯着学生动手反复练习，效果肯定要好些。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第3章导数与微分3.3隐函数与参数式函数的导数授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标能求不太复杂的隐函数的导数；能求简单的参数式函数的导数；会求简单的二阶导数。1.掌握隐函数的求导方法；2.了解参数式函数的求导方法；3.知道高阶导数的概念，掌握显函数的二阶导数的求法。1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务简单的隐函数的求导训练；简单的参数式函数的求导训练；求显函数的二阶导数训练。重点隐函数的导数；二阶导数。难点点点点隐函数的导数。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习并引入新课：通过复习几个基本导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，引入隐函数的导数.提问引导PPT复习回忆参与5分钟2隐函数的导数设F(x,y)是一个关于x,y的解析表达式,则方程F(x,y)=0一般地确定了变量y是变量x的函数,但这个函数没用x的显式表示,所以叫做隐函数.下面通过具体例子来说明隐函数如何求导.例1设方程确定了是的函数,求.解当我们将方程中的y看成是由x所确定的函数时,方程就是恒等式.那么方程两边同时对x求导后也是恒等的,即注意是y的函数,而y又是x的函数,因而对求导时,要用复合运算的求导公式.在的式子中,允许出现y.由上可知隐函数的求导方法：(1)在方程两边同时对求导；(2)在求导中注意是的函数,要把看成中间变量,用复合函数的求导法则；(3)得到关于的方程,最后解出即可.例2设方程确定了函数,求.解在方程两边同时对求导得.当代人原方程得.所以.教师引导课件板书学生参与讨论15分钟3例3求椭圆在点处的切线方程.解由导数的几何意义知,所求切线斜率为.在椭圆方程两边同时对求导,得解得.将代入上式,得,于是所求切线方程为即.例4证明.证明设方程两边同时对求导,得因代入上式得即.类似可得：.同理可证,.课堂练习:设方程确定了是的函数,求.教师引导课件板书学生参与讨论练习20分钟4二、初等函数的导数1.基本初等函数的导数公式2.函数的和差积商的求导法则3.复合函数的求导法则教师引导参看教材PPT学生记忆8分钟5三、参数式函数的导数一般地,若参数方程其中t为参数,确定了y与x的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为参数式函数.对于参数式函数的求导,如果能够消去参数t,也就是将y表示成x的显函数,这样求导问题就解决了.但事实上如同隐函数一样,有时候消去参数t是很困难甚至是不可行的,对于参数式函数的求导,一般我们用如下的求导方法:如果函数和都可导,而且,则参数式函数可导,且.例5已知摆线的参数方程为,求参数式函数的导数.解因,,于是.课堂练习:已知参数方程为,求参数式函数的导数.教师引导课件板书学生参与讨论练习18分钟6四、高阶导数如,则,对所得函数再求导数(相当于对函数做了两次求导数运算),称为二阶导数.定义如果可以对函数的导数再求导,所得到的一个新函数,称为函数的二阶导数,记作或或.如对二阶导数再求导,则称三阶导数,记作或或,依次类推可定义n阶导数.注意四阶或四阶以上的导数记作…或…,把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,而把称为的一阶导数.显然,求函数的高阶导数就是逐次求导,求到所需要的阶数为止.例6设,求.解,例7设,求.解,.课堂练习:1.设,.2.设,求.教师引导课件板书学生参与讨论练习19分钟7本节小结：隐函数的导数，参数式函数的求导方法，高阶导数的概念，显函数的二阶导数的求法。课堂回顾消化吸收积极参与3分钟8布置书面作业：习题3-31、2、3、4教师预留PPT学生记录2分钟三、后记、反思：隐函数和参数式函数是两种特殊类型的函数，它们的导数都有各自的求法，所以同学们掌握它们的求导方法即可。乘积、商以及复合函数的求导是最基本的，当然，首先要掌握最基本的求导方法，学本节内容才容易上手。建议对基本的内容还是要多加练习，巩固掌握。

《应用数学》课程单元教学设计一、教案头单元标题：第3章导数与微分3.4微分及其简单应用授课班级：学时：2上课地点：教学目标能力（技能）目标知识目标素质目标1.能说出可导与可微的关系；2.能求函数的微分.1.理解微分的概念,知道可导与可微的关系；2.掌握求函数微分的方法；3.了解微分在近似计算中的简单应用。1.培养学生与人沟通、团队协作和语言表达能力；2.培养学生的独立思考、自主创新能力；3.提高学生的可持续发展能力，培养积极向上、勤奋努力的基本素质.能力训练任务务求函数的微分训练；利用微分做近似计算的训练。重点微分的计算难点点点微分的概念，微分在近似计算中的简单应用。教学组织班级授课、讲练结合班级授课课件与板书结合课堂提问及小组讨论教学方法：启发式与精讲多练相结合教材刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8参考材料[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9作业教材中对应的各章节习题二、教学设计步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配1复习并引入新课：通过复习隐函数的导数、参数式函数的求导方法、显函数的二阶导数的求法，引入微分概念及求法。提问引导PPT复习回忆参与5分钟2一、微分的概念及其几何意义1.引例设边长为x的正方形铁片受热后，其边长增加了，问此铁片的面积增加了多少？设正方形的面积为A，面积的增加部分为，则，当很小时，例如时，关于的线性部分而另一部分当越小时,部分就比线性部分小更多.因此，如果要取的近似值时，线性部分是的一个很好的近似。通常把线性主部称为的微分.展示陈述课件板书学生参与讨论8分钟32.微分的定义定义设函数在点x附近有定义,当自变量有增量时,如果相应的函数的增量可以表示为,其中A是与无关的量,而的高阶无穷小量,即函数增量由两部分构成,其中一部分是的线性主部,另一部分是高阶的无穷小(),则称函数在点x处可微,并称其中的线性主部为函数在点x处的微分,记作,即=.由上面的分析及微分定义可知:当很小时,有.教师引导课件板书学生参与讨论8分钟43.微分和导数的关系定理1设函数在点x处可微,则函数在点x处可导,且,即.反之,如果函数在点x处可导,则函数在点x处可微.定理1也可叙述为:函数在点x处可微的充分必要条件是函数在点x处可导.若函数,则,但此时,所以有.由此函数在点x处的微分可以表示为.上式也可写成，此式说明，之商就是函数的导数，即函数的微分与自变量的微分之商就是函数的导数，因此，导数又叫微商。教师引导课件板书识记5分钟5如果函数在内每一点都可微，则称该函数在区间内可微，其微分记作根据定理1，若要求函数的微分，可先求出函数的导数，再乘以即可。教师引导课件板书学生参与讨论3分钟6求微