25.2.3 因式分解法 课件（21） 人教版（新教材）初中数学九年级上册

第二十五章一元二次方程25.2.3因式分解法1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2．

∴x1＝2，x2＝1．问题

请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0．②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2．∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，

∴x1＝2，x2＝1．还有其他解法吗？问题

请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0．问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x-5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-5x2=0①

思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？解：方程①的右边为0，左边可以因式分解，得x(10-5x)=010x-5x2=0①

这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.如果a·b=0，那么a=0，或b=0.x(10-5x)=0所以

x=0，或(10-5x)=0②所以，方程①的两个根是

x1=0，x2=2.对于这两个根，x1=0

表示物体抛离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m；而

x2=2表示物体在抛离地面2s时落回地面.思考2：解方程①时，二次方程是如何降为一次的？10x-5x2=0x(10-5x)=0通过因式分解归纳：可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0．

实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．

适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式．解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0．x1＝2，x2＝－1．例1：解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－＝x2－2x＋．

例1：解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－＝x2－2x＋．讨论：你能根据例1的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？第1步：移项，将方程的右边化为0；第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程；第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根．简记为一移二分三化四解．想一想:学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？思路：都是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程解决.方法适用方程关键步骤主要特点直接开平方法(mx＋n)2＝p

(m≠0，

p≥0)开平方求解迅速，但只适用于一些特殊的方程配方法所有的一元二次方程配方当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可优先用此法公式法所有的一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误因式分解法适用于等号左边是两个一次因式的积，右边是0的方程分解因式求解迅速，但适用范围较小例2：将下列序号填到对应的横线上.①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；

③-3t

2

+

t

=

0；

④x2-4x=2；⑤2x2-x=0；

⑥5(m+2)2=8；

⑦3y2-y-1=0；

⑧2x2+4x-1=0；⑨

(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法

；适合运用因式分解法

；适合运用公式法

；适合运用配方法

.②⑥③

⑤⑨

①⑦⑧④因式分解法解一元二次方程定义方法步骤利用因式分解来解一元二次方程的方法一移二分三化四解提公因式法，逆用平方差公式和完全平方公式1.一元二次方程

x2-2x＝0的解是(

)A.x1＝3，x2＝1B.x1＝2，x2＝0C.x1＝3，x2＝-2D.x1＝-2，x2＝-1B2.已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，那么二次三项式x2＋px＋q可分解因式为(

)A.(x＋6)(x＋2)B.(x＋6)(x－2)C.(x－6)(x－2)D.(x－6)(x＋2)D解：化为一般式为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)2=0.有x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，3.解方程：(3)(x+1)2=5x+5；∴x1=4，x2=-1．(4)x2-6x+9=(5-2x)2．解：∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，∴-x+2=0，或3x-8=0，x1=2，x2=

.4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r，根据题意(r+5)2×π=2r2π.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径为(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此