2025-2026学年18.1等腰三角形的性质同步练习沪教版（五四学制）七年级下学期数学 含答案

/2026年上海市七下新教材同步培优练习11—18.1等腰三角形的性质一、单选题1．已知下列命题中，正确的是（

）A．有一个锐角相等的两个直角三角形全等B．在中，若是边的中线，且，则是直角三角形C．在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点D．有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等2．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（

）A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定3．用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若三角形的三条边长分别为a，b，c且，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（

）A． B．C． D．6．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（

）A．4 B．5 C．4或6 D．6二、填空题7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为．8．已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为．9．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为．10．如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为．11．如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则．12．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是．13．如图，在中，高线和角平分线相交于点已知，求的度数．14．如图，中，，则15．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为．16．在中，，于点D，E在上，，，则．17．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为．18．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为．三、解答题19．如图，点D，E在的边上，，，求证：．20．如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数．21．已知，如图：中为的中线，是的中线．(1)如果，求证．(2)如果，求证：．22．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．(1)求证：；(2)求证：．23．如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且．(1)证明：；(2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积．24．（1）如图1，在中，已知．如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明；如图1，若D是边的中点，连接，求证：．（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：．25．（1）如图1，在中，已知．①求证：；②若D是边的中点，连接，求证：．（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：．26．如图，已知在中，，点D、E在边上，且．请说明的理由．解：因为．所以．（等边对等角）因为．所以．在与中，，所以．（）所以．（全等三角形对应边相等）所以．（等式性质）答案1．解：、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项错误，不符合题意；、如图，∵是的中线，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴∴，即是直角三角形，原选项正确，符合题意；、在直角中，，是斜边上一点，且，但不一定是的中点，例如，如图，当到的距离小于时，上存在两个点使，原选项错误，不符合题意；、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符合题意；故选：B2．解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米，由题意得即∴或解得或，当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米，∵，∴此时能构成三角形；当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米，∵，∴此时能构成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，故选：C3．解：第一个图：连接，∴由作图可得，，在和中，，∴，∴，∴射线是的平分线；第二个图：连接，同（第一个图）理可得，，∴，∴射线是的平分线；第三个图：通过作图无法证明，∴射线不是的平分线；第四个图：由作图可得，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴射线是的平分线，综上所述，射线是的平分线的有3个，故选：C4．解：，或或（舍去），或，∴这个三角形一定是等腰三角形．故选：A5．解：绕点A顺时针旋转得到根据旋转的性质可知：，旋转角，故A，B不符合题意；如图，记，的交点为，由旋转可知，，∵，∴，∵，，∴，由旋转可得：，则，而，∴，∴故C不符合题意；∵，，当时，∴，与题干信息不符，故D符合题意．故选：D6．解：在中，，，即，当时，为等腰三角形，可以构成三角形；若时，为等腰三角形，不可以组成三角形，故选：A7．解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形；当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为．故158．解：当时，，，和是等腰三角形，，，，即，，，；当时，设，则，，，在中，，解得：，，故或9．解：分以下三种情况：①当，解得，，，三角形的三边分别为8、8、13，，∴此时能组成三角形；∴底边长为13；②，解得，，三角形的三边分别为13、13、3，，∴此时能组成三角形，底边为3；③，解得，综上所述，该三角形的底边等于3或13．故3或1310．解：当点D与点A的左侧时，如图，由旋转的性质得，，，∵，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，由旋转的性质得，，，∵，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；综上，的度数为或．故或11．解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∵中，，，∴，∴．故12．解：由旋转性质可知，，，，，∵，，∴，∴，∴，故13．解：，，是的高，，是等腰直角三角形，，是的角平分线，，，故14．解：∵，∴，，设，则，∴，又∵，∴，解得：，即，故15．解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分．又，等腰三角形的腰与底边相差，下面分两类讨论：①腰比底边大，设腰长为，则底边长为．由题意得，解得，当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．

②底边比腰大，若腰长为，则底边长为．由题意得，解得，当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形．综上所述，这个等腰三角形的底边长为或．故或16．解：过点作，交于点，∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，则，故1017．解：过点E作于点H，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故518．解：设，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故2919．解：如图，过点作于点,∵，∴,又∵，∴,同理得：,∴,∴20．解：∵，为边上的中线，，，在和中，，，，，∴，，，，∴，，∵，∴，∴21．解：（1）证明：，；，；，，即，.（2）证明：延长至，使，连接．是的中线，；在和中，，，，；由，得；,∴,，，；在和中，，，．22．解：（1）证明：∵，∴，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，∴．23．解：（1）连接，∵，，是的中点，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）四边形面积不会发生变化，理由如下：∵，∴，∴，∴四边形面积不会发生变化，面积为．24．解：（1）证明：如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下：如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．由题意，画出图形如下：延长至点，使得，连接，∵是边的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴．（2）如图，在右侧作，且，连接，