2025-2026学年初中数学人教版七年级上学期4.2整式的加法与减法讲义 含答案

/4.2整式的加法与减法目录目录按住ctrl并单击，可访问相关题型按住ctrl并单击，可访问相关题型链接题型01判断是否为同类项 5题型02利用同类项的概念求值 7题型03单项式可以合并求字母的值 8题型04去括号 10题型05整式的加减 12题型06数据污染或遮挡问题 13题型07看错问题 16题型08整式的化简求值 19建体系建体系新知廊新知廊知识点1：同类项1．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．【注意】同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项，如m，2m，3m，6m，它们是同类项．所有常数项都是同类项．2．判断是否为同类项依据：（1）同类项所含字母相同；（2）相同字母的指数也相同；（3）与系数的大小无关；（4）与它们所含的字母顺序无关．知识点2：合并同类项1．合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．2．合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．3．合并同类项的步骤：（1）找出同类项并做标记；（2）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；（3）利用分配律，合并同类项；（4）按某一个字母的降幂（或升幂）排列．知识点3：去括号1．去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．2．括号外有数字因数时，去括号有两种方法：（1）方法1：先利用分配律，将该数（不含符号）与括号内各项分别相乘，再去掉括号；（2）方法2：把括号外的因数连同符号一起与括号内各项相乘，直接去掉括号．两种方法都要注意：不要漏乘项．且需严格按照去括号法则和乘法分配律去做，否则容易出现符号错误或漏乘项错误．3．去多层括号的方法：先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序．一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号．有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号．知识点4：整式的加减1．整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．同类项相加时，只需将系数相加；异类项相加时，需要先将系数相加，然后将相同字母指数相加．2．整式的加减实质是合并同类项．3．整式加减的最后结果要求最简：（1）不能含有同类项，即合并同类项要合并到不能再合并为止．（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列．（3）不能出现带分数，带分数要化成假分数．（4）不含有括号．4．整式化简求值的常规解法：（1）化：通过去括号、合并同类项将整式化简．（2）代：把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子．（3）算：依据有理数的混合运算法则进行计算．求甚解求甚解1．合并同类项的注意事项：（1）标记同类项时，要连同该项的符号一起标记；移动该项时，也要连同它的符号一起移动．（2）合并同类项时，没有同类项的项仍然作为多项式的项，在每一步运算中都要写出，千万不要遗漏．（3）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0．（4）合并完同类项后，通常把结果进行升（降）幂排列．注：把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作把多项式按这个字母进行升幂排列；把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作把多项式按这个字母进行降幂排列．2．去括号的注意事项：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同．如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．注意：“相同”或“相反”是指括号内每一项的符号．变号时，各项都要变号；不变号时，各项都不变号．口诀：去括号，看符号，是“+”号，不变号；是“－”号，全变号．3．添括号的注意事项：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号．添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要改变符号．4．整式化简求值的注意事项：（1）一般情况下，字母取值不同，代数式的值也不同．（2）求多项式的值一般先合并同类项，再把字母的值代入合并后的结果，这样做往往可以简化计算．（3）当字母的取值是分数或负数时，代入时要注意将分数或负数添上括号．（4）把数值代入时，原代数式中的系数、指数及运算符号都不改变．（5）字母的取值要确保它本身所表示的数量有意义．如用a表示正方形的边长，则a只能取正数，再如用x表示人数，则x只能取正整数．练题型练题型题型01判断是否为同类项典型例题典型例题典例典例01（2024秋•东阳市期末）下列各组整式中，不是同类项的是（）A．﹣ab与ba B．52与25 C．0.2a2b与−12a2b D．a2b3与﹣【正确答案】D【分析】根据同类项的定义（所有字母相同，字母的指数也相同的单项式是同类项）解决此题．解：A．根据同类项的定义，﹣ab与ba是同类项，那么A不符合题意．B．根据同类项的定义，52和25都是常数，是同类项，那么B不符合题意．C．根据同类项的定义，0.2a2b与−12a2D．根据同类项的定义，a2b3与﹣a3b2不是同类项，那么D符合题意．故选：D．即学即练即学即练【变式练1】（2024秋•陕州区期末）与−14A．2abc B．2ab2 C．ab D．1【正确答案】C【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．解：与−14ab是同类项的是故选：C．【变式练2】（2024秋•郧西县期末）下列各组中的两项，属于同类项的是（）A．2a2与﹣2a3 B．12ab与3ba C．a2b与﹣ab2 D．2ab【正确答案】B【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，单独的一个数或字母也是同类项，由此判断即可．解：A、2a2与﹣2a3，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；B、12ab与3baC、a2b与﹣ab2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；D、2ab与abc，所含字母不尽相同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：B．【变式练3】（2025•济宁一模）下列各组整式中，不是同类项的是（）A．b与﹣b B．23与32 C．3xy2与2x2y D．2mn与﹣3nm【正确答案】C【分析】根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”进行判断即可．解：A、b与﹣b符合同类项的定义，故此选项不符合题意；B、23与32符合同类项的定义，故此选项不符合题意；C、3xy2与2x2y所含相同字母的指数不同，不符合同类项的定义，故此选项符合题意；D、2mn与﹣3nm符合同类项的定义，故此选项不符合题意．故选：C．题型02利用同类项的概念求值典型例题典型例题典例典例02（2024秋•长沙期末）若3an﹣2b4与﹣2ab2m是同类项，则nm的值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【正确答案】D．【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．解：由同类项的定义可知n﹣2＝1，2m＝4，解得m＝2，n＝3，∴nm＝32＝9．故选：D．即学即练即学即练【变式练1】（2024秋•邵东市期末）若﹣x3yn与xmy是同类项，则2m+n的值为（）A．7 B．5 C．3 D．2【正确答案】A．【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值．解：由同类项的定义可知m＝3，n＝1，∴2m+n＝2×3+1＝7．故选：A．【变式练2】（2024秋•青龙县期末）若单项式﹣2xmy和x3yn+3是同类项，则（m+n）2024的值为（）A．1 B．﹣1 C．52024 D．32024【正确答案】A．【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．解：由同类项的定义可知m＝3，n+3＝1，解得m＝3，n＝﹣2，∴（m+n）2024＝[3+（﹣2）]2024＝1．故选：A．【变式练3】（2024秋•锦州期末）若单项式xm﹣1y和4x2y是同类项，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】C．【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．解：由同类项的定义可知m﹣1＝2，解得m＝3．故选：C．题型03单项式可以合并求字母的值典型例题典型例题典例典例03（2024秋•肇庆期末）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则m+n的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【正确答案】A【分析】利用同类项的定义求得m，n的值，再将m，n的值代入运算即可．解：∵8xmy与6x3yn的和是单项式，∴8xmy与6x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m+n＝3+1＝4．故选：A．即学即练即学即练【变式练1】（2025春•东平县月考）若代数式3a4b2x与0.2b3x﹣1a4能合成一项，则x的值是（）A．0.5 B．1 C．5 D．0【正确答案】B【分析】根据题意得出代数式3a4b2x与0.2b3x﹣1a4是同类项，即可得出2x＝3x﹣1，从而求出x的值．解：若代数式3a4b2x与0.2b3x﹣1a4能合成一项，则代数式3a4b2x与0.2b3x﹣1a4是同类项，∴2x＝3x﹣1，解得x＝1，故选：B．【变式练2】（2025春•北林区期末）若单项式3x4yn与﹣2x2m+3y3的和仍是单项式，则（4m﹣n）n等于（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【正确答案】D【分析】根据题意可得3x4yn与﹣2x2m+3y3是同类项，进而可得2m+3＝4，n＝3，计算出m、n的值，代入可得答案．解：由题意得：2m+3＝4，n＝3，解得：m=1（4m﹣n）n＝（2﹣3）3＝﹣1，故选：D．【变式练3】（2025•东莞市校级模拟）若单项式﹣2x6y与5x2my的差是单项式，则m的值是（）A．3 B．6 C．4 D．2【正确答案】A【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．解：由同类项的定义可知2m＝6，解得m＝3．故选：A．题型04去括号典型例题典型例题典例典例04（2025春•济宁期中）下列选项中“去括号”正确的是（）A．2﹣3（x+1）＝2﹣3x﹣1 B．5−3(xC．2−5(1D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3【正确答案】C．【分析】根据去括号的法则直接求解即可．解：A、2﹣3（x+1）＝﹣3x﹣1≠2﹣3x﹣1，错误；B、5−3(x+13)=C、2−5(15xD、2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣3y﹣1≠2x﹣4﹣3y﹣3，错误．故选：C．即学即练即学即练【变式练1】（2024秋•法库县期末）下列去括号或添括号正确的是（）A．x+（y﹣2）＝x+y+2 B．x﹣（y﹣1）＝x﹣y﹣1 C．x﹣y+1＝x﹣（y﹣1） D．x+y﹣1＝x+（y+1）【正确答案】C【分析】根据去括号与添括号的法则，分别对每一项进行分析即可．A．x+（y﹣2）＝x+y﹣2，故本选项错误，B．x﹣（y﹣1）＝x﹣y+1，故本选项错误，C．x﹣y+1＝x﹣（y﹣1），故本选项正确，D．x+y﹣1＝x+（y﹣1），故本选项错误，故选：C．【变式练2】（2024秋•兴隆台区期末）下列运算正确的是（）A．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c B．a﹣（b﹣c）＝a+b﹣c C．a﹣（b﹣c）＝a+b+c D．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c【正确答案】D【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反可得a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c．解：a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故A、B、C选项错误，D正确；故选：D．【变式练3】（2025春•通州区期中）下列去括号结果正确的是（）A．a2﹣（a﹣3）＝a2﹣a﹣3 B．a2﹣（﹣2a+1）＝a2﹣2a﹣1 C．a2﹣2（a﹣1）＝a2+2a﹣2 D．a2﹣2（a+1）＝a2﹣2a﹣2【正确答案】D．【分析】根据去括号的法则直接求解即可．解：A、a2﹣（a﹣3）＝a2﹣a+3≠a2﹣a﹣3，错误；B、a2﹣（﹣2a+1）＝a2+2a﹣1≠a2﹣2a﹣1，错误；C、a2﹣2（a﹣1）＝a2﹣2a+2≠a2+2a﹣2，错误；D、a2﹣2（a+1）＝a2﹣2a﹣2，正确．故选：D．题型05整式的加减典型例题典型例题典例典例05（2024秋•仁寿县期末）化简：52【正确答案】﹣x+y2．【分析】根据整式的计算合并同类项．解：5=5=52x﹣2x−32x＝﹣x+y2．即学即练即学即练【变式练1】（2025•合肥二模）化简：3（a2+2ab）﹣2（ab﹣a2）．【正确答案】5a2+4ab．【分析】先去括号，然后合并同类项即可．解：3（a2+2ab）﹣2（ab﹣a2）＝3a2+6ab﹣2ab+2a2＝5a2+4ab．【变式练2】（2024秋•恩平市期末）化简：2（3x﹣y）+2（x﹣3y）﹣3（2x﹣y）．【正确答案】2x﹣5y．【分析】去括号合并同类项即可．解：原式＝6x﹣2y+2x﹣6y﹣6x+3y＝2x﹣5y．【变式练3】（2024秋•黔东南州期末）化简：（1）6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2）；（2）2（ab2﹣2a2b）﹣3（ab2﹣a2b）+（2ab2﹣2a2b）．【正确答案】（1）y；（2）ab2﹣3a2b．【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．解：（1）原式＝6y2﹣2x2+y+2x2﹣6y2＝y；（2）原式＝2ab2﹣4a2b﹣3ab2+3a2b+2ab2﹣2a2b＝ab2﹣3a2b．题型06数据污染或遮挡问题典型例题典型例题典例典例06（2024秋•秦皇岛校级期末）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下：﹣（a2﹣4ab+2b2）＝a2﹣2b2．（1）求所捂的多项式；（2）求所捂的多项式与﹣2a的商；（3）当a＝﹣1，b=【正确答案】（1）2a2﹣4ab；（2）﹣a+2b；（3）3．【分析】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可；（2）根据题意列出式子化简即可；（3）把a＝﹣1，b=解：（1）根据题意可得所捂的式子为：a2﹣2b2+（a2﹣4ab+2b2）＝2a2﹣4ab；所以所捂的多项式2a2﹣4ab；（2）（2a2﹣4ab）÷（﹣2a）＝﹣a+2b；（3）当a＝﹣1，b=原式=2a即学即练即学即练【变式练1】（2024秋•博兴县期末）等式x﹣2＝﹣2x+▲中的部分内容被墨渍污染，则被墨渍污染的“▲”为（）A．3x﹣2 B．﹣x﹣2 C．﹣x+2 D．3x+2【正确答案】A【分析】根据等式的性质，两边同时加上2x即可求解．解：∵x﹣2＝﹣2x+▲，∴2x+x﹣2＝▲，即▲＝3x﹣2，故选：A．【变式练2】（2024秋•怀安县期末）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染，当x＝3时，B值为﹣4．（1）求■所表示的数字；（2）先化简A﹣2B，并求值，其中x＝﹣3．【正确答案】（1）﹣2；（2）x2+6x﹣4，﹣13．【分析】（1）设■所表示的数字为a，根据当x＝3时，B值为﹣4，列出方程，解方程即可；（2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．解：（1）设■所表示的数字为a，根据题意得：3a+2＝﹣4，解得：a＝﹣2，即■所表示的数字为﹣2；（2）∵■所表示的数字为﹣2，∴B＝﹣2x+2，∴A﹣2B＝x2+2x﹣2（﹣2x+2）＝x2+6x﹣4，当x＝﹣3时，原式＝（﹣3）2+6×（﹣3）﹣4＝﹣13．【变式练3】（2024•河北模拟）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分．﹣（4x2+5x﹣6）＝﹣3x2﹣x﹣2；（1）若污染的是一个多项式，求这个多项式；（2）若污染的是常数﹣3，求x的值．【正确答案】（1）x2+4x﹣8；（2）x1＝﹣5，x2＝1．【分析】（1）根据整式加减运算法则计算即可求解；（2）将﹣3代入，整理后，利用因式分解法解方程即可．解：（1）这个多项式＝﹣3x2﹣x﹣2+（4x2+5x﹣6）＝﹣3x2﹣x﹣2+4x2+5x﹣6＝x2+4x﹣8；（2）由题意得，﹣3﹣（4x2+5x﹣6）＝﹣3x2﹣x﹣2，整理得，x2+4x﹣5＝0，即（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝1．题型07看错问题典型例题典型例题典例典例07（2024秋•桃城区校级期末）已知多项式A＝x3﹣axy+3x2y3+1，B＝2x3﹣xy+bx2y3．小希在计算时把题目条件A+B错看成了A﹣B，求得的结果为﹣x3+2xy+1，那么小希最终计算的A+B中不含的项为（）A．三次项 B．二次项 C．五次项 D．常数项【正确答案】B【分析】先根据x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1求出a、b的值，继而得出A+B＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3），去括号、合并同类项即可得出答案．解：由题意知x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1，而x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝x3﹣axy+3x2y3+1﹣2x3+xy﹣bx2y3＝﹣x3+（1﹣a）xy+（3﹣b）x2y3+1，∴1﹣a＝2，3﹣b＝0，∴a＝﹣1，b＝3，则A+B＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3）＝x3+xy+3x2y3+1+2x3﹣xy+3x2y3＝3x3+6x2y3+1，∴最终计算的A+B中不含的项为二次项，故选：B．即学即练即学即练【变式练1】（2024秋•广州期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于x的多项式A、B，其中B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3，求A﹣B．小强同学把“A﹣B”错看成“A+B”，求出的结果为﹣6mx2+mx+2x﹣7．（1）填空：多项式B的次数为，常数项为；（2）请帮小强同学求出A﹣B的正确答案；（3）若当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，求m的值．【正确答案】（1）2，﹣3；（2）﹣2mx2+3mx﹣1；（3）14【分析】（1）根据题意，得到多项式B的次数为2，常数项为﹣3；（2）由A+B的结果，求出多项式A，再求出A﹣B的结果即可；（3）根据题意，先求出A﹣2B，再得到含x项的系数为0，求出m的值即可．解：（1）B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3＝﹣2mx2+（1﹣m）x﹣3，∴多项式B的次数为2，常数项为﹣3，故2，﹣3；（2）由题意得：A+B＝﹣6mx2+mx+2x﹣7，∴A＝﹣6mx2+mx+2x﹣7﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3）＝﹣6mx2+mx+2x﹣7+2mx2+mx﹣x+3＝（﹣6mx2+2mx2）+mx+mx+2x﹣x﹣7+3＝﹣4mx2+2mx+x﹣4，∴A﹣B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3）＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+2mx2+mx﹣x+3＝﹣2mx2+3mx﹣1；（3）A﹣2B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣2（﹣2mx2﹣mx+x﹣3）＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+4mx2+2mx﹣2x+6＝4mx﹣x+2＝（4m﹣1）x+2，∵当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，∴4m﹣1＝0，∴m=【变式练2】（2023秋•沈丘县期末）已知A＝x3﹣3x2y﹣2y2，在计算整式的加减时，小聪将“2A﹣B”错看成了“2A+B”，得到的结果为﹣x3+3x2y﹣2y2．（1）求整式B．（2）请你帮助小聪同学求出正确的结果．【正确答案】（1）﹣3x3+9x2y+2y2；（2）5x3﹣15x2y﹣6y2．【分析】（1）依题意得2A+B＝2（x3﹣3x2y﹣2y2）+B＝﹣x3+3x2y﹣2y2，进而可求解；（2）A＝x3﹣3x2y﹣2y2和B＝﹣3x3+9x2y+2y2代入2A﹣B，利用去括号和合并同类项法则进行运算即可．解：（1）依题意得：2A+B＝2（x3﹣3x2y﹣2y2）+B＝﹣x3+3x2y﹣2y2，B＝﹣x3+3x2y﹣2y2﹣2（x3﹣3x2y﹣2y2）＝﹣x3+3x2y﹣2y2﹣2x3+6x2y+4y2＝﹣3x3+9x2y+2y2∴B＝﹣3x3+9x2y+2y2．（2）2A﹣B＝2（x3﹣3x2y﹣2y2）﹣（﹣3x3+9x2y+2y2）＝2x3﹣6x2y﹣4y2+3x3﹣9x2y﹣2y2＝5x3﹣15x2y﹣6y2．【变式练3】（2023秋•榆中县期末）某同学做数学题：已知两个多项式A、B，其中B＝5x2﹣3x+6，他在求A﹣B时，把A﹣B错看成了