华东师大版数学七（下）第八章三角形单元测试培优卷

华东师大版数学七（下）第八章三角形单元测试培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．92．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（）A．70° B．80° C．95° D．100°3．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．50°4．现有7根木棍，长度(单位：dm)分别是1，2，3，4，5，6，7.从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为7dm，另两边的差大于2dm.这样的三角形一共有()个.A．2 B．4 C．6 D．85．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（）A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30°6．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB=∠PBA，∠MON=80°，则∠PAB度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°7．如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点C处，如果∠1=40°，那么∠AFE=（）A．50° B．40° C．20° D．10°8．已知直线AB∥DE，∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若4∠F+∠C=540°，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．49．如图，AB∥CD，∠ACF=∠AEF，CE⊥EG，垂足为E，CE平分∠ACD．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC∥EF；结论Ⅱ：若∠A（∠A<180°）的度数每增加2°，则∠EGD的度数会减少1°A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE=S△BCE：②∠AFG=∠AGF；③∠BAD=2∠ACFA．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是.12．如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边AC，DF的延长线交于点H，边BC，EF延长线交于点G，测得∠G=126°，∠H=84°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值为°.13．已知△ABC的三边a、b、c，则化简b−c−a−a+b−c的值是14．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度.15．如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F=171°，则∠FME的度数是．16．如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一动点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，若∠BCD=34∠BFD+30°三、解答题（共10题，共102分）17．解决多边形问题：（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形?（2）小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形?18．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；（2）若DM⊥DG交AC于点M.①求证：DM平分∠ADC；②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.19．如图，在△ABC中，点D在边BC上．（1）若∠1=∠2=32°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；（2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=11，求AC的长．20．小明在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线条数y的关系过程中，记录的数据如下：多边形的边数n3456⋅⋅⋅⋅⋅⋅对角线的条数y0259⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线（用含n的式子表示）；（2）多边形的对角线条数y随着多边形的边数n（n≥3,n为正整数）的变化而变化．请你用含n的式子表示y；（3）直接写出十二边形的对角线的条数．21．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，G是AC边上一点，过点G作GF∥CD交AB于点F，E是BC边上一点，连接DE，∠1+∠2=180°．（1）判断AC与DE是否平行，并说明理由．（2）若DE平分∠BDC，∠B=80°，∠DEC=3∠A+20°，求∠ACD的度数．22．（1）探究：如图(1)，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠B=30°，则∠ACD的度数是°；（2）拓展：如图(2)，∠MCN=90°，射线CP在∠MCN的内部，点A，B分别在CM，CN上，分别过点A，B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，若∠CBE=70°，求∠CAD的度数；（3）应用：如图(3)，点A，B分别在∠MCN的边CM，CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D，E在射线CP上，连结AD，BE，若∠ADP=∠BEP=60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB=°.23．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在△ABC中，∠A=70°,∠B=35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．（1）【理解】若△ABC为“开心三角形”，∠A=132°，则这个三角形中最小的内角度数为．（2）若△ABC为“开心三角形”，∠A=60°，则这个三角形中最小的内角度数为．（3）【应用】如下图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，分别延长BA和DC，交于点P．已知∠P=30°，若在“开心三角形”ABE中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B=α，求α的值．24．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC.（1）如图（1），AD⊥BC于D，若∠C=75°，∠B=35（2）如图（1），AD⊥BC于D，判断∠EAD=12（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B，∠C又有什么数量关系?（不用证明）25．核心素养几何直观在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AB上一点(不与A，B重合)，连结CP.（1）当∠B=72°时，回答下列问题：①若∠CPB=54°，则△ACP“倍角三角形”(填“是”或“不是”)；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数.（2）当△ABC，△BPC，△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数.26．直线MN⊥PQ，垂足为点O，点A、B分别在射线OQ、OM上运动，点A、B均不与点O重合．（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO=40°，求∠AIB的度数；（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交射线AI于点D．在A、B两点运动的过程中，∠D的度数是否发生变化?若不变，试求∠D的度数；若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AG与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在△AFG中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠ABO的度数．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．【解答】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2)=1080，解得：n=8．故选C．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠1=45°+∠3，∠2=∠5+∠4=60°+∠4，∠3=∠4，∴∠3=∠4=∠1−45°=35°，∴∠2=∠4+∠5=35°+60°=95°，故答案为：C.【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵m∥n，

∴∠1=∠4=40°，

∵∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°，

∴∠3=180°-∠5=180°-110°=70°.

故答案为：B.

【分析】利用两直线平行，同位角相等，可求出∠4的度数；再利用三角形的内角和为180°，可得到∠5=180°-∠2-∠4，代入计算求出∠5的度数；然后利用∠3=180°-∠5，由此可求出∠3的度数.4．【答案】A【解析】【解答】解：从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，5)、(2，6)、(3，6)、

对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

(1，4，7)：1+4=5<7，不满足三边关系，不能围成三角形。

(1，5，7)：1+5=6<7，不满足三边关系，不能围成三角形。

(1，6，7)：1+6=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。

(2，5，7)：2+5=7=7，不满足三边关系，不能围成三角形。

(2，6，7)：2+6=8＞7，满足三边关系，能围成三角形。

(3，6，7)：3+6=9>7，6-3=3<7，满足三边关系，可以围成三角形。

满足条件的三角形有(2，6，7)、(3，6，7)2种。故答案为：A.【分析】根据最长的边为7dm，可从1到6中选取两个数作为另两边，且差大于2，可能的组合有：(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，5)、(2，6)、(3，6)，对于每一种组合，判断是否满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。进而即可得出答案。5．【答案】C【解析】【解答】解：起吊物体前，设∠BDC=x，∵∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=1∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x；物体被吊起后，∵机械臂AB的位置不变，∠CBD=2∠ABD，∠CBD+∠ABD=120°，∴∠CBD=2∠ABD=80°，∵∠BDC增大了10°，∴∠BDC=x+10°，∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+10°=90°+x，∴90°+x∴∠DCE的变化情况为增大30°．故选：C．【分析】起吊物体前，设∠BDC=x，根据角平分线定义可得∠CBD=∠ABD=12∠ABC=60°，再根据三角形外角性质可得∠DCE=60°+x，物体被吊起后，根据角之间的关系可得∠CBD=2∠ABD=80°，由题意可得∠BDC=x+10°6．【答案】D【解析】【解答】解：∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°∵∠MON=80°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°−∠PAO−∠PBO−∠MON=360°−90°−90°−80°=100°∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=故选：D．【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：如图

∵四边形CDEF为长方形，∴EF∥DC，∴∠AGE=∠1=40°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°，∴∠AFE=∠AGE−∠A=10°．故答案为：D．【分析】利用正方形的性质可证得EF∥CD，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图，

∵AB∥DE，

∴∠NDE=∠FPB，

∵∠ABM=∠FBP，

∴∠F=180°-∠ABM-∠NDE，

∵∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，

∴四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°，

即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°，

∴180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°，

∴360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m，

∵4∠F+∠C=540°，

∴m=3.

故答案为：B.

【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠EFC=180°，

∵∠ACF=∠AEF，

∴∠ACF+∠EFC=180°，

∴AC∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∴结论Ⅰ正确；

∵CE⊥EG，

∴∠CEG=90°，

∵∠A+∠ACF=180°，

∴∠ACF=180°-∠A，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECG=12∠ACF=90°−12∠A，

∵∠EGD=∠CEG+∠ECG=90°+90°-12∠A=180°-12∠A，

∴∠A（∠A<180°）的度数每增加2°，则∠EGD的度数会减少1°，

∴10．【答案】C【解析】【解答】解：∵BE是△ABC的中线，∴AE=CE，∴S△ABE=S∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC=90°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，∵CF为△ABC的角平分线，∴∠ACF=∠BCF=1∵∠AFG=∠ABD+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，∴∠AFG=∠AGF，故②正确；∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACD，∴∠BAD=2∠ACF，故③正确；根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误，综上所述，正确的是①②③．故选：C．【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，由BE是△ABC的中线，得到AE=CE，可判定①正确；由AD是△ABC的高线，得到∠ABC+∠BAD=90°，再由CF为△ABC的角平分线，得到∠ACF=∠BCF=12∠ACB，结合三角形外角的性质，求得∠AFG=∠AGF，可判定②正确；根据角平分线的定义，可求解③11．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，∴∠CAM=1∵∠CAN+∠CAB=180°，∴∠EAM=∠CAM+∠CAE=1∵∠M=35°，∴∠AEM=180°−∠M−∠EAM=55°；∵∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠AEC=∠BAE+∠B，且∠ACD=∠B，∴∠CFE=∠AEC=55°，故答案为：55°．【分析】根据角平分线的定义可得∠CAM=12∠CAN，∠CAE=∠BAE=12∠CAB，即可得到12．【答案】210【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知：∠A+∠B=∠ACG，∠D+∠E=∠DFG，

∵∠G=126°，∠H=84°

∴∠GCH+∠GFH=360°-126°-84°=150°，

∴∠ACG+∠DFG=360°-150°=210°，

∴∠A+∠B+∠D+∠E=210°

则∠A+∠B+∠D+∠E的值为210°，

故答案为：210.

【分析】根据三角形外角性质得出∠A+∠B=∠ACG，进而利用四边形的内角和解答即可.13．【答案】2c−2b【解析】【解答】解：∵在△ABC中，c+a>b，a+b>c，∴b−c−a=b−c+a<0，∴=−=−b+c+a−a−b+c=2c−2b．故答案为：2c−2b．

【分析】先利用三角形三边的关系可得c+a>b，a+b>c，再去掉绝对值，然后合并同类项即可.14．【答案】74°【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB=35°.∵CD⊥AB于D，∴∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°.∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°.【分析】根据三角形内角和求出∠ACB=70°，利用角平分线的定义可得∠ACE=1215．【答案】114°【解析】【解答】解：设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，如图：设∠FMB=α，∠END=β，∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FMB=∠BME=α，∠END=∠FNE=β，∠FME=2α，∠FND=2β，∵AB∥CD，EP∥AB，∴EP∥AB∥CD，∴∠FHB=∠FND=2β，∠MEP=∠BME=α，∠PEN=∠END=β，∴∠MEN=∠MEP+∠PEN=α+β，又∵∠FMB=∠F+∠FHB，∴∠F=∠FMB−∠FHB=α−2β，∵2∠MEN+∠F=171°，∴2(α+β)+α−2β=171°，∴α=57°，∴∠FME=2α=114°．故答案为：114°．

【分析】设NF交AB于点H，过E作PE∥AB，设∠FMB=α，∠END=β，根据角平分线的定义得∠FMB=∠BME=α，∠END=∠FNE=β，∠FME=2α，∠FND=2β，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）得∠FHB=∠FND=2β，∠MEP=∠BME=α，∠PEN=∠END=β，由角的和差可得∠MEN=α+β，由三角形外角相等得∠F=α−2β，然后根据2∠MEN+∠F=171°可求出α=58°，据此即可求出∠FME的度数．16．【答案】120°【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F

∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC

∵DE∥AB

∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC

设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y

在△DEF中，由外角性质可知∠BFD=x+y

∵∠BCD=34∠BFD+30°

∴∠BCD=34(x+y)+30°

在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得

故答案为：120°.【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。17．【答案】（1）解：设这个多边形是n边形，由题意得：18解得n=8，答：这个多边形是八边形（2）解：设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0由题意得：18解得x=153则0∘<153解得15∵n为正整数，∴n=8，答：这个多边形是八边形.【解析】【分析】（1）设这个多边形是n边形，再根据三角形内角和与外角和性质建立方程，解方程即可求出答案.

（2）设这个多边形是n边形，重复加的一个角的度数为x，则0∘<x<180∘，根据题意建立方程可得18．【答案】（1）解：∵∠ADC=120°，∴∠ADB=180°−∠ADC=60°，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG=1（2）解：①证明：∵DM⊥DG，∴∠GDM=90°，∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG=∠ADG=12∴∠ADM=∠CDM，∴DM平分∠ADC；②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：由（2）①知：DM平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADM．∵DF⊥AB，∴∠BFD=90°，∴∠BFE+∠DFE=90°．∵PF⊥EF，∴∠PFE=90°，∴∠DFE+∠PFD=90°．∴∠PFD=∠BFE，∵∠DFP+∠B=2∠ADM，∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，∵∠FEC=∠BFE+∠B，∴∠FEC=∠ADC，∴FE∥AD，∵PF⊥EF，∴PF⊥AD，∴∠APF=90°，∵斜边大于直角边，∴AF＞PF【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ADB=60°，然后根据角平分线的定义解答即可．（2）①根据垂直的定义得到得出∠GDM=90°,∠CDM+∠BDG=90°，然后根据等交的余角相等得到结论即可；

②根据垂直得出∠DFP=∠BFE，然后利用外角得到2∠ADM=∠ADC，证出∠ADC=∠FEC，即可证EF∥AD，即可得到19．【答案】（1）解：∵∠1=∠2=32°，∴∠3=∠1+∠2=64°，∴∠3=∠4=64°，∴∠DAC=180°−∠3−∠4=52°，∴∠DAC的度数是52°；（2）解：∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵△ABD的周长比△ACD的周长大3，

∴AB+AD+BD−AC+AD+CD=3，即AB+AD+BD−AC−AD−CD=3，

∴AB−AC=3，即11−AC=3，

解得：AC=8，

即【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质计算∠3=∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理计算得∠DAC=180°−∠3−∠4，计算角度解答即可；（2）根据三角形中线的定义可得BD=CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大3，建立线段的和差关系计算得到AB-AC=3，从而可求得AC的长，解答即可．（1）解：∵∠1=∠2=32°，∴∠3=∠1+∠2=64°，∴∠3=∠4=64°，∴∠DAC=180°−∠3−∠4=52°，∴∠DAC的度数是52°；（2）解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵△ABD的周长比△ACD的周长大3，∴AB+AD+BD−AC+AD+CD=3，即∴AB−AC=3，即11−AC=3，解得：AC=8，即AC的长为8．20．【答案】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为n−3n≥3（2）解：∵n边形有n个顶点，∴所有对角线有nn−3∴n边形所有对角线的条数为y=n（3）54【解析】【解答】（3）解：将n=12代入y=nn−32，得：y=12×12−32=54，

∴十二边形的对角线的条数为54．

故答案为：54.

（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为n−3n≥3（2）解：∵n边形有n个顶点，∴所有对角线有nn−3∴n边形所有对角线的条数为y=n（3）解：将n=12代入y=ny=12×∴十二边形的对角线的条数为54．21．【答案】（1）AC∥DE，理由如下：

∵FG∥CD，

∴∠1+∠ACD=180°，

又∵∠1+∠2=180°，

∴∠ACD=∠2，

∴AC∥DE．（2）设∠A=x°，

∵AC∥DE，

∴∠A=∠EDB=x°，

∵∠CED=3∠A+20°，

∴∠CED=3x°+20°，

又∵∠B=80°，

∴x+80=3x+20，

解得x=30，

又∵DE平分∠BDC，

∴∠2=∠BDE=30°，

又∵AC∥DE，

∴∠ACD=∠2=30°．【解析】【分析】（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；（2）设∠A=x°，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．22．【答案】（1）30（2）解：因为BE⊥CP，所以∠BEC=90°.因为∠CBE=70°，所以∠BCE=90°-∠CBE=20°.因为∠MCN=90°，所以∠ACD=90（3）120【解析】【解答】解：(1)在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，所以∠A=60°.因为CD⊥AB，所以∠ADC=90°，所以.∠ACD=9故答案为：30.(3)因为∠ADP是△ACD的一个外角，所以∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°，同理，∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°，所以∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=(∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)=120°.故答案为：120.【分析】(1)利用直角三角形的性质依次求出.∠A,∠ACD即可；(2)利用直角三角形的性质直接计算得出即可；(3)利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论.23．【答案】（1）16°（2）30°或40°（3）解：分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，∠BAE=1∵AD平分∠BAC，CD平分∠BCF，∴∠BAC=2∠BAE，∠BCF=2∠BCD.∵∠B+∠BAC=∠BCF，∠BCD=∠B+∠P，∴∠B+2∠BAE=2(∠B+∠P)，即α+2×1解得α=20℃第一个方程无解，即∠BAE=1②当∠AEB与∠B互为“开心角”时，∠AEB=1即∠BAE=180同①可得α+2×180综上所述，α的值为20°或75°或300【解析】【解答】解：(1)若△ABC为开心三角形，∠A=132°，当∠A=2∠B时，∠B=66°，此时∠A+∠B>180°，舍去；当∠A=2∠C时，∠C=66°，此时∠A+∠C>180°，舍去；∴∠B=2∠C或∠C=2∠B，设这个三角形中最小的内角为α，则α+2α=180°-132°=48°，∴α=16°，故答案为：16；(2)若△ABC为开心三角形，∠A=60°，当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α，则α+2α=180°-60°=120°，∴α=40°；故答案为：30°或40.【分析】(1)先判断∠A不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为α，则α+2α=180°-132°=48°，即可求出这个三角形中最小的内角的度数；(2)分两种情况讨论：当∠A是开心角时，最小的内角为30°；当∠A不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为α，则α+2α=180°-60°=120°；从而求出这个三角形中最小的内角的度数.

(3)分为∠BAE与∠B互为“开心角”或∠AEB与∠B互为“开心角”两种情况，根据角平分线的定义，三角形的外角性质列方程求出α的值解答即可.24．【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°.

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=12∠BAC=35∘.

又∵AD⊥BC，（2）解：成立.

理由如下：∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=12∠BAC.

∵∠BAC=180∘−∠B−∠C,（3）解：∠EFD=12由(2)知，∠EAG=12∠C−∠B.

∵AG⊥BC,

∴∠AGC=90°.

∵FD⊥BC，

∴∠FDG=90°，

∴∠AGC=∠FDG，

∴FD∥AG，

【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得∠EAD的度数.

⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得.

⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到∠EFD=12∠C−∠B.

25．【答案】（1）解：①②因为∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，所以△BCP三个内角的度数分别是72°，72°，36°，所以∠BCP=36°或72°，所以∠ACP=54°或18°.（2）解：△ABC是“倍角三角形”时，有两种情况，即△ABC是含有45°角的直角三角形或含有60°角的直角三角形，如图(1)，当∠A=∠B=45°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°.如图(2)，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°.如图(3)，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°.如图(4)，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°.如图(5)，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°.综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或50°或60°【解析】【解答】解：(1)①因为∠ACB=90°，∠B=72°，所以∠A=90∘−72∘=18∘.因为∠CPB=54°，所以∠CPA=126°，所以∠ACP=36°，所以∠ACP=2∠A，所以△ACP是“倍角三角形”.

故答案为：是.

【分析】(1)①求出△APC中各个内角的度数，即可判断；

26．【答案】（1）解：∵直线MN⊥PQ，∴∠AOB=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∵∠BAO=40°，

∴∠ABO=90°−40°=50°，

∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，

∴∠BAI=12∠BAO=20°，∠ABI=12（2）解：∠D的度数不变，求解过程如下：∵直线MN⊥PQ，

∴∠AOB=90°，

∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，

∴∠BAO=2∠BAI，∠ABM=2∠ABC，

∵∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，

∴2∠ABC=90°+2∠BAI，

∴∠ABC=∠BAI+45°，

又∵∠ABC=∠BAI+∠D，

∴∠D=45°．（3）解：∵直线MN⊥PQ，∴∠BOP=∠AOB=90°，