鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》同步练习题（附答案）

第第页鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》同步练习题（附答案）一、单选题（满分24分）1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°2．已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角的度数为（

）A．40° B．100° C．40°或100° D．70°3．如图，在△ABC中，若AB=AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD与CE交于点A．∠ABD=∠ACE B．BD=CE C．OC=DC D．AE=AD4．如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上两点，连接AE，AD．若AB=BD，AC=CE，A．20° B．30° C．40° D．50°5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（

）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里6．直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在△ABC中AB=BC，∠A=30°，E是边AC上一点，连接BE并延长至点D，连接DC，若∠BCD=120°，AB=2DC，A．2 B．53 C．328．如图，将一个等腰直角三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边AC在x轴上．将直线l:y=x−3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被△ABC的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（

）A．点A的坐标为2,0B．△ABC的面积为16C．边AB所在直线的表达式为y=−x+1D．D点坐标为6,4二、填空题（满分24分）9．如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACBMN∥BCMN过点O若AB=14AC=16则△AMN的周长=10．如图△ABC中H是高ADBE的交点且BH=AC则∠ABC=________．11．如图在△ABC中∠C=60°点D在△ABC内且AD、BD分别平分∠BAC与∠ABC延长AD交BC于点E若AD=BC则∠AEC=______12．如图在△ABC中AB=ACCD⊥AB于点DBE⊥AC于点E．若BC=13BE=12则BD的长为______．13．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°AB=10AC=8点EF分别在AB、BC上把△BEF沿EF折叠点B恰好落在AC边上的点D处．若△ADE是以DE为腰的等腰三角形则BE的长为______14．如图等腰△ABC中AB=AC=12△ABD是等边三角形点P是∠BAC的角平分线上一个动点连接PC、PD则PC+PD的最小值为________．15．如图∠AOB是一钢架∠AOB=13°为使钢架更加牢固需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH…添加的钢管长度都与OE的长度相等则最多能添加的钢管根数为________根．16．已知：如图BD为△ABC的角平分线且BD=BCE为BD延长线上的一点BE=BA过E作EF⊥ABF为垂足下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=EF=EC④AE=EC其中正确的是________（填序号）三解答题（满分72分）17．（8分）如图在△ABC中AB=ACD是BC边的中点连接ADBE平分∠ABC交AC于点E．(1)若∠C=40°求∠BAD的度数(2)过点E作EF∥BC交AB于点F求证：18．（8分）如图在△ABC中∠ABC=60°∠C=70°∠BAC和∠ABC的角平分线AEBF交于点OAD⊥BC垂足为点D且AD与BF交于点G．(1)求∠CAD和∠BOE的度数(2)求证：AG=BG．19．（8分）如图在Rt△ABC中∠BAC=90°,∠C=30°AF平分∠BAC点E在线段BA的延长线上运动过点E作ED∥AF交AC于点N交BC于点D且BD=CD(1)求证：△AEN是等腰三角形(2)求证：CN−AE=120．（8分）按要求完成下列各题：(1)如图1△ABC中BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC．(2)如图2BD=CD，∠1=∠2此时EB=AC成立吗？请说明你的理由．21．（8分）如图∠MOA=90°△OAB是等边三角形点P在射线OM上连接AP以AP为边作等边三角形APC边AC与边BO相交于点D连接BC．(1)求证：AB⊥BC．(2)连接OC当△OBC是等腰三角形时求∠ODC22．（10分）如图△ABD△ACE都是等边三角形BECD交于点F连接AF．(1)求证：BE=CD(2)求∠BFC的度数(3)求证：AF+BF=FD．23．（10分）如图在△ABC中点D为边AC上一点连接BD延长BD至点E使得BE=AC连接CE．(1)如图1若AC=BC∠A=80°∠EBC=44°求∠ECD的度数(2)如图2∠ECB的角平分线CF交BE于点F若BD=CD∠A=2∠DBC求证：BC=AB+EF．24．（12分）如图1△ABC是等边三角形点PQ分别是边ABBC所在直线上的动点（端点BC除外）点P从顶点A点Q从顶点B同时出发且它们的运动速度相同连接AQCP交于点M．(1)试说明：△ABQ≌△CAP的理由(2)当点PQ分别在线段ABBC上运动时∠AMC的度数是否发生改变？若改变请说明理由若不改变求出它的度数(3)如图2当点PQ分别运动到BC后继续在射线ABBC上运动直线AQCP交点为M则∠AMC的度数是否发生改变？若改变请说明理由若不变则求出它的度数．参考答案1．解：由题意得需假设两锐角都大于45°．2．C【分析】分两种情况讨论计算．【详解】解：分两种情况讨论：情况1：若40°的角为顶角则该等腰三角形的顶角为40°情况2：若40°的角为底角∴顶角=180°−2×40°=100°．综上该等腰三角形顶角的度数为40°或100°．3．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质全等三角形的判定与性质角平分线的定义三角形的外角性质掌握等腰三角形的性质和角度大小比较是解题的关键．先由AB=AC得∠ABC=∠ACB角平分线分得∠ABD=∠ACE可判断选项A再证△ABD≌△ACE得BD=CEAE=AD可判断选项BD最后比较∠ODC与∠OCD的大小判断OC与DC的关系．进而可得答案．【详解】解：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BDCE分别平分∠ABC和∠ACB∴∠ABD=12∠ABC∴∠ABD=∠ACE故选项A正确不符合题意在△ABD和△ACE中∠A=∠A∴△ABD≌△ACEAAS∴BD=CEAE=AD故选项B选项D正确不符合题意∵∠OCD=∠BCE=12∠ACB∠ODC=∠A+∠ABD=∠A+1∴∠ODC=∠A+1∵∠A>0∴∠ODC>∠OCD∴OC≠DC故选项C错误符合题意故选：C．4．B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质三角形内角和定理先根据“等边对等角”得∠AEC=65°再根据三角形内角和定理求出∠ADE=75°然后根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠BAD=75°最后根据三角形的内角和定理得出答案【详解】解：∵∠ACB=50°,AC=CE∴∠AEC=∠CAE=180°−50°在△ADE中∠EAD=40°,∠AED=65°∴∠ADE=180°−65°−40°=75°．∵AB=BD∴∠ADB=∠BAD=75°∴∠B=180°−∠ADB−∠BAD=30°．故选：B．5．C【分析】本题主要考查了方向角等边三角形的判定与性质等知识点熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得∠ABC=40°+20°=60°，AB=BC=50海里从而可得△ABC是等边三角形【详解】解：连接AC由题意得：∠ABC=40°+20°=60°，AB=2×25=50海里BC=50即AB=BC∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=50海里∴AC两地相距50海里．故选：C．6．C【分析】根据等腰三角形的三边关系分三种情况讨论点C的位置注意排除重合的点．【详解】解：∵直线y=x+1与x轴交于A与y轴交于B令y=0解得x=−1∴A−1,0令x=0解得y=1∴B0,1由勾股定理得AB=−1−0设Cx,0当AB=AC时x+1=2解得x=−1+2即C1−1+2,0当AB=BC时x2+0−12=2即x∵x=−1时C与A重合无法构成三角形舍去∴C31,0当AC=BC时x+1=x2+1展开得x2+2x+1=x2∴C40,0综上满足条件的点C共有2+1+1=4个．【点睛】重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用．7．B【分析】作BM⊥AC垂足为M根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACB=30°,AM=CM根据含30度角的直角三角形的性质得出BM=12AB那么可证BM=CD．再利用AAS证明△MEB≌△CED得出ME=CE设CE=x根据AM=CM【详解】解：作BM⊥AC垂足为M则∠BMC=90°如图所示：∵AB=BC∠A=30°∴∠A=∠ACB=30°,AM=CM∠ABC=120°∴BM=1∵AB=2CD∴BM=CD∵∠BCD=120°∴∠DCE=∠DCB−∠ACB=120°−30°=90°∴∠BMC=∠DCE=90°在△MEB和△CED中∠BME=∠DCE∠BEM=∠DEC∴△MEB≌△CEDAAS∴ME=CE设CE=x则ME=x,AM=AE−ME=5−x．∵AM=CM∴5−x=2x∴x=5∴线段CE长为538．C【分析】由函数图象可知当t=2时直线l经过点A得AM=2可得A1,0可判断A由函数图象可知：当t=6时直线l经过点COC=CM−OM=3AC=4得△ABC的面积：12AC⋅BC=12×4×4=8可判断B由B−3,4可得直线AB的解析式为y=−x+1可判断C由l⊥AB得当l经过点C时由AC=BC【详解】解：A令直线l:y=x−3=0解得：x=3∴点M的坐标为3,0∴OM=3由函数图象可知：当t=2时直线l经过点A∴AM=2∴OA=OM−AM=1点A的坐标为1,0∴A错误B由函数图象可知：当t=6时直线l经过点C∴CM=6∴OC=CM−OM=3∴点C的坐标为−3,0∴AC=4∴△ABC的面积：12∴B不正确C∵BC=AC=4∴B−3,4设直线AB的解析式为y=kx+b则k+b=0−3k+b=4解得k=−1b=1∴y=−x+1∴C正确D∵AC=BC=4,∠ACB=90°∴∠BAC=45°直线l和x轴正方向的夹角为45°∴l⊥AB∵AC=BC∴当l经过点C时m=1∴D6,2∴D不正确故选：C.【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质一次函数的平移等腰直角三角形性质从函数图象获取信息的能力勾股定理坐标与图形性质是解题的关键．9．30【分析】由BO平分∠ABC得到∠ABO=∠OBC由平行线的性质得到∠MOB=∠OBC从而可得∠ABO=∠MOB故MB=MO．同理可得NC=NO．由此△AMN的周长可转化为AB+AC即可求解．【详解】解：∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠OBC．∵MN∥BC∴∠MOB=∠OBC∴∠ABO=∠MOB∴MB=MO．同理可得NC=NO∴C=AM+MO+NO+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=14+16=30．【点睛】利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法．10．45°/45度【分析】根据三角形高的定义利用“AAS”先证得△HBD≌△CAD根据全等三角形的对应边相等等边对等角和三角形的内角和定理即可求得∠ABC的度数．【详解】解：∵ADBE是△ABC的高∴∠ADC=∠BDH=∠BEC=90°∴∠C+∠CAD=90°∠C+∠HBD=90°∴∠CAD=∠HBD在△HBD和△CAD中∠HBD=∠CAD∠BDH=∠ADC∴△HBD≌△CADAAS∴BD=AD∵∠ADB=90°∴∠ABC=∠BAD=45°．11．100°/100度【分析】延长AC截取CF=BD连接BF根据三角形内角和定理及角平分线得出∠ADB=120°再由边角边确定△BCF≌△BAD得出AB=BF∠BAD=∠CBF,∠ABD=∠F∠FAB=∠F设∠ABD=∠F=x根据三角形内角和定理得出方程确定∠ABD=∠F=40°再由三角形外角的性质即可求解作出相应辅助线构造全等三角形是解题关键．【详解】解：延长AC截取CF=BD连接BF如图所示：∵∠C=60°AD、BD分别平分∠BAC与∠ABC∴∠BCF=120°∠ADB=180°−(1∴∠BCF=∠ADB=120°∵CF=BDAD=BC∴△BCF≌△BAD(SAS∴AB=BF∠BAD=∠CBF,∠ABD=∠F∴∠FAB=∠F设∠ABD=∠F=x∴∠BAD=∠CAB=60°−x∴∠FAB=2∠CAB=120°−2x∴120°−2x=x解得：x=40°∴∠ABD=∠F=40°∴∠BAE=60°−40°=20°,∠ABC=2∠ABD=80°∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=100°故答案为：100°．12．5【分析】本题考查等腰三角形的性质全等三角形的判定与性质勾股定理熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．先利用等边对等角得到∠ABC=∠ACB再证明△BDC≌△CEBAAS得到BD=CE利用勾股定理求得CE【详解】解：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BE⊥ACCD⊥AB∴∠CDB=∠BEC=90°在△BDC和△CEB中∠DBC=∠ECB∴△BDC≌△CEBAAS∴BD=CE在Rt△BCE中BC=13BE=12∴CE=B∴BD=5．故答案为：5．13．5或50【分析】求出BC=AB2−AC2=6cosA=ACAB=45分当DE=DA时过点D作DG⊥AE于点G则AE=2AG设BE=x则AG=ADcosA=45x【详解】解：∵在Rt△ABC中∠ACB=90°AB=10AC=8∴BC=A∴cosA=当DE=DA时过点D作DG⊥AE于点G则AE=2AG设BE=x由折叠知DE=BE=x∴AD=x∴AG=ADcos∴AE=2×4∵AE+BE=AB∴85解得x=50当ED=EA时AE=BE=x∴x+x=10∴x=5．综上BE=5013或故答案为：5或5013【点睛】本题考查了三角形折叠．熟练掌握折叠性质等腰三角形性质勾股定理锐角三角函数定义是解题的关键．14．12【分析】本题主要考查了最短路线问题等边三角形的性质全等三角形的判定及性质连接BP证明△ABP≌△ACPSAS即可得到CP=BP得PD+PC=PD+PB再根据当BPD在同一直线上时BP+PD的最小值为线段BD长即可得出PD+PC的最小值为12．添加辅助线构造PD+PC=PD+PB【详解】解：如图连接BP∵点P是∠BAC的角平分线上一动点则∠ABP=∠CAP又∵AB=ACAP=AP∴△ABP≌△ACPSAS∴BP=CP∴PD+PC=PD+PB≥BD∴当BPD在同一直线上时BP+PD的最小值为线段BD长又∵△ABD是等边三角形AB=BD=12∴PD+PC的最小值为12故答案为：12．15．6【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数再依次求出并根据底角度数不能超过直角判断即可．【详解】解：根据题意得OE=EF=FG=GH=⋅⋅⋅∵∠AOB=13°,OE=FE∴∠EOF=∠EFO=13°．∵∠FEG是△EOF的外角∴∠FEG=∠EOF+∠EFO=26°,则△EFG是第二个等腰三角形且∠EGF=26°同理△FGH是第三个等腰三角形∠GFH=∠EGF+∠AOB=39°第四个等腰三角形的底角为39°+13°=52°第五个是65°第六个是78°第七个是91°这样就不存在了．所以一共有6根钢管．16．①②④【分析】利用SAS证明△ABD≌△EBC根据∠BDA+∠BDC=180°证明②即可利用等腰三角形的性质证明∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC=∠ADE求解即可.【详解】解：∵BD为△ABC的角平分线∴∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∵EB=AB∴△ABD≌△EBC故①正确∵△ABD≌△EBCSASBD=BC∴∠BDA=∠BCE∠BCD=∠BDC∵∠BDA+∠BDC=180°∴∠BCE+∠BCD=180°故②正确∵BD为△ABC的角平分线∴∠ABD=∠EBC∴∠BEA+∠BAE=∠BCD+∠BDC∵BD=BCBE=BA∴∠BEA=∠BAE∠BCD=∠BDC∴∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC∵∠ADE=∠BDC∴∠BEA=∠BAE=∠BCD=∠BDC=∠ADE∴AD=AE∵△ABD≌△EBCSAS∴AD=EC∴AD=AE=EC∵EF⊥AB∴AD=AE>故③错误④正确.17．(1)50°(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠C=∠ABCAD⊥BC则有∠BAD=90°−∠ABC（2）根据角平分线的性质得∠ABE=∠EBC．由平行线的性质得∠EBC=∠BEF则∠EBF=∠FEB有BF=EF即可说明△BEF是等腰三角形．【详解】（1）解：∵AB=AC∴∠C=∠ABC=40°∵AB=ACD为BC的中点∴AD⊥BC∴∠BDA=90°．∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−40°=50°（2）证明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC．又∵EF∥∴∠EBC=∠BEF．∴∠EBF=∠FEB．∴BF=EF∴△BEF是等腰三角形．18．(1)∠CAD=20°∠BOE=55°(2)见解析【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出∠BAC=50°∠ADC=∠ADB=90°∠CAD=20°再根据角平分线的性质求出∠BAE=12∠BAC=25°∠ABF=12∠ABC=30°（2）首先根据垂直的定义及三角形的内角和求出∠BAD=30°然后再由（1）知∠ABF=12∠ABC=30°【详解】（1）解：在△ADC中∠ABC=60°∠C=70°∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−70°=50°∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∴∠CAD=180°−∠C−∠ADC=180°−70°−90°=20°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=1∵BF平分∠ABC∴∠ABF=1∵∠BOE为△AOB的外角∴∠BOE=∠BAE+∠ABF=25°+30°=55°（2）证明：在△ABD中∠ABC=60°∠ADB=90°∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=180°−60°−90°=30°由（1）知∠ABF=1∴∠BAD=∠ABF∴AG=BG．19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAF=∠CAF=45°再根据ED∥AF得∠AEN=∠BAF=45°,∠ANE=∠CAF=45°由此即可得出结论（2）延长ED到M使DM=DE连接CM先证△DCM和△DBE全等得∠M=∠AEN=45°,BE=CM再证明CM=CN得CN=BE则CN−AE=AB然后再根据含有30°角的直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°AF平分∠BAC∴∠BAF=∠CAF=45°∵ED∥AF∴∠AEN=∠BAF=45°,∠ANE=∠CAF=45°∴∠AEN=∠ANE=45°∴△AEN是等腰三角形（2）证明：延长ED到M使DM=DE连接CM如图所示：由（1）知：∠AEN=∠ANE=45°∴∠CND=∠ANE=45°在△DCM和△DBE中DM=DE∠CDM=∠BDE∴△DCM≌△DBESAS∴∠M=∠AEN=45°,BE=CM∴∠M=∠CND=45°∴CM=CN∴CN=BE∴CN−AE=BE−AE=AB在Rt△ABC中∠ACB=30°∴AB=1∴CN−AE=120．(1)见解析(2)成立见解析．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质等角对等边的知识合理作出辅助线证明三角形全等是关键（1）延长AD至E使ED=AD连接BE证明△ADC≌△EDBSAS结合题意得到∠E=∠1AB=EB由此即可求解（2）延长AD至F使FD=AD连接BF证明△ADC≌△FDBSAS结合题意得到∠F=∠1BF=BE【详解】（1）证明：延长AD至E使ED=AD连接BE如图1所示：∵在△ADC和△EDB中AD=ED∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDBSAS∴AC=EB，∠2=∠E∵∠1=∠2∴∠E=∠1∴AB=EB∴AC=AB（2）解：EB=AC成立理由如下：延长AD至F使FD=AD连接BF如图2所示：∵在△ADC和△FDB中AD=FD∠ADC=∠FDB∴△ADC≌△FDBSAS∴AC=FB，∠2=∠F∵∠1=∠2∴∠F=∠1∴BF=BE∴EB=AC．21．(1)见解析(2)∠ODC的度数为75°或90°【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到∠PAC=∠OAB=60°AP=ACAO=AB然后证明出△PAO≌△CABSAS即可得到∠ABC=∠AOP=90°（2）首先求出∠OBC=∠ABC−∠ABO=30°然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵△APC△OAB是等边三角形∴∠PAC=∠OAB=60°AP=ACAO=AB∴∠PAO=∠CAB∴△PAO≌△CAB∴∠ABC=∠AOP=90°∴AB⊥BC（2）解：∵△OAB是等边三角形∴∠ABO=60°AB=OB∵∠ABC=90°∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=30°∵△OBC∴①如图当BO=BC时∴AB=CB∴∠BCA=∠BAC=45°∴∠ODC=∠BCD+∠CBD=45°+30°=75°②如图当BO=CO时∴∠OCB=∠OBC=30°∴∠COB=180°−∠OCB−∠OBC=120°∴∠COB+∠AOB=180°∴点O在AC上即点O和点D重合不存在∠ODC不符合题意③如图当CO=CB时∵OA=AB∴AC垂直平分OB∴∠ODC=90°综上∠ODC的度数为75°或90°．22．(1)见解析(2)120°(3)见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解（2）利用△ADC≌△ABE得到∠ABE=∠ADC进而得到∠BFD=∠APF−∠ABE=∠APF−∠ADC=∠BAD=60°（3）在DF上截取DH=BF连接AH通过SAS证明△ADH≌△ABF则HA=FA∠DAH=∠BAF再证△AHF是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形∴∠DAB=60°∠CAE=60°∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠DAC=∠BAE∵△ABD和△ACE都是等边三角形∴AD=ABAC=AE在△ADC与△ABE中AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABESAS∴BE=CD（2）解：令ABDC交于点PACBE交于点G如下图所示：由（1）知△ADC≌△ABE∴∠ABE=∠ADC∴∠BFD=∠APF−∠ABE=∠APF−∠ADC=∠BAD=60°∴∠BFC=180°−∠BFD=120°（3）证明：在DF上截取DH=BF连接AH由（1）知：△ADC≌△ABE∴∠ADC=∠ABE在△ADH和△ABF中AD=AB∠ADH=∠ABF∴△ADH≌△ABFSAS∴HA=FA∠DAH=∠BAF∴∠DAH+∠HAB=∠BAF+∠HAB∴∠DAB=∠HAF=60°∴△AHF是等边三角形∴FA=FH∴FA+FB=FD．【点睛】本题是三角形的综合题主要考查了等边三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质等知识作辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．(1)48°(2)见解