259-八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）

八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）八下数学复习专题最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧2）点A、B在直线m同侧：如图1如图2（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【最值原理】两点之间线段最短。例12023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝21）如图①,P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为；（2）如图②,P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；问题解决3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°,根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度要求：写出计算过程，结果保留根号）【分析】（1）利用轴对称方法求最短路线，作点E关于直线AB的对称点E,或作点F关于直线AB的对称点F,，连接EF,交AB于P，则PE+PF=EF,即为最小值；（2）由于PM是定值，可以通过平移点的方式将问题转化为问题一，再通过对称求最短路线；（3）由于农田的宽度一定，故可将M点延AB的垂直方向移动农田的宽度到M,，将问题转化为两点之间线段最短问题即可，作ME丄AB，并在ME上截取MM,=0.5（农田的宽度连接M,N交CD于G，作GH丄AB于H，连接MH，GN，则MG+GH+GN即为最短路线．【详解】解1）如图①,延长FB至F,，使BF,=BF，连接PF,，过E作EE,丄BC于E,，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）矩形ABCD，:LABF=LABF,=90O，BF,=BF，:PF,=PF:PE+PF=PE+PF,当当E，P，F,三点共线时，PE+PF,最小，即PE+PF最小；（（2）如图②,延长EA至E,，使AE,=AE，在E,下方作E,C,//AB，在E,C,上截取E,M,=2，连接M,F交AB于于M，在MA上截取MP=2，连接EP，E,P，矩形ABCD:LBAD=90O，即BA丄EE,，AE=AE,:PE=PE,E,M,//PM，E,M,=PM:四边形E,M,MP是平行四边形，:M,M=E,P=PEM,，M，F三点共线，:M,M+MF=M,F为最小值，即PE+PM+PF=5+2=7为最小值．（（3）如图③,过M作ME丄AB于E，过N作NF丄CD于F，作NQ//CD交ME于Q，MQ交CD于P，在在ME上截取MM,=0.5，连接M,N交CD于G，作GH丄CD交AB于H，连接MH，MM,丄AB，GH丄AB:MM,//GH，MM,=GH:四边形MM,GH是平行四边形，:MH=M,G 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形和矩形的性质，轴对称性质，利用轴对称求最短路线等，解题关键是通过平移和轴对称的方法求最短路线，要学会将实际问题转化为数学问题．例22023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P、点Q分别在边AB、CD上，且DQ=PB，连接AQ和DP，则AQ+DP的最小值是八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【答案】13【分析】证明四边形PBQD是平行四边形，得到PD=BQ，作点A关于CD的对称点E，当B、Q、E在同一直线上时，AQ+DP=QE+BQ=BE取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴PB∥DQ，∵DQ=PB，∴四边形PBQD是平行四边形，∴PD=BQ，作点A关于CD的对称点E，【点睛】本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．例32023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=6，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E，F为CD边上两个动点，且EF=2，则OF+BE的最小值为【答案】【答案】10【分析】过点O作OH丄BC于点H，把点O向右平移2个单位至点O,，作点O,关于CD的对称点O,,，交CD于点K，连接BO,,交CD于点E，作O,,G丄BC，交BC的延长线于点G．由轴对称的性质可知【详解】过点O作OH丄BC于点H，把点O向右平移2个单位至点O,，作点O,关于CD的对称点O,,，交CD于点K，连接BO,,交CD于点E，作O,,G丄BC，交BC的延长线于点G．则四边形O,KCH和四边形八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）∴由两点之间线段最短可知，此时OF+BE的值最小，最小值是线段O,,B的长．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．例42023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F为对角线BD上的动点，且EF=2，连接CE、CF，求△CEF周长的最小值．【答案】ΔEFC周长的最小值为2+34．【分析】要使△CEF周长的最小，只需EC+CF最小，过点C作CH//BD，使得CH=EF=2，连接AH交BD于点F，构造出平行四边形EFHC，根据平行四边形的性质和正方形的对称性知，当A、F、H三点【详解】如解图，过点C作CH//BD，使得CH=EF=2，连接AH交BD于点F，连接AC．CH=EF，CH//EF，:四边形EFHC是平行四边形，:EC=FH．八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）四边形ABCD是正方形，:点A，C关于BD对称．:FA=FC．:此时△CEF的周长为CF+EC+EF=AF+FH+EF．当A、F、H三点共线时，△CEF的周长最小，最小值为AH+EF．四边形ABCD是正方形，且边长为4:AC=42,AC丄BD．CH//DB，:AC丄CH．:LACH=90O．:EFC周长的最小值为2+34． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．例52023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ΔABD沿射线BD平移，得到ΔEGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为【答案】45八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）22【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．例62023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6，4，将ABC沿射线CA的方向平移得到GFE，分别连接DE，FD，AF，则DF+DE的最小值为【答案】【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长DB到M，使得BM=DB，连接BF，证明DF=FM，AF=DE，得DF+DE=AF+FM≥AM，当点A、F、M三点共线时，DF+DE=AF+FM=AM的值最小，由勾股定理求得AM便可．【详解】解：如图所示，连接BD与AC交于点O，延长DB到M，使得BM=DB，连接BF，当点A、F、M三点共线时，DF+DE=AF+FM=AM的值最小，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'如图5）当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置如图6）【最值原理】两点之间线段最短。例12023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l是一条河，A，B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A，B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点保留作图过程）（3）如图3，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置保留作图过程）八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【答案】作图见解析作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．【详解】（1）如图，点到直线垂线段最短．（2）如图．（3）如图。例22022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，A、B两地到河岸最小，则最小值为()【答案】【答案】C【分析】延长AH到J，使得AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N,，P,，得到两座桥N,M,，P,Q,，此时AM,+M,N,+N,P,+P,Q,+BQ,的值最小．八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【详解】解：延长AH到J，使得AJ=MN=2，延长BF到K，使得BK=PQ=2，连接JK交河道于点N,，P,，得到两座桥N,M,，P,Q,，此时AM,+M,N,+N,P,+P,Q,+BQ,的值最小．∴四边形AJN,M,是平行四边形，∴AM,=JN,，同理：BQ,=P,K，在RtJWK中，JKKW2+WJ:AM+MN+NP+PQ+QB的最小【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．例32023·内江·中考模拟）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且【答案】【答案】16【分析】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AG+GH+CH的最小值为.【分析】过点E作EI∥AD交AB于点I，连接HI．易求出AF=1，DF=3，DE=GH=BF=2．易证四边形AGHI为平行四边形，得出AG=HI，即说明当HI+CH最小时，AG+GH+CH最小．由当点I，H，C三点共线时，HI+CH最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出HI，即得出CI=7，即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EI∥AD交AB于点I，连接HI．∵AB∥DE，AD∥EI，∴四边形ADEI为平行四边形，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）∴AI=DE=2∴AI=DE=2=GH，∴四边形AGHI为平行四边形，∵当点I，H，C三点共线时，HI+CH最小，∴此时AG+GH+CH最小，如图，∵AD∥EI，∴BC∥EI．∵CE∥BI∴四边形BCEI为平行四边形，∴BHBEDFCI=2HI，7·丶，【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点最小是解题关键．例62023·山东济南·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF丄AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【答案】6【分析】过点D作DM∥EF交BC于M，过点A作AN∥EF，使AN=EF，连接NE，当N、E、C三点共线时，AF+FE+EC≥CN+AN，分别求出CN、AN的长度即可．【详解】解：过点D作DM∥EF交XBC于M，过点A作AN∥EF，使AN=EF，连接NE，::四边形ANEF是平行四边形，:AN=EF,AF=NE，:当N、E、C三点共线时，AF+CE最小，:四边形EFMD是平行四边形，:DM=EF，:DM=EF=AN，EF丄AC，:DM丄AC,AN丄AC，:LCAN=90O，:LMDC+LACD=90O=LACD+LACB，:LMDC=LACB，+CM2+AN2AF+FE+EC≥CN+AN，:AF+FE+EC≥6，:AF+FE+EC的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．12023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值是()【答案】B【分析】作G关于AB的对称点G,，在CD上截取CH=1，然后连接HG,交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．【详解】如图，作G关于AB的对称点G,，在CD上截取CH=1，然后连接HG,交AB于E，在EB上截取CH=EF=1，CH∥EF，:四边形EFCH是平行四边形，:EH=CF，:G,H=EG,+EH=EG+CF，由勾股定理得：HG即GE+CF的最小值为32．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线．22023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为() 边形NEGM是平行四边形，可得NE=MG，MN=EG=AE=10，由AM+NE=AM+MG，可得当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，LB=LBAD=90O，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH=MN，∴∴LBAE+LAHD=90O=LAHD+LADH，LAEG=90O，∴LBAE=LADH， ∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形， ∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键． 连接CP，QD，则PC+QD的最小值为()【答案】A【分析】连接PB，作B关于AD的对称点E，连接PE,AE,EC，可得四边形PDQB是平行四边形，从而问题转化为PB+PC，然后根据轴对称求最值即可【详解】如图，连接PB，作B关于AD的对称点E，连接PE,AE,EC，四边形ABCD是矩形:AD=BC，AD∥BCAP=CQ:DP=QB:四边形PDQB是平行四边形，:QD=PB作B关于AD的对称点E，:PB=PE:PC+DQ=PC+PB=PC+PE≥EC八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）当当E,P,C三点共线时，取得最小值，EB=2AB=24,CB=7:EC故选A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转化PQ=PB是解题的关键．42023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°,M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为()【答案】B【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作OCMN且OC=MN=2，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，OM+ON取得最小值，2 【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，30O角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE=2，则CD+EF的最小值为()【答案】A【分析】首先ABC是含有30O角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为AB=4，AC=23．因为点D，点E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，求CD+EF的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求C关于AB的对称点C1，作C1C2∥AB．构建平行四边形C1DEC2，作C2F丄AC于点F，交AB于点E．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系,求出C2F的长度即为所求最小值．过C2作C2F丄AC于点F，交AB于点E，过C2作C2M丄AB，则C2M∥C1N，又∵C1C2∥MN，∴四边形C1NMC2是矩形，2ME2E 【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．62023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是米．【答案】【答案】18【分析】作BB9垂直于河岸，使BB9等于河宽，连接AB9，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一AB9最短，即AM+BN最短，也就是AM+MN+NB最短，据此求解即可．【详解】作BB9垂直于河岸，使BB9等于河宽，连接AB9，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，过点A作AC丄BB9交BB9的延长线于点C，则MN∥BB9且MN=BB9，于是MNBB9为平行四边形，故MB9=BN，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．72023·江苏无锡·统考二模）如图，在YABCD中，AB=2，AD=5，M、N分别是AD、BC边上的动点，且LABC=LMNB=60O，则BM+MN+ND的最小值是．【分析】由LMNB=60O可知MN为定长，在AD、BC间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．【详解】作ME∥AB交BC于点E，在AD取DF=MN，连接EF，延长AB至点B’，使BB’=ME，连接AB∥ME，:LMEN=LABC=LMEN=60O，:MEN为等边三角形，:ME=EN=MN，ABCD，:AD∥BC，:四边形ABEM为平行四边形，同理得四边形BB’EM与四边形ENDF为平行四边形，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．82023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x（1）请直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME9是平行四边形，可得OP=EM，因【详解】解1）如图1中，的长度最小．∵直线OB的解析式为yx，∴P（2，3故答案为（2，3【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．9成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有A(0,3)，D(5,0)两点．将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2，点B在直线l2上，过点B作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，CD，则折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值为．【分析】先证四边形ABCF是平行四边形，可得AB=CF，则AB点D，点F三点共线时，CF+CD有最小值为DF的长，即AB+BC+CD有最小值，即可求解．【详解】解：如图，将点A沿y轴向下平移2个单位得到E(0，1)，以AE为斜边，作等腰直角三角形AEF，将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2LAOC=45O，BC=2，AF丄EF，BC丄OCAF//BC四边形ABCF是平行四边形，：当点C，点D，点F三点共线时，CF+CD有最小值为DF的长，即AB+BC+CD有最小值， 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．102023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°,E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．【答案】14【答案】14+237【详解】如图，将点【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F，∴∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．当点当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．112023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF=CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC=8，BD=6，则EG+DF的最小值为．24【答案】245【分析】连接BE，DE，BF，可证四边形BEDF是平行四边形，从而可得BE=DF，求EG+DF的最小值，求EG+BE最小值即可，当B、E、G三点在一条直线上时，EG+BE=BG最小值，即可求解．【详解】解：连接BE，DE，BF，AF=CE，:OA_AF=OC_CE，:OF=OE，:四边形BEDF是平行四边形，:BE=DF，:求EG+DF的最小值，求EG+BE最小值即可，如图，当B、E、G三点在一条直线上时，EG+BE=BG最小值，:CD=OD2+OC2=5，:AC.BD=CD.BG，x8x6=5BG，解得：BGEG+BE故答案为：．【点睛】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．122023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E为CD的中点，点M、N为BC边上两个动点，且MN=3，则AM+NE的最小值是．八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【答案】13【分析】如图所示，作点E关于CD的对称点F，过点F作FG∥MN，FG=MN=3，连接MG，FN，过点G作GHTAB于H，由轴对称的性质可得CF=CE=4，FN=EN，证明四边形MNFG是平行四边形，得到MG=FN=EN，进而推出当A、M、G三点共线时AM+MG最小，即AM+EN最小，最小值为AG【详解】解：如图所示，作点E关于CD的对称点F，过点F作FG∥MN，FG=MN=3，连接MG，FN，过点G作GHTAB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=8，AB⊥BC，CD⊥BC，∵点E为CD的中点，由轴对称的性质可得CF=CE=4，FN=EN，∵FG∥MN，FG=MN=3，∴四边形MNFG是平行四边形，∴MG=FN=EN，∴AM+EN=A∴当A、M、G三点共线时AM+MG最小，即AM+EN最小，最小值为AG的长，∵FG∥CD，∴FGTBC，又∵HGTAB，∴四边形BFGH是矩形，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，正确作出辅助线确定AM+EN最小时的情形是解题的关键．132023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，BC=4，7ABC=60o，在BC边上有一线段EF由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1，连接AE，AF，则△AEF周长的最小值为．【答案】8【分析】过点F作FG∥AE交AD于点G，再作点G关于BC的对称点G,，连接G,F，连接AG,与BC交于点H，当F运动到H点时，A，F，G,三点共线，此时AF+FG,取最小值，即AF+AE取最小值，则此时△AEF的周长最小．【详解】解：如图，过点F作FG∥AE交AD于点G，则四边形AEFG为平行四边形，:AG=EF=1，AE=GF，再作点G关于BC的对称点G,，连接G,F，则G,F=GF=AE，连接AG,与BC交于点H，当F运动到H点时，A，F，G,三点共线，此时AF+FG,取最小值，即AF+AE取最小值，则此时△AEF的周长最小．过点G,作G,K∥AD，过点A作AK丄G,K交BC于点I，sin60oAB=BC=4，:AI=23，连接GG,，AG∥G,K，AK丄G,K，:四边形GG,KA为矩形，:△AEF周长的最小值AG,+EF=7+1=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键．142023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，点M，N在AC上，且MN=2，连接BM，DN，则BM+DN的最小值为八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【分析】解连接BD，过B作BE∥AC，且BE=MN=2，连接DE．所以四边形MNEB是平行四边形，因此BM=NE，则BM+DN=NE+DN≥DE，即BM+DN的最小值为DE，据此解答即可．【详解】解：连接BD，交AC于点O，过B作BE∥AC，且BE=MN=2，连接DE．:四边形MNEB是平行四边形，:BM=NE，BM+DN=NE+DN≥DE，即BM+DN的最小值为DE，:DB=12，即BM+DN的最小值为2·37，故答案为：2·37．【点睛】此题主要考查菱形的性质和轴对称，勾股定理及平行四边形的判定等知识的综合应用．关键是掌握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分．152022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABD中，LA=90，AD=AB=3，将ΔABD沿射线BD平移，得到ΔEGF，再将ΔABD沿射线BD翻折，得到ΔCBD，连接EC、GC，则(GC+EC)2的最小值为【答案】【答案】45【分析】连接DE，作点D关于直线AE的对成点T，连接AT、ET、CT．首先证明B、A、T共线，求出CT，证明四边形EGCD是平行四边形，推出CG=DE，进而得到EC+CG=EC+ED=EC+TE，根据八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）【详解】解：如图，连接DE、AE，作点D关于直线AE的对成点T，连接AT、ET、CT．2【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．162023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，且满足EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于．【详解】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，如图所示：∵EF∥BC，FH∥BE，∴四边形BEFH是平行四边形，∴FH＝BE，BH＝EF＝4，∴CH＝BC﹣BH＝5，BE+FC＝FH+FC，作点C关于直线EF的对称点C'，连接HC'交直线EF于F'，连接F'C，【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、矩形的性质、勾股定理、梯形面积172023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CC9处角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到B的路程最短，请确定两座桥的位置．【答案】见解析【答案】见解析【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点A向下平移至点F，点B向右平移至点G，构造平行四边形进行求解即可．【详解】解：如图所示，将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的则DD9，EE9即为两桥的位置．【点睛】本题考查了轴对称【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．182023上·陕西西安·九年级校考阶段练习1）问题提出如图①,在ABC中，AB=AC=6,LBAC=120o，点D，E分别是AB,AC的中点．若点M，N分别是DE和BC上的动点，则AM+MN的最小值是（2）问题探究：如图②,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直桥造在何处，才能使从A到B的路径A→M→N→B最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河到B的路径A→M→N→B最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由3）问题解决：如图③,在矩形ABCD中，AB=60,BC=80．E、F分别在AB,CD上，且满足EF∥BC，BE=20．若边长为10的正方形MNPQ在线段EF上运动，连接BM、DP，当BM+DP取值最小时，求EN的长．【答案】（【答案】（1）32）小旭的说法正确，理由见解析3）38或14【分析】（1）连接AN，过点A作AF丄BC于点F，根据两点之间线段最短，可得当AN丄BC时，AN最短，此时点N与点F重合，即AM+MN的最小值为AF的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；【详解】解1）如图，连接AN，过点A作AF丄BC于点F，∴AM+MN≥AN，当AN丄BC时，AN最短，此时点N与点F重合，即AM+MN的最小值为AF的长，八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（精解版）（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：AA,=MN，AA,∥MN，∴四边形AA,NM为平行四边形，∴AM=A,N，根据“两点之间线段最短”，当点A,，N，B三点共线时，A,N+BN最短，∵MN为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径A→M→N→B最短．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．192023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线y的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．(1)如图1，求OC的长；(2)如图2，若点P是射线CD上的动点，点E和点F是y轴上的两个动点，且EF=2，当△ADP的面积为10时，求(3)(3)存在以B、M、N、K为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点K的坐标为(2,8)或(_2,0)或(8,0)【分析】（【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令x=0，y=0，即可求解2）根据题意可求出ACD的面积，再根据的面积，再根据△ADP的面积为10时，可求出点P的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解；【详解】（【详解】（1）解：∵直线y的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，（2）解：已知A(8,0)，B(0,4)，CD是AB的垂直平分线，∵D(4,2)，C(3,0)，设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，解得，∴CD所在直线的解析式为y=2x_6，∵点P在直线CD的图象上，∴设P(m,2m_6)，∴S△ACPAC2m(0,_6)，∵点P是射线CD上的动点，C(3,0)，∴P2(0,_6)舍去，∴点P的坐标为(6,6)，∴当P(6,6)时，如图所示，作点C关于y轴对称的点C1，将线段C1F向上平移至点F与点E重合，即2E，此