260-八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）

八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）八下数学复习专题最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）八下数学复习专题：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧2）点A、B在直线m同侧：如图1如图2（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【最值原理】两点之间线段最短。例12023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝21）如图①,P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为；（2）如图②,P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；问题解决3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°,根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度要求：写出计算过程，结果保留根号）例22023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P、点Q分别在边AB、CD上，且DQ=PB，连接AQ和DP，则AQ+DP的最小值是例32023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=6，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E，F为CD边上两个动点，且EF=2，则OF+BE的最小值为例42023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F为对角线BD上的动点，且EF=2，连接CE、CF，求△CEF周长的最小值．例52023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ΔABD沿射线BD平移，得到ΔEGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为例62023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6，4，将ABC沿射线CA的方向平移得到GFE，分别连接DE，FD，AF，则DF+DE的最小值为【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'如图5）当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置如图6）【最值原理】两点之间线段最短。例12023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l是一条河，A，B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A，B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点保留作图过程）（3）如图3，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置保留作图过程）例22022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，A、B两地到河岸最小，则最小值为()例32023·内江·中考模拟）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AG+GH+CH的最小值为.例62023·山东济南·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF丄AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．12023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值是()22023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为()连接CP，QD，则PC+QD的最小值为()42023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°,M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为()52023上·江苏南通·八年级统考期中）如图，ABC中，7ACB=90O，7A=30O，BC=2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE=2，则CD+EF的最小值为()62023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是米．72023·江苏无锡·统考二模）如图，在YABCD中，AB=2，AD=5，M、N分别是AD、BC边上的动点，且LABC=LMNB=60O，则BM+MN+ND的最小值是．82023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x（1）请直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；9成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有A(0,3)，D(5,0)两点．将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2，点B在直线l2上，过点B作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，CD，则折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值为．102023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°,E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．112023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF=CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC=8，BD=6，则EG+DF的最小值为．122023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E为CD的中点，点M、N为BC边上两个动点，且MN=3，则AM+NE的最小值是．132023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，BC=4，7ABC=60o，在BC边上有一线段EF由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1，连接AE，AF，则△AEF周长的最小值为．142023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，点M，N在AC上，且MN=2，连接BM，DN，则BM+DN的最小值为152022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在ΔABD中，LA=90，AD=AB=3，将ΔABD沿射线BD平移，得到ΔEGF，再将ΔABD沿射线BD翻折，得到ΔCBD，连接EC、GC，则(GC+EC)2的最小值为162023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，且满足EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于．172023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CC9处角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到B的路程最短，请确定两座桥的位置．182023上·陕西西安·九年级校考阶段练习1）问题提出如图①,在ABC中，AB=AC=6,LBAC=120o，点D，E分别是AB,AC的中点．若点M，N分别是DE和BC上的动点，则AM+MN的最小值是（2）问题探究：如图②,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直桥造在何处，才能使从A到B的路径A→M→N→B最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使AA’=MN，MN为河宽，连接A’B，A’B与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径A→M→N→B最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由3）问题解决：如图③,在矩形ABCD中，AB=60,BC=80．E、F分别在AB,CD上，且满足EF∥BC，BE=20．若边长为10的正方形MNPQ在线段EF上运动，连接BM、DP，当BM+DP取值最小时，求EN的长．1920