八年级数学上册知识点归纳与练习

八年级数学上册知识点归纳与练习亲爱的同学们，八年级的数学学习是承上启下的关键时期，不仅是对七年级知识的深化，也为后续更复杂的数学内容打下坚实基础。这份归纳与练习，希望能帮助大家系统梳理本学期的重点知识，查漏补缺，在练习中巩固，在思考中提升。请记住，数学的学习没有捷径，唯有理解概念、掌握方法、勤加练习，方能游刃有余。一、全等三角形三角形是平面几何的基本图形，而全等三角形则是研究三角形性质与判定的重要工具。1.1全等形与全等三角形的概念*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。这里的“完全重合”意味着形状相同且大小相等。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如，△ABC与△DEF全等，且点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，则可记作△ABC≌△DEF。1.2全等三角形的性质全等三角形的对应元素具有特殊的关系，这是解决几何问题的重要依据：*对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。*对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。*推论：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的平分线相等，周长相等，面积相等。（这些是由上述两个基本性质推导出来的）1.3全等三角形的判定方法判定两个三角形全等，是几何证明中最核心的内容之一。我们学习了以下几种基本方法：1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。*理解：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形就能完全重合。2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*注意：这里的角必须是两条对应边的“夹角”，不可误认为是任意一个角。3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。*理解：ASA公理的推论，因为三角形内角和固定，知道两个角，第三个角也就确定了。5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。*注意：此方法仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的判定方法。1.4全等三角形的应用*证明线段相等：若两条线段分别是两个全等三角形的对应边，则这两条线段相等。*证明角相等：若两个角分别是两个全等三角形的对应角，则这两个角相等。*解决实际问题：利用全等三角形的知识可以解决一些测量问题，如测量无法直接到达的两点间的距离。练习一：全等三角形1.选择题：下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DFB.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEC.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DD.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E2.填空题：已知△ABC≌△A'B'C'，∠A=60°，∠B=70°，则∠C'=______度。3.解答题：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。（请同学们自行画出示意图，B-E-C-F依次在同一直线上，连接AB,AC,DE,DF）二、轴对称轴对称是一种重要的图形变换，在自然界和生活中广泛存在，它不仅具有美感，也蕴含着丰富的数学性质。2.1轴对称图形与轴对称*轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*（例如：等腰三角形、矩形、圆等）*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。*区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言；轴对称是对两个图形而言。但它们的本质都是沿某直线折叠后能够重合。2.2轴对称的性质*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*关于某条直线对称的两个图形是全等形。*若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称。2.3用坐标表示轴对称在平面直角坐标系中，点(x,y)关于坐标轴和原点的对称点坐标有如下规律：*关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。*关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。*（拓展）关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。2.4等腰三角形等腰三角形是一类特殊的三角形，它是轴对称图形，具有许多独特的性质。*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质：1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。3.等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线，或底边上的中线所在的直线，或底边上的高所在的直线）。*判定：1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。2.5等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形。*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。*性质：1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。2.等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴。3.等边三角形具有等腰三角形的所有性质。*判定：1.定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。2.三个角都相等的三角形是等边三角形。3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。练习二：轴对称1.选择题：下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.线段B.平行四边形C.等腰梯形D.正方形2.填空题：点P(3,-4)关于x轴对称的点的坐标是______，关于y轴对称的点的坐标是______。3.解答题：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。三、实数从有理数到实数，是数系的一次重要扩充，无理数的引入使得我们能够更精确地描述现实世界。3.1平方根*算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。*规定：0的算术平方根是0。*平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。*表示方法：正数a的平方根表示为±√a。*性质：*正数有两个平方根，它们互为相反数。*0的平方根是0。*负数没有平方根。*开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。3.2立方根*立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根。*表示方法：a的立方根记为∛a，读作“三次根号a”。*开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。*性质：*正数的立方根是正数。*负数的立方根是负数。*0的立方根是0。3.3实数的概念及分类*无理数：无限不循环小数叫做无理数。（例如：π，√2，√3等）*实数：有理数和无理数统称实数。*实数的分类：*按定义分：实数可分为有理数和无理数。有理数又可分为整数和分数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。*按性质分：实数可分为正实数、0、负实数。正实数包括正有理数和正无理数；负实数包括负有理数和负无理数。3.4实数的性质与运算*实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。*相反数：实数a的相反数是-a。（a与-a互为相反数，0的相反数是0）*绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即|a|={a(a>0),0(a=0),-a(a<0)}*倒数：乘积是1的两个实数互为倒数。（0没有倒数）*运算：实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用。练习三：实数1.选择题：下列各数中，是无理数的是（）A.3.____B.√4C.22/7D.√52.填空题：*9的算术平方根是______，平方根是______。*-8的立方根是______。*|√2-3|=______。3.解答题：计算：√16+∛(-8)-√(-3)²+|1-√2|四、一次函数函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，一次函数是最简单也是最基本的函数类型。4.1变量与函数*变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。*函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。*函数的三种表示方法：*解析法：用数学式子表示函数关系的方法。（如y=2x+1）*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系的方法。*图象法：用图象表示函数关系的方法。4.2一次函数*正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。*正比例函数是特殊的一次函数。*一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。*一次函数的图象：*一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。*正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。*作法：通常选取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和(-b/k,0)（当k≠0,b≠0时），或另一个易求的点，然后过这两点画直线。*一次函数的性质：*k的符号决定直线的倾斜方向和增减性：*当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，y随x的增大而增大。*当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：*当b>0时，直线与y轴交于正半轴。*当b=0时，直线经过原点。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴。*直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。4.3用函数观点看方程（组）与不等式*一次函数与一元一次方程：任何一个以x为未知数的一元一次方程ax+b=0（a≠0），都可以转化为y=ax+b的函数形式。求方程ax+b=0的解，就是求当函数值y=0时对应的自变量x的值，也就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。*一次函数与一元一次不等式：解关于x的不等式ax+b>0（或ax+b<0），可以看作：当一次函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时，求自变量x的取值范围。*一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的交点坐标，就是相应的二元一次方程组的解。反之，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。4.4一次函数的应用利用一次函数解决实际问题的一般步骤：1.分析问题中的数量关系，找出两个变量，确定哪个是自变量，哪个是因变