抽象函数的性质课件-2027届高三数学一轮复习

第二章抽象函数的性质基本初等函数视角1对称性

(1)已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为

(

)A．(－∞，3)

B．(3，＋∞)C．(－∞，2)

D．(2，＋∞)1【解析】

因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．A【解析】1【答案】10变式1

已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为_____________________．【解析】

由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于x＝2对称．又函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，故函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减．由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图可知，当x＜0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＜0，则x＜0；当x＞0时，由xf(x)＞0，可得f(x)＞0，则1＜x＜3．综上，不等式xf(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，3)．(－∞，0)∪(1，3)视角2对称性、周期性的综合

(1)(2025·湖州质检)已知定义域为R的函数f(x)，满足f(2x)是奇函数，f(3x－1)是偶函数，则下列说法不一定正确的是

(

)A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称B．f(－3)＝1C．f(x)的一个周期为4D．f(x)的图象关于点(0，0)对称2【解析】

由f(3x－1)是偶函数，可知f(－3x－1)＝f(3x－1)，则f(x)关于x＝－1对称，故A正确；因为f(2x)是奇函数，所以f(x)也是奇函数，关于点(0，0)对称，故D正确；由AD可知，f(－2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x＋2)，则f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期函数，一个周期为4，故C正确；由f(x)＝－f(x＋2)可知，f(－3)＝－f(－1)，函数f(x)关于x＝－1对称，但f(－1)不确定，故B错误．【答案】B

(2)(2025·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝3，且g(x＋2)为偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝_______．【解析】

因为函数g(x＋2)为偶函数，所以g(x＋2)＝g(－x＋2)，即f(x)＋g(2－x)＝f(x)＋g(2＋x)＝5①，又g(x)－f(x－4)＝3，即g(x＋2)－f(x－2)＝3②，所以①－②得f(x)＋f(x－2)＝2，即f(x＋2)＋f(x)＝2，两式相减得f(x＋2)－f(x－2)＝0，即f(x＋2)＝f(x－2)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，周期为4．又f(x)＋g(2－x)＝5，f(－x)＋g(2＋x)＝5，g(x＋2)＝g(－x＋2)，所以f(x)＝f(－x)，即f(x)为偶函数．又f(x＋2)＋f(x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2f(1)＝2⇒f(1)＝1，f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝506×4＋f(2025)＝2024＋f(1)＝2025．22025函数对称性与周期性的关系(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b都对称，则f(x)为周期函数且2|b－a|是它的一个周期．(2)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a，y0)，B(b，y0)都对称，则2|b－a|是y＝f(x)的一个周期．(3)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于点A(a，y0)和直线x＝b都对称，则4|b－a|是y＝f(x)的一个周期．变式2

(1)(2025·开封质检)已知f(x)是R上的连续函数，满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列说法中正确的是 (

)A．f(0)＝0B．f(x)为奇函数C．f(x)的一个周期为8【解析】

对于A，令x＝1，y＝0，则f(1＋0)＋f(1－0)＝f(1)f(0)，所以2f(1)＝f(1)f(0)，因为f(1)＝1，所以f(0)＝2，故A不正确；对于B，令x＝0，则f(0＋y)＋f(0－y)＝f(0)f(y)，即f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，则f(x)为偶函数，故B不正确；对于C，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，故f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，两式相加并整理得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，即f(x＋3)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝－[－f(x)]＝f(x)，故f(x)的一个周期为6，则f(9)＝f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－2≠f(1)，故f(x)的一个周期为8不成立，C不正确；【答案】D变式2

(2)(2026·黄冈期初)(多选)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，若f(x＋2)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则 (

)A．g(2)＝2

B．f(6)＝0C．f(x)的图象关于x＝4对称

D．8为g(x)的一个周期【解析】

对于A，由f(x＋2)为奇函数，则f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(x＋1)＝－f(－x＋3)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则－f(－x＋3)＋g(3－x)＝4，f(－x＋2＋1)＋g(3＋x－2)＝4，即f(－x＋3)＋g(1＋x)＝4，则g(3－x)＋g(1＋x)＝8．令x＝1，则2g(2)＝8，即g(2)＝4，故A错误．对于B，由g(x)为偶函数，则g(x)＝g(－x)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则f(x＋4)＋g(－x)＝4，f(4－x)＋g(x)＝4，故f(x＋4)＋g(－x)－f(4－x)－g(x)＝4－4＝0，又g(x)＝g(－x)，则f(x＋4)＝f(4－x)，则f(x＋2)＝f(6－x)，则f(2)＝f(6)．由f(x＋2)＝－f(－x＋2)，则f(2)＝－f(2)，故f(2)＝0，故f(6)＝0，故B正确．对于C，由f(x＋4)＝f(4－x)，则f(x)的图象关于x＝4对称，故C正确．对于D，由g(3－x)＋g(1＋x)＝8，则g(－x)＋g(4＋x)＝8，又g(x)＝g(－x)，则g(x)＋g(4＋x)＝8，则g(x－4)＋g(x)＝8，则g(x)＋g(4＋x)＝g(x－4)＋g(x)，即g(4＋x)＝g(x－4)，即8为g(x)的一个周期，故D正确．【答案】BCD配套练习题一、单项选择题1．(2025·安庆质检)若函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则 (

)A．f(x＋1)为偶函数

B．f(x－1)为偶函数C．f(x＋1)为奇函数

D．f(x－1)为奇函数【解析】

因为函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即f(x＋1)是奇函数．C2．(2025·厦门质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)＝f(1－x)，且f(－1)＝1，则f(2029)＝

(

)A．1

B．0C．－2021

D．－1【解析】

因为f(x)为奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x＋2＋1)＝－f(x＋2－1)＝f(x－1)，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故f(2029)＝f(1)＝－f(－1)＝－1．D【解析】

由f(x)＝f(4－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)为奇函数知f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，从而f(x)是周期为8的周期函数．【答案】D【解析】【答案】C5．已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则下列结论错误的是

(

)A．f(2)＝0B．f(x)是偶函数C．f(x)是周期为4的周期函数D．f(3)＜f(－4)【解析】

因为y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数，B正确；在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，因为f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确；f(x)＝f(x＋4)，f(x)是周期为4的周期函数，C正确；对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)＞f(0)，所以f(3)＞f(－4)，D错误．【答案】D【解析】【答案】BCD7．(2025·石家庄三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则

(

)A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称

B．f(x)是周期为2的函数C．f(2027)＝0【解析】

对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f(x＋1)的图象可看成是函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即

f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，所以f(2027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；【答案】AC8．(2026·唐山期初)已知非常数函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，f(2x－1)＝f(x)，则

(

)A．f(1)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当且仅当x∈Z时，f(x)＝0D．f(x)不存在最小正周期【解析】

由f(2x－1)＝f(x)，令x＝0，得f(－1)＝f(0)，又f(x)是定义在R上的偶函数，则f(1)＝f(－1)＝f(0)＝0，A正确．【答案】ABD三、填空题9．已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)满足f(x)＋g(1－x)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝_____．【解析】

函数g(x)的定义域为R，且y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(x)＋g(2－x)＝0，所以g(1)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，当x＝0时，f(0)＋g(1)＝3，所以f(0)＝3．310．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)