第5讲++一元二次方程、不等式+课件-2027届高三数学一轮复习

第

5讲

一元二次方程、不等式第1章

集合、常用逻辑用语与不等式会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数01理解函数的零点、方程根、图象与x轴交点横坐标的三个等价关系02能借助一元二次函数求解一元二次不等式03了解简单的分式、绝对值不等式的解法04必

备

知

识

梳

理1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.2.

三个“二次”间的关系判别式

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-没有实数根判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集____ax2+bx+c<0(a>0)的解集________________________

R{x|x1<x<x2}∅∅

f(x)·g(x)>0(<0).f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(-∞,-a)∪(a,+∞)(-a,a)

解

析×√××

(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.2.

(人教A·必修一·P53T1·改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为____________.解

析

解

析3.(北师大·必修一·P41T1·改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=

.

由题意，韦达定理可得-a=-1+2,b=(-1)×2,即a=-1,b=-2,故a+b=-3.-3解

析

(-3,0)考

点

题

型

剖

析

1解一元二次不等式解

析角度一：不含参一元二次不等式

（3，4）

1解一元二次不等式解

析ABD

解

析角度二：含参一元二次不等式

解

析角度二：含参一元二次不等式

(3)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R.解

析

1解一元二次不等式解

析跟练1(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1.

2三个二次之间的关系解

析AC

1、一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2、给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟练2(多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(

)A.x1+x2=2

B.x1x2<-3C.-1<x1<x2<3

D.x2-x1>4解

析

2三个二次之间的关系ABD

3一元二次不等式恒成立问题角度一：在实数集R上恒成立例3(1)(2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(

)A.(-4,4)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,4]解

析∵不等式x2-mx+4<0的解集为空集,∴不等式x2-mx+4≥0在R上恒成立,∴m2-4×1×4≤0,∴-4≤m≤4,即m的取值范围是[-4,4].故选D.D

解

析

3一元二次不等式恒成立问题C

例3（2）

(2025·铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(

)A.[4,+∞)B.[0,+∞)C.[6,+∞)D.[8,+∞)角度二：在给定区间上恒成立解

析C

解

析

3一元二次不等式恒成立问题C

角度三：给定参数范围的恒成立问题解

析(-∞,-1)∪(3,+∞)

1、解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置（变换主元），构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解.跟练3（3）已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.解

析

3一元二次不等式恒成立问题

角度四：不等式能成立或