认识一元二次方程第1课时课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.1

认识一元二次方程第二章

一元二次方程第1课时一元二次方程课时导入

已知量：

未知量：

矩形地面的长、宽

地毯的面积

地毯的长、宽

条形区域的宽

8m5m已知量：未知量：

矩形地面的长、宽

地毯的面积

地毯的长、宽

条形区域的宽你能找出地毯问题中的相等关系吗？地毯的长×宽=18m2地毯的长+2倍条形区域的宽=8m地毯的宽+2倍条形区域的宽=5m8m5m你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽为xm，那么地毯的长为

m，宽为

m，根据题意，可得方程：（8-2x）（5-2x）

(8-2x)(5-2x)

=188m5m你能求出这个宽度吗？

(8-2x)(5-2x)

=18

40-16x-10x+4x2=18

2x2

-13x+11=0（去括号）你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

观察下面等式：102+112+122=132+142根据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+

2)2=(x+3)2+(x+4)2x+1x+2x+3x+4观察·思考知识讲解知识点

一元二次方程的定义与一般形式

x2+(x+1)2+(x+

2)2=(x+3)2+(x+4)2去括号、移项、合并同类项x2-8x-20=010m8m

解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.67m1m10m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.6如果设梯子底端滑动x

m，那么滑动后梯子底端距墙_______m.（x+6）根据题意，可得方程：72+(x+6)2

=

102

72+(x+6)2

=

102去括号、移项、合并同类项x2

+12x-15

=

0只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.我们把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数.误区警示:最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：（m-2）x2+3x-8=0不一定是一元二次方程。

一元二次方程的“三要素”一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2.随堂小测

C

③

B通过这节课的学习活动，你有什么收获？小结

只含有一个未知数x

的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0

(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程.我们把ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.小结ax2bxc二次项一次项常数项ab二次项系数一次项系数1.

若关于x的方程ax2－3x－6＝0是一元二次方程，则（

A

）A.

a≠0B.

a＞0C.

a≥0D.

a＝1A巩固练习2.

下列方程是一元二次方程的是（

C

）C3.

一元二次方程2x2－3x－1＝0的一次项系数、常数项分别为

（

C

）A.2，－1B.2，1C.

－3，－1D.3，1C4.

将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数a、

一次项系数b及常数项c。一元二次方程一般形式abc4x2＝5－x4x2＋x－5＝041－54＝x（x－5）x2－5x－4＝01－5－4(x＋2)(x－2)＝0x2－4＝010－44x2＋x－5＝041－5x2－5x－4＝01－5－4x2－4＝010－45.

已知关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0。（1）当m取何值时，此方程是一元二次方程；解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3

＝0是一元二次方程，∴m－4≠0。解得m≠4。解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0

是一元二次方程，∴m－4≠0。解得m≠4。（2）当m取何值时，此方程是一元一次方程。＝4。（2）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0

是一元一次方程，

6.

在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的

面积为1.6

m2。已知床单的长是2

m，宽是1.4

m，求花边的宽

度。请根据题意列出方程。（方程无需化简）解：设花边的宽度为x

m，则由图可知剩下部分的长为（2－

2x）m，剩下部分的宽为（1.4－2x）m。∵剩下部分的面积为1.6

m2，∴可列方程为（2－2x）（1.4－2x）＝1.6。

7.

若关于x的方程x2－2kx＝4x－1化成一般形式后不含有x的

一次项，则k的值为（

B

）A.2B.

－2C.4D.

－4B8.

若关于x的一元二次方程（a－2）x2＋4x＋a2－4＝0的常

数项为0，则a的值为

⁠。－2

9.

【创新点·数学文化】填空：（1）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，

圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等。问方

（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一

块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与

圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多

少？设正方形田的边长为x，则可列方程为

；

（2）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了

这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十

步，问阔及长各几步？”其大意是：一个矩形的面积为864平

方步，其中一条宽与一条长的和为60步，问宽和长各几步？设

矩形的长为x步，则根据题意，可列方程为

⁠

（化成一般形式）。x2－60x＋864＝0

解：是一元二次方程。根据题意，得（x＋1）·2x－（x－2）（x＋2）＝22。整理，得2x2＋2x－x2＋4＝22，即x2＋2x－18＝0。11.

（思想方法·待定系数法）已知关于x的方程（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程，求不等式（m＋1）x－m

＞1的解集。解：∵（m－2）x｜m｜＋2x－2