初三数学二轮复习专题：几何折叠中的动态最值问题探究教案

初三数学二轮复习专题：几何折叠中的动态最值问题探究教案

  一、教学理念与设计思路

  在初三数学二轮复习的关键阶段，学生已具备较为完整的初中数学知识体系，复习的重点应从点的覆盖转向线的贯通和面的构建，从知识回顾转向能力提升与思维深化。本专题教学设计围绕“几何折叠中的动态最值问题”展开，此问题类型综合性强，是考察学生几何直观、空间观念、逻辑推理、数学建模及运算能力的绝佳载体，也是山东乃至全国中考数学压轴题的常见题型。

  本设计秉承以下核心理念：第一，以“大观念”统领复习，将轴对称变换（折叠的本质）、动点轨迹、函数思想、最值模型（如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“圆外一点到圆上点的距离最值”等）进行有机整合，帮助学生构建解决复杂几何动态问题的全局性认知框架。第二，强调“做中学”与“思中学”的结合。通过实物折叠操作、几何画板（或类似软件）动态演示、问题链层层递进探究，引导学生从感性认知上升到理性分析，从具体操作抽象出一般模型，经历完整的数学探究过程。第三，渗透数学思想方法。在整个教学过程中，着力渗透转化与化归思想（化折为直、化动为静）、模型思想、数形结合思想及分类讨论思想，提升学生的数学思维品质。第四，关注跨学科视野。简要联系物理学中的光线反射路径最短原理（费马原理），体现数学作为基础学科的工具性与应用性，拓宽学生认知边界。

  设计思路遵循“唤醒旧知—直观感知—深度探究—模型建构—迁移应用—反思升华”的路径。从学生熟悉的“将军饮马”基本模型出发，通过折叠情境的复杂化（从静态到动态，从单一变换到连续变换），逐步揭示问题的本质，引导学生自主发现并总结解决此类问题的通用策略与思维模式。

  二、教学目标

  基于初三复习阶段的学情和本专题的核心价值，设定以下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.深刻理解图形折叠的几何本质是轴对称变换，能准确识别折叠前后的对应点、对应线段、对应角及其关系，特别是全等关系与垂直平分线关系。

  2.熟练掌握利用轴对称性质实现线段和角的位置转移（等量转移），将“折线路径”转化为“直线路径”，为应用最值公理创造条件。

  3.能够分析折叠过程中动点的运动轨迹（通常是直线或圆弧），并据此建立所求线段长度或图形面积与某一变量（通常是线段长度或角度）之间的函数关系。

  4.综合运用勾股定理、相似三角形性质、锐角三角函数、二次函数性质等工具，求解所建立函数模型的最值。

  （二）过程与方法

  1.经历从具体折叠操作到抽象几何模型的分析过程，提升空间想象能力和几何直观素养。

  2.通过解决一系列由浅入深的变式问题，掌握“识折叠—找不变量与变量—确定动点轨迹—建立函数模型—求解最值”的一般性分析流程。

  3.学会运用动态几何软件辅助分析，从连续变化中观察不变规律与临界状态，形成猜想并加以论证。

  4.在小组合作探究中，锻炼数学表达、交流质疑和协作解决问题的能力。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在攻克复杂问题的过程中，体验数学的严谨性与应用性，增强学习数学的信心和克服困难的毅力。

  2.欣赏数学模型的简洁与力量，感悟转化与化归思想的魅力。

  3.通过跨学科联系，体会数学是理解世界的一种通用语言，激发进一步探索的兴趣。

  三、教学重点与难点

  教学重点：

  1.折叠问题中轴对称性质的深度应用，特别是利用对称性实现“化折为直”。

  2.分析动态折叠情境下关键动点的运动轨迹，并据此构建函数关系模型。

  教学难点：

  1.运动轨迹的发现与确认。当折叠点（如矩形边上动点）运动时，与之相关的其他对称点的轨迹往往隐蔽，需要学生具备较强的空间想象和逻辑推理能力。

  2.复杂情境下函数模型的建立。如何选择恰当的自变量，如何用该变量表示相关几何量，如何构建清晰的函数表达式，是学生思维的瓶颈所在。

  3.多知识点、多思想方法的综合与灵活调用。学生需要在动态情境中辨识基本图形结构，串联起看似分散的知识点。

  四、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含动态几何软件制作的多组折叠动画）、实物矩形纸片若干、几何画板软件、学案（含前置知识回顾、系列探究问题、巩固练习）。

  2.学生准备：复习轴对称、四边形、相似三角形、二次函数、最值公理等相关知识；直尺、圆规、量角器等作图工具；预习学案前置部分。

  3.环境准备：便于小组讨论的座位安排；多媒体投影设备。

  五、教学过程设计(总时长：约150分钟，可分2-3课时完成)

  （一）第一环节：情境导入，唤醒旧知(预计用时：15分钟)

  教师活动：不直接出示复杂问题，而是从本源出发。首先，利用动态几何软件，展示一个经典的“将军饮马”问题动画：直线l同侧有A、B两定点，在l上找一点P，使AP+BP最小。提问学生原理和作法。待学生回答后，将动画进行演变：将直线l“折叠”起来，使点B“镜像”到另一侧成为B‘，原问题转化为求AP+PB’的最小值，直观演示P点位于A、B‘与l交点时取最小值。由此引出：折叠，是实现“化同侧为异侧”，进而“化折为直”的关键操作。

  接着，出示一张矩形纸片，进行实物操作：在矩形ABCD中，AD边上有一个定点E。将矩形沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的某点A’处。提问：在这个简单的折叠中，有哪些等量关系？线段EA和EA‘有什么关系？点A’的运动受到什么限制？引导学生说出：EA=EA‘，点A’在以E为圆心，EA长为半径的圆弧上（在BC边上的一段弧）。此操作旨在唤醒两个核心认知：折叠即轴对称（对应线段相等）；对称点连线被折痕垂直平分；对称点的轨迹受限于原图形边界。

  学生活动：观察动画，快速回忆并回答“将军饮马”模型。观察实物折叠操作，思考并回答教师提问，相互补充，明确折叠的基本性质。在学案上完成对简单折叠图形的标注。

  设计意图：从学生最熟悉的模型切入，建立心理安全感和熟悉感。通过动画演变，直观揭示折叠与轴对称变换、最值问题的内在联系。实物操作将抽象的轴对称具体化，为后续分析更复杂的动态折叠打下坚实的认知基础。本环节旨在激活学生的相关图式和知识储备。

  （二）第二环节：问题驱动，直观感知(预计用时：25分钟)

  教师活动：提出本专题的核心探究问题链的起点（基础模型）。

  【探究问题一】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点E为AD边上的一个动点。现将矩形沿直线BE折叠，使点A落在点A‘处。

  （1）当点E在AD边上移动时，点A’的运动路径是什么？请在学案图纸上尝试画出几个不同位置的点A‘，并观察猜想。

  （2）连接CA‘，求线段CA’的最小值。

  首先给予学生时间独立思考并动手画图（至少三个不同位置的A‘点）。然后，教师利用几何画板动态演示点E在AD上运动时，点A’随之运动的完整轨迹。引导学生观察：点A‘的轨迹并不是整个圆，而是圆上被矩形边界（主要是BC边）所截得的一段弧。明确轨迹：点A’在以点B为圆心，BA长为半径（定长6）的圆上运动，其有效范围是落在BC边及矩形内部的部分。

  接着，引导学生分析问题（2）：求CA‘的最小值。提问：“CA’什么时候最短？”引导学生将问题转化为“圆外一点C到圆B上动点A‘的距离最小值”。学生应能联想到：当C、A‘、B三点共线，且A’位于线段CB上时，CA‘取最小值，即CB-BA’=CB-BA。计算可得CB=10（勾股定理），BA=6，故最小值为4。

  学生活动：在学案图纸上动手操作，画出不同位置的A‘点，初步感知其运动范围。观察几何画板动态演示，验证自己的猜想，并准确描述点A’的轨迹。对于问题（2），尝试应用“圆外一点到圆上点的距离最值”模型进行求解，并完成计算。

  设计意图：从静态折叠过渡到最简单的动态折叠（一个动点E引起一个对称点A‘运动）。通过“手绘猜想+软件验证”的方式，让学生直观感受动点轨迹的形成过程，初步建立“轨迹意识”。问题（2）的设计，旨在将看似新颖的折叠最值问题，转化为学生已熟悉的几何模型（圆的最值模型），让学生体验“转化”的成功感，为后续更复杂的转化做铺垫。

  （三）第三环节：深度探究，模型初建(预计用时：40分钟)

  教师活动：在问题一的基础上增加复杂度，引出核心探究。

  【探究问题二】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点E为AD边上的一个动点。现将矩形沿直线BE折叠，使点A落在点A‘处。过点A’作A‘F⊥BC，垂足为F，连接EF。

  （1）观察图形，你能发现哪些基本的几何关系？（如全等、相似三角形）

  （2）设DE=x，试用含x的代数式表示线段A’F和BF的长度。

  （3）设四边形A‘BEF的面积为S，求S关于x的函数表达式。

  （4）求四边形A’BEF面积S的最大值，及此时x的值。

  引导学生分组讨论。对于（1），学生应能发现：Rt△A‘EF≌Rt△DEF？需要仔细分析。实际上，由折叠知∠BA’E=∠A=90°，A‘B=AB=6，但△A’EF与△DEF不一定全等。关键在于发现A‘、F、C等点的位置关系。教师可引导学生关注△A’BF与△BCA‘是否相似？通过角的关系推导（∠A’BF=∠BCA‘等），得出△A’BF∽△BCA‘。这是建立函数关系的关键。

  对于（2），在（1）的基础上，利用相似三角形对应边成比例。在Rt△A‘BC中，A’B=6，BC=8，由勾股定理得A‘C=√(8²-6²)=√28=2√7。由△A’BF∽△BCA‘，得A’F/A‘B=BF/A’C=A‘B/BC。从而可依次表示出A’F和BF。

  对于（3），四边形A‘BEF的面积S可以视为Rt△A’BF与Rt△A‘EF面积之和，或者梯形A’BED面积减去△DEF面积？选择更简洁的路径。引导学生发现，由于折叠，S△ABE=S△A‘BE。而四边形A’BEF面积S=S△A‘BE+S△A’EF。S△A‘BE易求（底BE，高AB？需用x表示BE），S△A’EF需用x表示A‘F和EF。此路计算较繁。另一种思路：S=S梯形A’BED-S△DEF。梯形A’BED的上底A‘B=6，下底DE=x，高？需要作高，计算也复杂。教师引导学生比较后，可能发现利用（2）中表示出的A’F和BF，以及DE=x，再表示出EF（在Rt△A‘EF或Rt△DEF中用勾股定理），计算四边形面积仍显繁琐。此时，教师可以指出，在复杂动态问题中，建立函数关系有时会遇到计算困境，这正是考验我们选择变量和化简能力的时候。可以预先设定一种相对可行的推导路径，带领学生逐步演算，体验过程。

  对于（4），在得到S关于x的二次函数表达式后，分析自变量x的取值范围（0<x<8），利用二次函数顶点公式或配方法求最值。

  学生活动：小组合作，积极讨论图形中的基本关系。尝试证明发现的相似三角形。在教师引导下，共同完成用x表示相关线段长度的推导。挑战建立面积S的函数表达式，经历可能的试错和优化选择过程。最终合力完成最值的求解。

  设计意图：本环节是教学的核心深化部分。问题二在问题一的基础上，增加了面积最值，并引入了用变量表示几何量、建立函数模型的要求。它综合了折叠性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、线段代数表示、二次函数最值等多个核心知识点。通过小组探究，让学生暴露思维过程，在讨论中明晰思路，在教师点拨下突破难点（相似三角形的发现与利用、函数表达式的建立）。此过程旨在培养学生分析复杂综合题的能力和数学建模的初步能力。

  （四）第四环节：变式拓展，融会贯通(预计用时：50分钟)

  教师活动：提出更具挑战性和代表性的变式问题，引导学生从不同角度审视折叠与最值。

  【探究问题三】（双动点折叠）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6。点P、Q分别在AB、AD边上运动（不含端点）。现将矩形沿直线PQ折叠，使点A落在矩形内部的点A‘处。

  （1）当P、Q运动时，点A’的运动范围是哪个区域？请尝试描述。

  （2）连接CA‘，求CA’的最小值。

  首先引导学生思考：与问题一相比，折痕从过定点B的线变成了两个端点都在动的线段PQ，对称中心（折痕）完全动态化。点A‘到P和Q的距离始终等于AP和AQ吗？不，是A’P=AP，A‘Q=AQ。因此，点A’到P和Q的距离是随P、Q位置变化的。但AP和AQ本身也在变化。这导致点A‘的轨迹分析更为复杂。教师利用几何画板，同时拖动点P和点Q，展示点A’形成的区域（一个由圆弧包络形成的近似“水滴形”或区域）。引导学生定性理解：由于A‘P=AP≤AB，A’Q=AQ≤AD，所以点A‘被限制在以AB、AD为半径的一系列圆弧的交织区域内。但精确描述此区域对初中生过难，重在感知。

  对于（2），求CA‘的最小值。由于轨迹复杂，直接思考困难。教师启发：是否存在某个特殊位置，使得CA’最小？能否将CA‘的长度与某个更容易处理的量联系起来？引导学生思考转化策略。注意到A’是A关于直线PQ的对称点，则PQ是AA‘的垂直平分线。连接AA’，则CA‘≥|CA-AA’|？这个不等式不一定成立。需要更巧妙的转化。可以将问题转化为：在矩形内部找一点A‘，使得它到C的距离最小，同时A’要满足是A关于某条折痕PQ的对称点这个条件。这意味着A‘必须在所有可能的“对称点区域”内。因此，问题等价于求定点C到“对称点区域”的最小距离。由几何画板动态演示可知，当A’位于矩形中心附近时，CA‘可能较小。但如何确定精确位置？

  一个高级的转化思路是“反客为主”：考虑CA的长度是定值√(AB²+BC²)=√(4²+6²)=√52。而CA‘、CA、AA’之间在三角形CAA‘中满足三角不等式：CA’≥|CA-AA‘|。但AA’的长度也在变化。能否找到AA‘的最小值？由折叠性质，AA’⊥PQ，且PQ过线段AA‘的中点。点A’的位置受P、Q限制。一个关键发现是：当点P与B重合，点Q与D重合时，折痕为BD，此时A‘与C关于BD对称吗？不是。需要仔细计算。

  教师引导采用“轨迹定位法”：考虑CA‘最小时，A’的位置可能满足什么特征？或许可以固定CA‘的长度，考虑A’的轨迹是以C为心的圆，这个圆与对称点区域首次相切时的半径就是最小值。但这需要精确区域方程。

  考虑到初中生的认知水平，此题可作为思维拓展，重点在于经历分析复杂动态问题的思维挣扎和策略探寻，而不一定要求出精确答案。教师可以给出一种通过几何构造寻找近似解的方法，或者公布一种基于高中解析几何知识的解法思路作为视野拓展。

  【探究问题四】（折叠产生线段和的最值）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF（点E在AD上，点F在BC上）。点P为折痕EF上的一个动点，连接BP、DP。求BP+DP的最小值。

  此题中，折叠是静态的（使D与B重合，折痕EF固定），但动点P在折痕EF上。问题转化为：在直线EF上找一点P，使BP+DP最小。这立即让学生联想到“将军饮马”，但B和D在EF的同侧还是异侧？由于EF是BD的垂直平分线，所以B和D关于EF对称。因此，BP+DP=BP+B‘P，其中B’就是D。但B和D关于EF对称，所以对于EF上任一点P，都有PD=PB。所以BP+DP=2BP。问题进一步转化为：在EF上找一点P，使BP最小。根据“垂线段最短”，当BP⊥EF时，BP最小。此时，BP+DP也最小。计算即可。

  学生活动：对于问题三，观察动态演示，感受双动点带来的复杂性，积极思考教师提出的启发式问题，尝试提出自己的猜想，即使无法完全解决，也体验高层面的分析过程。对于问题四，快速识别出静态折叠背景下的“将军饮马”模型本质，并进一步简化为垂线段最短问题，体验转化思想的层层递进与巧妙之处。

  设计意图：问题三将动态性推向高潮（双动点），挑战学生的思维极限，让他们意识到不是所有动态最值问题都能轻松转化为简单模型，有时需要更高级的数学工具或更深刻的洞察。这有助于打破思维定势，保持探索的敬畏心和求知欲。问题四则回归相对清晰的结构，但设置了“动点在折痕上”的情境，考查学生能否剥离复杂背景（折叠）识别出核心模型（同侧线段和最小转化为异侧，再转化为垂线段最短）。两个问题形成对比和互补，旨在培养学生灵活应变、直击问题本质的能力。

  （五）第五环节：归纳总结，应用迁移(预计用时：20分钟)

  教师活动：引导学生回顾整个探究过程，共同梳理解决“几何折叠中动态最值问题”的一般策略与思维流程图。

  策略归纳：

  1.定性质：紧扣折叠即轴对称，明确对应点、对应线段、对应角的关系，特别是等量关系和垂直平分关系。

  2.寻轨迹：分析在动态折叠过程中，关键点（如对称点、折痕端点、交点）的运动轨迹。常见轨迹：以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）；受限于边界（线段、直线）的直线型运动。这是难点，也是突破口。

  3.巧转化：利用对称性，将折线路径（如两线段和）转化为直线路径（运用“两点之间线段最短”）；或将分散的条件集中。将几何最值问题转化为：①定点到定直线（垂线段最短）；②定点到定圆（圆外一点到圆上点的距离最值）；③三角形三边关系；④函数最值等经典模型。

  4.建模型：当直接转化困难时，引入变量（如动点坐标、线段长度、角度），用代数式表示相关几何量，建立所求量关于变量的函数模型（通常是二次函数），利用函数性质求最值。

  5.验边界：注意动点的运动范围（自变量取值范围），最值可能在边界处取得。

  思维流程图：识别折叠→标注对称等量→分析动点与轨迹→判断最值类型（路径和、点到点、点到线、面积等）→选择转化策略（几何模型转化或代数建模）→求解并验证。

  应用迁移：出示1-2道精选的中考真题或模拟题（如涉及矩形、三角形折叠，求线段和最小值、线段长最大值、面积最值等），让学生尝试独立应用刚才总结的策略进行分析和解答。教师巡视，个别指导。

  学生活动：积极参与总结，用自己的