2026年中国精算师职业资格考试(准精算师精算数学)综合试题及答案

2026年中国精算师职业资格考试(准精算师精算数学)综合试题及答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E[A.λ  B.  C.λ+  D.+λ  E.答案：B1.2已知生存函数(t)=exp−A.0.030  B.0.035  C.0.040  D.0.045  E.0.050答案：C1.3在完全离散型终身寿险模型中，若=0.03，=0.25，则年缴纯保费A.P=0.03  B.P=0.04  C.P答案：A1.4设N为一年内某保单组合的理赔次数，N∼PoisA.81.9  B.82.9  C.83.9  D.84.9  E.85.9答案：B1.5在经典风险模型中，若初始盈余u=5，保费率c=1.2λE[A.1+1.2R=  B.1+R答案：A1.6对于两状态马尔可夫链，状态空间0,Q=(则长期稳态概率为A.4/7  B.3/7  C.1/2  D.2/5  E.3/5答案：A1.7在Black-Scholes框架下，股票现价=100，无风险利率r=3A.7.94  B.8.94  C.9.94  D.10.94  E.11.94答案：B1.8设,…,为来自U(A.X¯  B.max  C.mi答案：B1.9若利率期限结构满足瞬时远期利率f(0,A.2.25%  B.2.50%  C.2.75%  D.3.00%  E.3.25%答案：A1.10在Cox-Ingersoll-Ross模型中，瞬时利率动态d则零息债券价格P(A.exp−A(T−t)−答案：A2.多项选择题（每题3分，共15分，每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）2.1关于经典破产理论，以下正确的有A.调节系数R满足Lundberg方程B.破产概率ψC.Cramér-Lundberg近似给出ψD.保费率c必须大于λE[E.当理赔额服从指数分布时，ψ(答案：ABCDE2.2以下属于非寿险定价中GLM常用链接函数的有A.logit  B.probit  C.log  D.identity  E.complementarylog-log答案：ACDE2.3对于随机利率下的寿险准备金评估，以下方法可行的有A.使用MonteCarlo模拟贴现现金流B.采用replicatingportfolio对冲利率风险C.应用spotrate曲线确定性贴现D.使用风险中性测度下expectedpresentvalueE.采用滚动当前收益率曲线贴现答案：ABD2.4在多元线性回归中，若设计矩阵X存在完全多重共线，则A.pXB.OLS估计量不存在唯一解C.岭回归可获得唯一解D.主成分回归可降维处理E.增加样本量可消除共线答案：ABCD2.5关于贝叶斯保费，下列正确的有A.后验均值可作为信度保费B.先验分布与似然函数共轭时可得解析后验C.贝叶斯信度与Bühlmann信度在指数族下等价D.后验预测分布可用于计算未到期责任准备金E.马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)可用于计算复杂后验答案：ABCDE3.填空题（每空3分，共15分）3.1若X∼Gamm答案：digamma3.2在寿险产品中，若使用1年定期修正法计算责任准备金，则第1年末的净保费准备金为______。答案：03.3设N为一年内理赔次数，N∼Ne答案：3.4在CIR模型中，零息债券波动率与成______关系。答案：正比3.5若某股票对数收益率服从正态分布N(答案：8%4.简答题（每题10分，共20分）4.1简述Bühlmann-Straub信度模型的基本假设，并给出信度因子的表达式。答案：假设每份保单的风险参数Θ为随机变量，给定Θ时，观测值条件独立且满足E其中为已知权重。结构参数：μ=E[μ(Θ信度因子Z4.2解释风险中性定价原理，并说明其在寿险期权嵌入产品评估中的应用。答案：风险中性定价指在等价鞅测度下，任何可交易资产的贴现价格过程为鞅，因而衍生品价格等于其payoff在该测度下的期望贴现值。寿险中，如万能寿险的退保期权、利率保证期权，可通过构建风险中性利率模型（如Hull-White），模拟未来账户价值路径，计算保证利益的期望现值，再扣除保单持有人最优行权策略带来的成本，得到嵌入式期权价值。5.计算题（共30分）5.1（8分）某保险公司出售1000份一年期定期寿险，每份保额10万元，被保险人独立，年龄35岁，死亡概率=0.001解：设理赔人数N∼Bin(1000,0.001)设保费总额为P，则P每份净保费357600/答案：357.6元5.2（10分）在完全连续型终身寿险中，假设力死亡率=0.0005×，利息力δ=解：=计算得=答案：0.009935.3（12分）某非车险保单组合过去三年数据如下：年份  已赚风险单位  已报告赔款  终极发展因子1   10000    6000000   1.052   12000    7500000   1.153   15000    5000000   1.30采用链梯法估计终极赔款，并计算三年累计已发生但未完全报告准备金(IBNR)。解：逐年终极赔款年份1：6000000×1.05=6300000年份2：7500000×1.15=8625000年份3：5000000×1.30=6500000已报告合计=6+7.5+5=18.5百万终极合计=6.3+8.625+6.5=21.425百万IBNR=21.425−18.5=2.925百万答案：292.5万元6.综合应用题（共40分）6.1（20分）某寿险公司推出一款20年期分红两全保险，保额10万元，被保险人40岁，年缴保费期初付，死亡给付年末付，生存期满给付保额加红利。假设：—死亡率采用CL93-97终极表；—年利率3.5%；—红利分配率为可分配盈余的90%，可分配盈余=（实际投资收益率−定价利率）×期初准备金；—费用：初年度30%保费，续年度5%保费；—利润目标：内部收益率不低于10%。要求：(1)写出年缴毛保费方程（符号形式即可）；(2)若实际投资收益率恒为4.5%，计算第10年末的期望红利；(3)评估该产品的内部收益率是否达到10%。解：(1)设毛保费G，则G(2)第10年初准备金按定价利率3.5%计算得58426元。可分配盈余=(4.5%−3.5%)×58426=584.26元红利=0.9×584.26=525.83元(3)构建现金流：保费收入扣除费用，死亡给付、生存给付、红利支出，计算IRR=10.12%>10%，达标。答案：(1)见方程；(2)525.83元；(3)达标6.2（20分）某财产险公司使用广义线性模型(GLM)对车险索赔频率进行建模，采用泊松回归，链接函数为log，解释变量包括：—年龄组：18-25,26-35,36-50,51-70（基准36-50）；—性别：M,F（基准F）；—地区：A,B,C（基准A）；—车龄：0-2,3-5,6-10,>10年（基准0-2）。给定R输出部分系数：(Intercept)  −2.104age26-35    −0.182age51-70    −0.310sexM      +0.225regionB     +0.088regionC     +0.150vehicleAge3-5  +0.060vehicleAge6-10  +0.120vehicleAge>10  +0.200问题：(1)计算一名30岁男性、地区C、车龄7年的预期索赔频率相对基准组的比率；(2)若基准组年均行驶120