江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合{x∈N|x≤3}还可以表示为（）A．{0，1，2，3} B．{2，1，3} C．{1，2，3，4} D．{x|0≤x≤3}2．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}3．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x+1＞0”的否定为（）A．∀x＞0，x2﹣x+1≤0 B．∀x≤0，x2﹣x+1≤0 C．∃x＞0，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤0，x2﹣x+1≤04．（5分）已知p：﹣2＜x＜2，q：0＜x＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分又不必要条件5．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）A．a2＞b2 B．b﹣c＜a﹣c C．ac＞bc D．6．（5分）设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，求实数a组成的集合的子集个数有（）A．2 B．3 C．4 D．87．（5分）关于x的不等式mx2+2mx+1＜0的解集为空集，则m的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1] D．[0，1）8．（5分）函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3，那么不等式4[x]2﹣16[x]+7≤0成立的充分不必要条件是（）A． B．[1，3] C．[1，4） D．[1，4]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共40分．（多选）9．（5分）下列关系式错误的是（）A．∅∈{0} B．{2}⊆{1，2} C． D．0∈Z（多选）10．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，则下列说法正确的是（）A．a＞0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜6} C．a+b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是或（多选）11．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．“x＜2”是“”的充要条件 B．“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件 C．“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件 D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件（多选）12．（5分）下列四个命题中正确的是（）A．方程的解集为{2，﹣2} B．由所确定的实数集合为{﹣2，0，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，5}，则如图中的阴影部分表示的集合为.​14．（5分）已知a∈R，b∈R，若集合，则a2023+b2023的值为．15．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知A＝1+a2，B＝1﹣a，，为四个互不相等的实数．若A、B、C、D中C最大，则实数a的取值范围；此时A、B、C、D中最小的数为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＝0}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}．（1）当a＝3时，求A∪B，A∩B；（2）当a∈R时，求A∪B，A∩B．18．（12分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m＜x＜m+1}，U＝R．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）若C⊆B，求m的取值范围．19．（12分）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣bx+2＝0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值集合；（2）若A∩C＝C，求b的取值集合．21．（12分）设全集是实数集R，，B＝{x|ax﹣1≥0}；（1）当时，求（∁UB）⋂A；（2）若∀x∈A，x∉B；求实数a的取值范围．22．（12分）设f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2．（1）若不等式f（x）≥﹣2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a﹣1（a∈R）．

2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合{x∈N|x≤3}还可以表示为（）A．{0，1，2，3} B．{2，1，3} C．{1，2，3，4} D．{x|0≤x≤3}【考点】集合的表示法．【答案】A【分析】根据题意，分析可得集合{x∈N|x≤3}的元素为小于等于3的全部正整数，列举法表示该集合即可得答案．【解答】解：集合{x∈N|x≤3}的元素为小于3的全部非负整数，则{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}；故选：A．2．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【答案】D【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：D．3．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x+1＞0”的否定为（）A．∀x＞0，x2﹣x+1≤0 B．∀x≤0，x2﹣x+1≤0 C．∃x＞0，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤0，x2﹣x+1≤0【考点】全称命题的否定．【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项．【解答】解：∀x＞0，x2﹣x+1＞0”的否定为∃x＞0，x2﹣x+1≤0．故选：C．4．（5分）已知p：﹣2＜x＜2，q：0＜x＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答】解：﹣2＜x＜2不能推出0＜x＜1，即p不能推出q，充分性不成立，0＜x＜1能推出﹣2＜x＜2，即p能推出q，必要性成立，故p是q的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）A．a2＞b2 B．b﹣c＜a﹣c C．ac＞bc D．【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】B【分析】由特值法即可判断ACD，由不等式的基本性质即可判断B．【解答】解：对于A，取a＝1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故A错误；对于B，由a＞b，可得a﹣c＞b﹣c，故B正确；对于C，当c＝0时，ac＝bc，故C错误；对于D，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但＞，故D错误．故选：B．6．（5分）设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，求实数a组成的集合的子集个数有（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】交集及其运算．【答案】D【分析】可以求出A＝{3，5}，根据A∩B＝B即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，a＝0；B≠∅时，，解出a，从而得出实数a组成集合的元素个数，进而可求出实数a组成集合的子集个数．【解答】解：A＝{3，5}，B＝{x|ax＝1}∵A∩B＝B∴B⊆A，∴①B＝∅时，a＝0；②B≠∅时，或，∴，或，∴实数a组成的集合的元素有3个，∴实数a组成的集合的子集个数有23＝8个．故选：D．7．（5分）关于x的不等式mx2+2mx+1＜0的解集为空集，则m的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1] D．[0，1）【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】C【分析】对m进行分类讨论，结合判别式求得m的取值范围．【解答】解：当m＝0时，不等式化为1＜0，解集为空集，符合题意．当m＜0时，不等式mx2+2mx+1＜0的解集不是空集，不符合题意．当m＞0时，要使不等式mx2+2mx+1＜0的解集为空集，则需，解得0＜m≤1．综上所述，m的取值范围是[0，1]．故选：C．8．（5分）函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3，那么不等式4[x]2﹣16[x]+7≤0成立的充分不必要条件是（）A． B．[1，3] C．[1，4） D．[1，4]【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】由不等式4[x]2﹣16[x]+7≤0，解得，再由充分条件和必要条件的定义求解．【解答】解：不等式4[x]2﹣16[x]+7≤0，即为（2[x]﹣1）（2[x]﹣7）≤0，解得，那么不等式4[x]2﹣16[x]+7≤0成立的充分不必要条件是[1，3]．故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共40分．（多选）9．（5分）下列关系式错误的是（）A．∅∈{0} B．{2}⊆{1，2} C． D．0∈Z【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【答案】AC【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系直接求解．【解答】解：在A中，∅⊆{0}，故A错误．在B中，{2}⊆{1，2}，故B正确；在C中，∉Q，故C错误；在D中，0∈Z，故D正确．故选：AC．（多选）10．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，则下列说法正确的是（）A．a＞0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜6} C．a+b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是或【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】ACD【分析】由不等式ax2+bx+c＞0与方程ax2+bx+c＝0之间的关系及题设条件得到a，b，c之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项．【解答】解：由题意不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，则可知a＞0，即A正确；易知﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，由韦达定理可得，则b＝﹣a，c＝﹣6a，所以不等式bx+c＞0即为﹣ax﹣6a＞0，解得x＜﹣6，所以B错误；易知a+b+c＝﹣6a＜0，所以C正确；不等式cx2﹣bx+a＜0即为﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＞0，解得或，所以D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．“x＜2”是“”的充要条件 B．“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件 C．“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件 D．“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】CD【分析】根据题意，由充分条件，必要条件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果．【解答】解：由x＜2，不能得到，如x＝﹣1，则，故充分性不满足；由可得，故必要性不满足；即“x＜2”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；若a∈P∩Q，则可得a∈P，故充分性满足；反之，若a∈P，不一定能得到a∈P∩Q，故必要性不满足；即“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件，故B错误；若x2﹣4x+3≠0，则x≠1且x≠3，故必要性满足；若x≠1，则不一定有x2﹣4x+3≠0，故充分性不满足；即“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件，故C正确；若a＞2，b＞2，则可得ab＞4，故充分性满足；反之，由ab＞4得不到a＞2，b＞2，如a＝﹣1，b＝﹣5，故必要性不满足；即“a＞2，b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件，故D正确．故选：CD．（多选）12．（5分）下列四个命题中正确的是（）A．方程的解集为{2，﹣2} B．由所确定的实数集合为{﹣2，0，2} C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素【考点】命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断；集合的表示法．【答案】BC【分析】根据已知跳进，结合各个选项中集合表示的意义，依次判断，即可求解．【解答】解：对于A，方程的解集为{（2，﹣2）}，故A错误；对于B，当a＞0，b＞0时，＝，当a＞0，b＜0时，＝，当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0，当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2，故所确定的实数集合为{﹣2，0，2}，故B正确；对于C，3x+2y＝16，x∈N，y∈N，则或或，故集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）}，故C正确；对于D，A＝＝{﹣3，0，1，2}中含有4个元素，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，5}，则如图中的阴影部分表示的集合为{1，3}.​【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】{1，3}．【分析】根据已知条件，结合交集、补集的运算，即可求解．【解答】解：A＝{1，3，5}，B＝{2，5}，则A∩B＝{5}，阴影部分表示的集合为∁A（A∩B）＝{1，3}．故答案为：{1，3}．14．（5分）已知a∈R，b∈R，若集合，则a2023+b2023的值为﹣1．【考点】集合的相等．【答案】﹣1．【分析】由题意可知，求出a，b的值，进而求出结果．【解答】解：∵集合，且a≠0，∴，解得，或，当a＝1时，不满足集合元素的互异性，故a＝﹣1，b＝0，∴a2023+b2023＝（﹣1）2023+02023＝﹣1+0＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．【考点】存在量词和特称命题．【答案】[﹣1，1]．【分析】由原命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立有Δ≤0，即可求参数范围．【解答】解：由题设∀x∈R，x2+2ax+1≥0为真命题，所以Δ＝4a2﹣4≤0，即﹣1≤a≤1．故答案为：[﹣1，1]．16．（5分）已知A＝1+a2，B＝1﹣a，，为四个互不相等的实数．若A、B、C、D中C最大，则实数a的取值范围（﹣1，0）；此时A、B、C、D中最小的数为D．【考点】不等关系与不等式．【答案】（﹣1，0）；D．【分析】由C最大，利用作差法可求出实数a的取值范围，再分析四个数的大小关系，得出最小数为D．【解答】解：由题意得，由C﹣A＝﹣（1+a2）＝，可得﹣1＜a＜0，由C﹣B＝﹣（1﹣a）＝＞0，可得a＞﹣1，由C﹣D＝＝，可得a＞1或﹣1＜a＜0，综上所述，实数a的取值范围是（﹣1，0）；当﹣1＜a＜0时，C最大，D＜1，A＞1，B＞1，经检验A≠B，故四个数互不相等，A、B、C、D中最小的数为D；故实数a的取值范围为（﹣1，0），A、B、C、D中最小的数为D．故答案为：（﹣1，0）；D．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＝0}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}．（1）当a＝3时，求A∪B，A∩B；（2）当a∈R时，求A∪B，A∩B．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【答案】（1）A⋃B＝{1，2，3}，A∩B＝{2}（2）答案见解析．【分析】（1）解方程可求得集合A，B，由并集和交集定义可得结果；（2）分别在a＝2、a＝1和a≠1且a≠2的情况下解得集合B，根据并集和交集定义可得结果．【解答】解：（1）A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＝0}＝{1，2}；当a＝3时，B＝{x|（x﹣2）（x﹣3）＝0}＝{2，3}；∴A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{2}．（2）当a＝2时，B＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}＝{2}，∴A⋃B＝{1，2}，A∩B＝{2}；当a＝1时，B＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}＝{1，2}，∴A⋃B＝{1，2}，A⋂B＝{1，2}；当a≠1且a≠2时，B＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}＝{2，a}，∴A⋃B＝{1，2，a}，A∩B＝{2}．18．（12分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m＜x＜m+1}，U＝R．（1）求A∪B，（∁UA）∩B；（2）若C⊆B，求m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）A∪B＝{x|1＜x≤6}，（∁UA）∩B＝{x|1＜x＜2}；（2）[1，4]．【分析】（1）由补集、补集、交集的定义求解即可；（2）利用集合子集的定理列式求解即可．【解答】解：（1）因为集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，所以∁UA＝{x|x＜2或x＞6}，故A∪B＝{x|1＜x≤6}，（∁UA）∩B＝{x|1＜x＜2}；（2）因为C＝{x|m＜x＜m+1}，且C⊆B，则，解得1≤m≤4，所以m的取值范围为[1，4]．19．（12分）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．【答案】（1）[1，4]；（2）[3，4]．【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；（2）由p是q的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案．【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，解得1≤x≤4，∴x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知：p：1≤x≤4，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0即a﹣2≤x≤a，因为p是q的必要不充分条件，所以，解得：3≤a≤4，综上所述，a的取值范围是[3，4]．20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣bx+2＝0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值集合；（2）若A∩C＝C，求b的取值集合．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【答案】（1）{2，3}；（2）．【分析】（1）解方程化简集合A，B，再由给定的并集结果，结合包含关系求解即得．（2）由给定的交集结果，结合包含关系分类求解即得．【解答】解：（1）依题意，解方程x2﹣3x+2＝0，得x＝1或x＝2，于是A＝{1，2}，解方程x2﹣ax+（a﹣1）＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，解得x＝1或x＝a﹣1，由A∪B＝A，得B⊆A，当a﹣1＝1，即a＝2时，集合B＝{1}，此时满足题意，则a＝2，当a﹣1＝2，即a＝3时，B＝{1，2}，此时满足题意，则a＝3，所以a的取值集合为{2，3}．（2）由（1）知，A＝{1，2}，由A∩C＝C，得C⊆A，当C＝∅时，满足C⊆A，此时方程x2﹣bx+2＝0无解，即Δ＝b2﹣8＜0，解得；集合C中只含有集合A中的一个元素，即C＝{1}或C＝{2}，此时方程x2﹣bx+2＝0有重根1或2，即x2﹣bx+2＝（x﹣1）2或x2﹣bx+2＝（x﹣2）2恒成立，显然两个等式都不恒成立，即此时无解；集合C中含有集合A中的两个元素，即C＝{1，2}，方程x2﹣bx+2＝0有两个不同的实数根