八年级数学上册《角的平分线的判定》教学设计（第二课时）

八年级数学上册《角的平分线的判定》教学设计（第二课时）

  一、教学背景深度分析

  （一）教材内容解析与地位审视

  本节课教学内容源于人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十二章“全等三角形”的第三节“角的平分线的性质”。第一课时学生已经通过尺规作图探索并证明了“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”这一重要性质，并初步体验了用全等三角形证明几何命题的基本范式。本课时将探究其逆命题“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是否成立，即“角的平分线的判定”。这一内容不仅是角平分线性质定理的逻辑补充与完善，更是学生首次在初中几何体系中系统学习一个重要几何图形的判定方法，具有里程碑式的意义。

  从知识结构上看，它深化了学生对“性质”与“判定”这对互逆逻辑关系的理解，为后续学习线段垂直平分线的判定、特殊四边形（如菱形、矩形）的判定、乃至高中阶段更复杂的轨迹与集合论思想奠定了坚实的逻辑基础。从思想方法上看，本节课是“猜想—验证—证明—应用”这一科学探究过程在几何领域的完美体现，是培养学生逆向思维、演绎推理能力和严谨符号化表达能力的绝佳载体。判定定理的证明过程，涉及辅助线的添加策略（构造全等三角形），是突破几何证明难点的关键一课。因此，本课时的教学成败，直接关系到学生几何逻辑体系的初步构建与几何思维品质的跃升。

  （二）学情诊断与认知起点研判

  教学对象为八年级上学期学生。经过近一个半学期的学习，学生已经具备以下认知基础：

  1.知识基础：熟练掌握了全等三角形的四种基本判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS）；理解了命题、定理、逆命题等基本逻辑概念；掌握了角平分线的尺规作图及性质定理；具备初步的几何语言转译能力（文字、图形、符号语言互译）。

  2.能力与经验：经历了从合情推理到演绎推理的过渡，具备一定的观察、操作、猜想和简单说理的能力。对“通过构造全等三角形证明线段或角相等”有初步体验。

  3.潜在困难与思维障碍：尽管有了性质定理的学习经验，但八年级学生抽象逻辑思维仍处于经验型向理论型转化的关键期。主要困难预计将体现在：第一，逆向思维的转换不畅。从“由‘点在平分线上’推出‘距离相等’”（性质）到“由‘距离相等’推出‘点在平分线上’”（判定），思维路径的逆转需要明确的引导。第二，辅助线的自然生成困难。如何从“距离相等”这一条件，联想到“构造以这两条垂线段为直角边的两个直角三角形”，并进一步想到连接已知点与顶点以形成公共斜边，这一思维链条具有较高的跳跃性。第三，对“点到直线的距离”这一概念在复杂图形中的准确识别与提取能力不足，可能导致条件误用。

  4.心理与兴趣特征：学生好奇心强，乐于参与动手操作和探究活动，但注意力持久性有限，对枯燥的纯理论推导易产生倦怠。因此，教学设计需创设富有挑战性和现实意义的问题情境，将抽象的数学逻辑包裹在具象的活动与问题解决之中。

  二、学习目标与核心素养指向

  依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本学段“图形与几何”领域的要求，结合教材内容与学生实际，设定如下多维学习目标，旨在落实数学核心素养的培育：

  （一）知识与技能目标

  1.探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

  2.能够准确区分角平分线的性质定理与判定定理，理解二者的互逆关系及各自的应用条件与结论。

  3.能熟练运用角的平分线的判定定理解决简单的几何证明与计算问题，并能在较复杂的图形中识别和构造应用此定理的条件。

  （二）过程与方法目标

  1.经历“观察特例—提出猜想—逻辑证明—归纳定理”的完整探究过程，进一步发展合情推理与演绎推理能力。

  2.在判定定理的证明中，经历分析、探索添加辅助线构造全等三角形的思维过程，积累几何证明的基本活动经验，掌握“化未知为已知”的转化思想。

  3.通过对比性质与判定定理，学习从互逆角度认识图形特征的方法，体会数学知识间的内在联系。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在探究活动中体验数学发现的乐趣，获得成功的体验，增强学习几何的自信心。

  2.感悟数学定理的严谨性与对称美（性质与判定的互逆对称），培养理性求实的科学态度和独立思考、合作交流的学习习惯。

  3.通过将定理应用于实际问题（如选址、测量等），认识数学的实用价值，激发学习内驱力。

  （四）核心素养具体落点

  抽象能力：从具体图形位置关系中抽象出“距离相等”与“角平分线”的确定性关系。

  逻辑推理：贯穿探究全过程的猜想与证明，特别是演绎推理能力的强化训练。

  几何直观：借助图形理解定理，利用尺规作图验证猜想，通过画图分析问题。

  模型观念：建立“角平分线判定”的几何模型，并能在复杂情境中识别与应用。

  应用意识：在解决实际与数学内部问题中体会定理的价值。

  三、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点

  角的平分线的判定定理的证明及其初步应用。

  确立依据：定理的证明是知识生成的基石，是训练学生逻辑推理能力的关键环节；掌握定理的应用是学习的最终落脚点，是检验教学目标达成度的核心标准。

  （二）教学难点

  1.判定定理证明中辅助线的添加与思路形成。

  2.在具体问题中，灵活、准确地区分并选择使用角平分线的性质定理或判定定理。

  确立依据：辅助线的添加是学生几何证明的普遍难点，需要突破思维定势；性质与判定极易混淆，是初学互逆命题时的典型认知冲突点。

  （三）突破策略

  针对难点一，采用问题串引导与认知冲突化解相结合的策略。设计层层递进的问题，引导学生回顾性质定理的证明（利用了“已知平分线”的条件构造全等），再对比新命题的条件差异，启发思考：“现在没有‘平分线’，只有‘距离相等’，如何才能得到一对全等三角形呢？”“距离是垂线段，它们能成为什么三角形的边？”最终在教师适时点拨下，让学生“发现”连接已知点与顶点是沟通两个直角三角形的自然桥梁。利用几何画板的动态演示功能，展示当点满足“距离相等”时，其必然落在平分线上的轨迹，增强直观感知，为逻辑证明提供信心支持。

  针对难点二，实施双轨对比辨析与变式训练强化策略。通过绘制对比表格，从文字叙述、图形、符号语言、条件与结论、作用等多个维度并置两个定理，清晰呈现其互逆关系与本质区别。设计一系列“判断该用性质还是判定”的辨析题，以及“已知条件与求证结论互换”的变式题，让学生在正反例的辨析和角色的转换中，深化理解，形成稳固的认知结构。

  四、教学准备与环境创设

  （一）教师准备

  1.制作多媒体课件，内含：生活情境导入视频/图片、几何画板动态探究文件、定理证明的动画分解演示、对比辨析图表、阶梯式例题与练习题。

  2.设计并印制《课堂探究学案》，包含探究活动记录区、定理生成过程梳理区、例题解析区与分层练习区。

  3.准备三角板、圆规、量角器等教具。

  （二）学生准备

  1.复习角平分线的性质定理及其证明过程。

  2.准备好数学课本、练习本、作图工具（直尺、圆规、三角板）。

  3.预习教材相关内容，思考“性质定理的逆命题是什么？它可能成立吗？”

  （三）教学环境

  多媒体互动教室，支持学生平板电脑或反馈器进行即时互动。桌椅布局采用小组合作式，便于开展探究与讨论。

  五、教学实施过程详案（总计约85分钟）

  （一）创设情境，悬疑激趣（预计用时：8分钟）

  1.活动导入——再现现实冲突

  教师播放一段简短的微视频或展示一组图片：某古镇为保护一处珍贵的历史建筑（角楼），计划在其所在角的内部（角楼两侧的街道外）修建一个消防瞭望塔。设计要求是瞭望塔到两条保护性老街（视为角的两边）的距离必须相等，以便能均匀监控两条街道的消防情况。工程师已经通过测量确定了几个到两条街道距离相等的备选点（在图中标出P1，P2，P3…）。

  教师提出问题：“同学们，如果你是规划评审专家，仅凭‘到两条街道距离相等’这一条件，你能断定这些备选点P1，P2，P3…的位置有什么共同的几何特征吗？或者说，这些点是否都位于某个特定的、确定的几何图形上？”

  学生基于直觉和生活经验可能会说“在中间”、“在角平分线上”。教师追问：“你的感觉很有道理。但这只是我们的猜想。在严格的工程科学和数学中，感觉需要被证明。我们能否用学过的几何知识，逻辑严密地证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上？”

  2.温故引新——搭建认知脚手架

  教师引导学生回顾：“上节课我们学习了一个关于角平分线的什么重要结论？（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）这个结论我们称为什么？（性质定理）”

  请一位学生用文字语言、图形语言和符号语言复述性质定理。教师在黑板上规范板书。

  教师提出核心引导问题：“大家还记得命题的结构吗？我们把一个命题的条件和结论交换，就得到它的什么？（逆命题）那么，角平分线性质定理的逆命题应该如何表述？”

  学生尝试表述：“到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。”教师强调并修正表述的严谨性：“必须强调这个点是在‘角的内部’。请同学们将这一逆命题完整、准确地写在学案上。”

  设计意图：通过真实的工程选址问题，赋予数学学习以现实意义和应用价值，激发探究欲望。从“感觉”到“证明”的设问，直指数学的理性精神。温习性质定理并引出其逆命题，既巩固了旧知，又自然、精准地揭示了本节课的研究对象，明确了探究起点，完成了思维的转向（从性质到判定）。

  （二）合作探究，生成定理（预计用时：22分钟）

  1.动手操作，初步验证

  活动一：尺规作图验证猜想。

  学生在学案上任意画一个∠AOB。利用量角器或尺规作图，作出它的角平分线OC。在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。测量PD与PE的长度（或通过全等证明它们相等），直观感受性质定理。

  关键操作：在∠AOB内部，另取一个点Q，使得Q到OA，OB的距离相等（如何保证？引导学生：过Q作QM⊥OA，QN⊥OB，用刻度尺确保QM=QN，或利用全等三角形构造）。学生连接OQ，用量角器测量∠AOQ与∠BOQ的度数。

  提出问题：你发现了什么？点Q在OC上吗？改变点Q的位置（但仍保持到两边距离相等），结果如何？

  学生通过多组操作，发现只要满足“距离相等”，点Q总在角平分线OC上。这为猜想的成立提供了有力的合情推理支持。

  2.逻辑论证，攻坚克难

  活动二：证明猜想，形成定理。

  教师将猜想明确为待证命题：“通过实验，我们相信这个猜想很可能是正确的。现在，我们需要用严格的演绎推理来证明它。请同学们将文字命题转化为已知、求证。”

  学生口述，教师板书：

  已知：如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE。

  求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。

  思维攻坚：

  *教师引导：“我们的目标是证明∠AOP=∠BOP。目前我们有哪些工具？我们学过哪些证明角相等的方法？”（学生回忆：对顶角、等边对等角、全等三角形的对应角、平行线的性质、角平分线定义等）

  *聚焦关键：“现在图中没有明显的全等三角形。条件给了两个垂直（得到两个直角三角形）和一组边相等（PD=PE）。要证明角相等，最有可能的途径是什么？（证明两个三角形全等）哪两个三角形？它们已经具备了什么条件？”

  *引发冲突：学生容易看到Rt△PDO和Rt△PEO，它们有PD=PE，还有一条公共边PO。但它们是“斜边和一条直角边”对应相等。此时，教师追问：“HL定理适用于我们目前的情况吗？它的条件是什么？（两个直角三角形）我们图中是两个直角三角形吗？（是）它需要斜边和一条直角边对应相等。我们有公共斜边OP，有一条直角边PD=PE。所以，我们可以直接使用HL吗？”

  *澄清误区：部分学生可能会兴奋地认为可以直接用HL。教师需强调：“HL定理判定的是两个直角三角形的全等。我们目前有哪两个直角三角形？（Rt△PDO和Rt△PEO）它们全等吗？请仔细检查：在Rt△PDO中，斜边是OP，直角边是PD；在Rt△PEO中，斜边是OP，直角边是PE。条件确实是‘斜边（OP=OP）和一条直角边（PD=PE）’对应相等。因此，根据‘HL’，我们可以判定Rt△PDO≌Rt△PEO。”

  *得出结论：全等之后，得到什么？（∠POD=∠POE）根据角平分线的定义，这意味着什么？（OP是∠AOB的平分线）即点P在∠AOB的平分线上。

  书写规范：教师带领学生口述完整证明过程，然后要求学生独立、工整地将证明过程书写在学案上。教师巡视，指导格式规范。随后利用课件展示标准证明过程。

  3.归纳定理，多元表达

  教师总结：“经过严格的证明，这个猜想成为了一个真命题，我们把它称为‘角的平分线的判定定理’。”

  请学生用三种语言（文字、图形、符号）来表述这个新定理，并与性质定理的表述进行并列比较。教师完善板书。

  文字语言：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

  图形语言：（规范图形）

  符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP平分∠AOB(或点P在∠AOB的平分线上)。

  设计意图：探究环节是本课的核心。通过“操作验证”积累感性经验，降低抽象思维的难度。证明环节是突破难点的关键，采用启发式问答和“认知冲突—澄清”的策略，引导学生自己“发现”HL定理在此的适用性，从而自然生成辅助线（连接OP本质上是利用公共边），化解了辅助线添加的神秘感。强调证明的严谨书写，固化推理格式。最后通过多元表述，促进学生对定理的深度理解与记忆。

  （三）辨析内化，构建联系（预计用时：10分钟）

  活动三：性质VS判定——对比与辨析。

  教师提出问题：“现在我们手里有了两个关于角平分线的重要定理。它们就像一把‘双刃剑’。如何准确、迅速地判断在什么情况下该用‘性质’，什么情况下该用‘判定’呢？它们最根本的区别是什么？”

  引导学生以小组为单位，从“条件”、“结论”、“作用”三个维度进行对比讨论，并填写学案上的对比表格。

  性质定理：

  *条件：点在角平分线上。

  *结论：点到角两边的距离相等。

  *作用：证明线段相等（已知平分线，推距离相等）。

  判定定理：

  *条件：点到角两边的距离相等（且在内部）。

  *结论：点在角平分线上。

  *作用：证明角相等或线是角平分线（已知距离相等，推平分线）。

  教师提炼口诀助记：“性质：分双距；判定：距等分。”（“分”指角平分线，“距”指距离）

  即时辨析练习（快速口答）：

  1.如图1，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PD=PE。（错误，未说明PE⊥OB）

  2.如图2，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP平分∠AOB。（正确）

  3.如图3，已知∠AOP=∠BOP，可以直接得出PD=PE吗？为什么？（不能，缺少垂直条件）

  4.如图4，已知PD=PE，可以直接得出∠AOP=∠BOP吗？为什么？（不能，缺少垂直条件，且点需在内部）

  设计意图：此环节旨在解决本课第二大难点。通过对比分析，将两个互逆定理置于一个清晰的认知框架内，使学生明确其逻辑上的对立统一关系。口诀和快速辨析练习，以生动、高频的方式强化对二者应用条件的敏感度，避免后续应用中的混淆，为灵活运用扫清障碍。

  （四）典例精析，深化应用（预计用时：20分钟）

  例题1（基础应用，规范示范）：

  如图，△ABC中，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。

  教学流程：

  1.学生审题：找出已知条件（两个垂直，一组边相等）和求证目标（角平分线）。

  2.策略分析：提问：“要证AD平分∠BAC，即证∠BAD=∠CAD。根据我们刚学的知识，有几种思路？”引导学生想到判定定理。追问：“使用判定定理需要什么条件？”（点D到∠BAC两边的距离相等）“图中，谁代表点D到AB的距离？（DE）谁代表到AC的距离？（DF）它们已知相等吗？（DE=DF）还需要什么条件？（DE⊥AB，DF⊥AC）是否满足？点D在∠BAC内部吗？”

  3.规范板书：教师示范完整的推理过程，强调每一步的理由。

  4.变式提问：若将结论改为“BD=CD”，依然只已知DE=DF且垂直，能证明吗？（不能，缺少条件）。反之，若已知AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，能得到什么？（DE=DF，性质定理）。通过一题多变，强化对定理选择依据的理解。

  例题2（综合应用，提升能力）：

  如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点M是AC的中点，MN⊥BD于点N。求证：BN=DN。

  教学流程：

  1.学生独立思考2-3分钟，尝试寻找证明思路。教师巡视，了解学情。

  2.小组讨论：在小组内交流各自的思路，碰撞想法。教师参与讨论，适时点拨：“条件中有两个直角，点M是AC中点，MN⊥BD……我们学过哪些与中点、垂直有关的性质？（直角三角形斜边中线性质？）但这里MN似乎不是△ABC或△ADC的中线。再看结论，证明BN=DN，即证明N是BD的中点。这让你联想到什么图形特征？（BD被某条线垂直平分）但MN垂直BD，若要平分，则需M在BD的中垂线上？这个思路不通。换个角度，BN和DN是两条线段，证明相等还有哪些方法？（全等、等角对等边、角平分线性质…）”

  3.关键点拨：教师引导学生观察图形：“我们能否构造出角平分线？连接BM和DM。在Rt△ABC中，M是斜边AC的中点，因此BM是斜边中线，BM=______？（AM=CM）。同理，在Rt△ADC中，DM=AM=CM。所以，BM=DM。现在，观察点M，它到哪两条‘边’的距离可能相等？（点M在△MBD中？不，看∠MBD和∠MDB所在的三角形？）更直接地，看∠ABD和∠ADB？不对。看∠MBN和∠MDN？它们所在的三角形是……我们发现，点M到BD的两端点的距离相等，即MB=MD。这说明了什么？（点M在线段BD的垂直平分线上）但我们要证的是BN=DN…等等，这和角平分线判定有关吗？”

  4.思路转换：教师揭示核心：“实际上，我们可以通过构造角平分线来间接证明。如果我们能证明MN是某个角的平分线…注意，MN⊥BD于N，如果我们能证明点M到∠BDC（或∠BDA）两边的距离相等…但图中没有其他垂直。我们尝试连接MA。不，回到BM=DM这个条件。我们能不能利用‘到角两边距离相等的点在角平分线上’？角在哪里？我们构造一个角，使得它的两边是…比如，以B为顶点，BA和BC为边？点M到BA和BC的距离并不明显。这个思路在此题中不够直接。”

  5.正解引导：实际上，此题更优解是利用“线段垂直平分线的判定”的逆过程，或者直接证明△BMN≌△DMN。由BM=DM，MN=MN（公共边），∠BNM=∠DNM=90°，根据HL，可得Rt△BMN≌Rt△DMN，从而BN=DN。但教师可以引导学生思考：“我们能否用今天所学的知识来思考？如果我们连接AN（虽然不必要），但更重要的是，本题旨在告诉学生，不是所有线段相等问题都要用角平分线，要灵活选择工具。但我们可以借机提问：如果要使用角平分线的知识，需要添加什么辅助线？（比如，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AD于F，先证AM平分∠BAD？过程复杂）”

  设计意图：例题1是直接应用，旨在巩固定理，规范书写。例题2是一道综合题，旨在培养学生分析复杂图形、灵活运用已有知识（包括但不限于本节课新知）解决问题的能力。通过“独立思考—小组讨论—教师点拨”的模式，暴露思维过程，锻炼学生从多个角度探索解题路径的能力，并明确本节课定理的适用范围，避免生搬硬套。教师在此处的角色是“思维教练”，重在引导思路，而非直接给出答案。

  （五）分层练习，巩固反馈（预计用时：15分钟）

  学生完成学案上的分层练习。教师巡视，个别辅导，收集共性错误。

  A组（基础巩固，全员过关）：

  1.判断题（辨析条件）。

  2.填空题（直接应用定理求角度或线段长）。

  3.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。（直接应用判定定理的简单变形）

  B组（能力提升，多数完成）：

  4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF。求证：AD垂直平分EF。（综合性质与判定，并联系垂直平分线知识）

  5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E。若AB=10cm，求△BDE的周长。（性质定理与方程思想的结合）

  C组（拓展挑战，学有余力）：

  6.（问题回归）课堂开始的古镇消防瞭望塔问题中，如果角楼的两条街道不是笔直的，而是在角内有一段弧形保护区域，你作为工程师，如何利用今天的知识，仅用尺规，在实地确定所有可能建塔的点（即到两条直街道距离相等的点的集合）？请简述你的操作方案及其数学原理。

  设计意图：分层练习满足不同层次学生的发展需求。A组确保全体学生掌握基础；B组链接其他知识，促进综合应用；C组将数学还原于真实问题，实现闭环，并渗透“轨迹”思想的萌芽。教师通过巡视和即时反馈，精准评估课堂效果，为后续教学调整提供依据。

  （六）课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

  教师引导学生从以下方面进行总结，而非教师单方面复述：

  1.知识层面：今天我们学习了哪个新定理？请叙述其内容。它与性质定理有何区别与联系？

  2.方法层面：我们是怎样得到这个定理的？（实验观察—提出猜想—逻辑证明—形成定理）在证明过程中，克服了哪个主要困难？（辅助线的添加）

  3.思想层面：本节课体现了哪些重要的数学思想？（互逆思想、转化思想、数形结合思想）

  4.应用层面：在应用定理时，最关键的是要注意什么？（分清已知条件是“平分线”还是“距离相等”，明确要证明的目标）

  教师最后用精炼的语言总结升华：“角的平分线的性质与判定，是一对美丽的互逆定理。它们从正反两个角度，深刻地揭示了一个点与一个角之间特殊的位置关系与数量关系。掌握它们，就如同掌握了一把打开一类几何问题大门的钥匙。更重要的是，我们再次体验了数学从猜想到论证的理性之美。”

  （七）作业布置，延伸学习（课后完成）

  必做题：教材习题12.3中相关判定定理的题目（如第3题等）；完成学案上未完成的练习。

  选做题：

  1.撰写一篇数学小日记，记录本节课探究过程中你遇到的困难、解决的方法以及你的收获。

  2.探究：在一个三角形中，三条角平分线为什么会交于一点（内心）？尝试用今天学到的判定定理，选择一个角，证明其平分线与另一个角的平分线的交点，也在第三个角的平分线上。

  实践题：利用角平分线的判定原理，设计一个方案，只用一根没有刻度的直尺和一个圆规，将一个任意角四等分。

  设计意图：作业设计体现巩固性、反思性和拓展性。必做题夯实基础；选做题1促进元认知发展，选做题2为下一课“角的平分线的性质与判定的综合应用（交点问题）”埋下伏笔；实践题激发兴趣，锻炼创新思维。

  六、板书设计

  板书采用模块化、结构化的设计，力求清晰展现知识生成脉络和逻辑关系。

  （主板书区）

  课题：角的平分线的判定

  一、回顾：性质定理

   文字：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

   图形：（略）

   符号：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。

  二、探究：判定定理

   1.逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

   2.验证：（操作、测量）→猜想

   3.证明：

    已知：PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。

    求证：OP平分∠AOB。

    证明过程：（关键步骤板书）

   4.定理：

    文字：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

    图形：（略）

    符号：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP平分∠AOB。

  三、对比辨析

   ||性质定理|判定定理|

   |----------|------------------|-----------