第21章一元二次方程 单元复习课-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

年级：八年级

学科：数学（沪教版）第21章一元二次方程复习与小结

“一元二次方程”单元复习课

复习要点问题1

本章知识之间有怎样的联系？问题2

通过本节课的复习，你能用一张知识结构图将它们联系起来吗？概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程一元二次方程的一般形式是为已知数，且一元二次方程的解

满足方程

的实数

x叫作这个方程的

实数根（或者实数解），简称实根或者根.例题讲解例1下列方程中，是一元二次方程的是（

）

A.B.

C.D.

C（1）当k取何值时这个方程是一元二次方程；（2）当k取何值时这个方程是一元一次方程.已知关于x的方程

例2

.

解即是一元一次方程，当,即

，

当

，即

时，

是一元二次方程.（1）所以

时，

（2）（

）.一元一次方程一般形式观察方程的特征！例题讲解（

）.一元二次方程一般形式例题讲解例3解方程：（1）

所以，原方程的根是

去括号整理,得移项合并,得将方程的左边因式分解,得由此得变形,得移项,得提取公因式,得由此得，解得

所以，原方程的根是

解解法2（2）

观察方程的特征！

法1

等式性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.例题讲解当d>0时，

（2）当d=0时，方程有两个相等的实数根：

（3）当d<0时，方程没有实数根.

求解此方程为什么先移项再开平方？思考例3解方程：（2）

解原方程可化为

两边开平方，得

解得

所以，原方程的根是

法1（1）当d>0时，方程有两个不相等的实数根：

降次化归降次化归转化转化例题讲解例3解方程：

整理原方程，得

将方程的左边因式分解，得

解得

解法2解法1

原方程可化为

两边开平方，得

解得

所以，原方程的根是

降次转化化归降次化归因式分解法所以，原方程的根是

例题讲解例3解方程：

整理原方程，得

所以，原方程的根是

解法4方程中，

解法3

整理原方程，得

方程两边加上32，得

即

两边开平方解得

所以，原方程的根是

由求根公式，得

即

配方法公式法归纳小结

对比本题的三种解法，有哪些相同点和不同点？选择解法的原则是什么？配方法公式法根据方程形式，选择合适的策略，体现数学的灵活性与美感.相同点①方程都要进行代数变形求解.②运用了“转化”“化归”“降次”的思想方法.③最终结果一致，验证了解的正确性.不同点方程变形后的特征不同，选用解法不同.因式分解法归纳小结

一元二次方程的概念、解法、判别式之间有什么内在联系？一元二次方程配方法公式法特殊一元一次方程转化降次化归求方程的根一般推导因式分解法抽象一元二次方程的判别式配方法公式法因式分解法（1）

（2）

.

例题讲解

已知方程

的两根是

,利用韦达定理，求下列各式的值：

例4解（1）

由韦达定理得,（2）

通过恒等变形(如配方、通分等)将复杂代数式转化为x1+x2和x1•x2的组合，利用韦达定理简化计算.例题讲解

将二次三项式

在实数范围内因式分解.例5解对于方程

此方程的两个实数根是

所以

一般步骤此方程的两个实数根是

例题讲解

二次三项式因式分解的因式一元二次方程

思考（1）二次三项式在实数范围内的因式分解中，为什么会出现与它对应的一元二次方程的根？

将二次三项式

在实数范围内因式分解.例5解对于方程

所以

实数根≥0确定此方程的两个实数根是

例题讲解

二次三项式因式分解的因式一元二次方程

思考（1）二次三项式在实数范围内的因式分解中，为什么会出现与它对应的一元二次方程的根？

将二次三项式

在实数范围内因式分解.例5解对于方程

所以

（2）一元二次方程、它的实数根和与它对应的二次三项式因式分解的因式之间的关系是什么？实数根韦达定理≥0确定例题讲解分析工作时间工作效率工作量工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量，它们间的基本关系是：工作时间×工作效率=工作量.甲乙工作时间工作效率工作量甲乙设规定时间为t天.根据题意，可列方程2t+42t-162t+412t-1612t+412t-16124×24×1124242t+412t-16124×24×＋=1.单独合作2t+412t-161

工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合做需要24天完成.问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？例

6例题讲解例

6分析工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量，它们间的基本关系是：工作时间×工作效率=工作量.工作时间工作效率工作量甲乙设规定时间为t天.2t+412t-1612t+412t-16124×24×2424合作解甲单独完成这项工程所需时间为

天，乙单独完成这项工程所需时间为

天.甲的工作效率是

，

乙的工作效率是.根据题意，可列方程去分母并整理得，解得经检验，

都是原方程的根.因为时间不能为负数，所以.因为24<28.所以能完成.答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成.

工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合做需要24天完成.问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？例题讲解例

6分析设规定时间为t天.解甲单独完成这项工程所需时间为

天，乙单独完成这项工程所需时间为

天.甲的工作效率是

，

乙的工作效率是.根据题意，可列方程去分母并整理得，解得经检验，

都是原方程的根,因为时间不能为负数，所以.因为24<28.所以能完成.答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成.建立模型求解模型检验模型应用结果★识别未知量与已知量★建立数学关系工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量，它们间的基本关系是：工作时间×工作效率=工作量.

工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时