第四章 二次函数 章末复习 课件 +2026-2027学年湘教版九年级数学上册

章末复习第四章二次函数

4.二次函数与一元二次方程的关系(1)抛物线y=ax2+bx+c与x

轴的公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(2)抛物线y=ax2+bx+c与x

轴的公共点情况：有两个公共点Δ>0；

有一个公共点Δ=0；

没有公共点Δ<0.5.利用二次函数解决实际问题的关键是结合题意建立二次函数模型，

利用二次函数的图象和性质求解，

注意自变量的取值要符合实际意义.专题一二次函数的图象链接中考>>二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标几个方面考查；两个二次函数图象之间的关系主要有平移、轴对称、中心对称等，考查的形式主要是选择题.[中考·陕西副卷]关于x

的二次函数y=x2-2mx+m2-1(m>1)的图象可能是图4-1中的(

)例1解：当x=0时，y=m2-1.因为m>1，所以y=m2-1>0，函数图象与y

轴的交点应在x

轴的上边，故选项D错误；y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1，函数图象的对称轴为直线x=m.因为m>1，所以选项A错误；当x=m

时，y=-1，因此选项B错误，选项C正确．答案：C专题二二次函数的性质链接中考>>二次函数的性质主要有两个：一是轴对称性，二次函数的图象关于对称轴对称；二是增减性，在对称轴的同侧具有相同的增减性.考查时两个性质有时同时考查，一般以填空题、选择题的形式出现.[中考·福建]已知点A(-2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2+bx+1上，若3<b<4，则下列判断正确的是()A.1<y1<y2

B.y1<1<y2C.1<y2<y1

D.y2<1<y1例2解题秘方：先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.

答案：A专题三求二次函数的表达式链接中考>>二次函数的表达式是两个变量之间的表达式，所以求二次函数的表达式的方法有两种：一种是直接根据两个变量之间的等量关系列出函数表达式；另一种是用待定系数法先设出函数表达式，然后根据函数图象上点的坐标或几对对应值求出函数表达式.考查的形式多样，填空题、选择题和解答题都有涉及.[中考·福建]如图4-2，已知二次函数y=x2+bx+c

的图象与x

轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(-2，0)，C(0，-2)．例3(1)求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x

轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P

的坐标．

专题四二次函数与一元二次方程的关系链接中考>>二次函数与一元二次方程的关系，关键就是看函数图象与x

轴的交点的横坐标，利用一元二次方程根的判别式解决问题.

例4

2(2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点.

专题五二次函数的应用链接中考>>二次函数的应用主要有两种形式，第一种是在实际问题中建立二次函数模型，利用二次函数的性质求解；第二种是二次函数与其他知识的综合应用.考查时多以解答题的形式出现.[中考·南通]综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：例5方案一方案二如图4-3，

围成一个面积为450m2

的矩形花圃.如图4-4，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口(此处不用栅栏).(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；解题秘方：设与墙垂直的边的长度为x

m，根据栅栏总长表示出与墙平行的边的长度，再结合面积公式列方程求解；解：设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m.根据题意，得x(60-2x)=450，解得x1=x2=15.答：与墙垂直的边的长度为15m.(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？解题秘方：设与墙平行的边的长度为tm，根据栅栏总长和进出口的长度表示出与墙垂直的边的长度，再结合面积公式得出二次函数表达式，利用二次函数性质求解.

专题六数形结合思想专题解读>>本章中涉及数形结合思想的题型有：根据已知的二次函数的图象,结合二次函数的性质,对二次函数表达式中各系数之间的关系进行判断;根据两个函数图象的交点和图象之间的位置关系,求与两个函数表达式有关的不等式的解集(形找数).另外,根据函数的表达式,画出图象,依据二次函数的性质确定变量之间的变化趋势等(数促形).[中考·日照]已知二次函数y=ax2+bx+c(a

≠0)图象的一部分如图4-5所示，该函数图象经过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论：①

abc<0；②

a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x-5)；④当m>-9a

时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个例6解题秘方：根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点情况等进行判断．解：由图象可知a<0，c>0，由对称轴在y

轴右侧及a<0可知b>0，所以abc<0，故①正确.因为函数图象经过点(-1，0)，所以a-b+c=0.所以a+c=b，故②正确；因为函数图象经过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，所以抛物线与x

轴的另一个交点坐标为(5，0).所以多项式ax2+bx+c

可因式分解为a(x+1)(x-5)，故③错误；因为抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5)=a(x-2)2-9a，所以抛物线的顶点坐标为(2，-9a).观察图象可知，当m>-9a

时，关于x

的方程ax2+bx+c=m无实数根，故④正确．答案：C类型一

利用图象法解方程根的问题1.[期中·北京海淀区]某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-x2+4|x|-3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：(1)自变量x的取值范围是全体实数，x

与y

的几组对应数值如下表：其中m=_______.x…-3.7-3.3-2-100.7233.7…y…-1.89-0.6910-3-0.691m-1.89…0(2)如图，在平面直角坐标系xOy中描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象.解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如图.(3)根据函数图象，回答下列问题：①函数图象与x轴有_____个交点，则对应的方程-x2+4|x|-3=0有_____个实数根；②当-2≤x<2时，y的取值范围为_______

；③直线y=kx+b经过点(-2，1)，若关于x的方程-x2+4|x|-3=kx+b

有4个互不相等的实数根，则b

的取值范围是________.44-3≤y≤1-3＜b＜1

D类型三利用二次函数解利润最大问题3.[期末•北京丰台区]某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件.工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件.若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元.(1)当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_______；(2)合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为_______元.114006类型四

利用二次函数解动点问题4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动.设点P运动的时间为t

s(0<t<6).(1)AP=______cm，CQ=______cm(用含t的代数式表示).t12-2t(2)记△BQP的面积为S1cm2，△DPQ的面积为S2cm2.①试判断S1+S2

是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.解：是定值.因为AB=6cm，AP=tcm，所以BP=AB-AP=(6-t)cm.又因为BQ=2tcm，所以S1=12BP·BQ=12(6-t)·2t=6t-t2.又S矩形ABCD=AB·BC=6×12=72(cm2)，S△ADP=12AP·AD=12t×12=6t(cm2)；S△DCQ=12CD·CQ=12×6×(12-2t)=(36-6t)cm2，所以S2=S矩形ABCD-S1-S△ADP-S△DCQ=72-(6t-t2)-6t-(36-6t)=72-6t+t2-6t-36+6t=t2-6t+36，所以S1+S2=(6t-t2)+(t2-6t+36)=6t-t2+t2-6t+36=36，所以S1+S2是定值，定值为36.②求S2-S1的最小值.解：S2-S1=(t2-6t+36)-(6t-t2)=t2-6t+36-6t+t2=2t2-12t+36=2(t2-6t+9)+18=2(t-3)2+18.因为2>0，所以二次函数图象开口向上，所以当t=3时，S2-S1取得最小值，最小值为18.类型五

利用二次函数解抛物线形问题5.[中考·武汉]某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.［研究背景］羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.［收集数据］某次羽毛球飞行的高度y(单位：m