第9节　爪形三角形中特殊线的计算

第9节爪形三角形中特殊线的计算数学数学高考总复习索引题型一三角形的高线(1)求sinA;法一(1)在△ABC中，A＋B=π-C，因为A＋B＝3C，所以3C=π-C，所以C=π.4所以2sinsin索引所以sinAAB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，索引44索引法二(1)在△ABC中，A＋B=π-C，所以3C=π-C，所以C=π.4-(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＝3cosAsinC，所以tanA＝3tanC＝3tanπ=3，4所以sinA索引又sinA所以cosA索引感悟提升索引所以A=π.3索引则△ABC的面积为S△ABCbcsinA索引题型二三角形的中线索引索引LACB，索引法二因为LADC＋LBDC=π,所以cosLADC＋cosLBDC＝0，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosLACB，索引又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosL=(a＋b)2－6，索引感悟提升在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2BD·ADcosLADB，①AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosLADC，②①+②得到AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).索引感悟提升索引感悟提升在△ABC中，BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)AD=索引索引22由得AD2＝(c2＋b2＋2bccos索引题型三三角形的角平分线2bcosA－a.解因为A＋B＋C=π,所以C=π-(A＋B)，-(A＋B)]＝sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，则2(sinAcosB＋cosAsinB)＝2sinBcosA－si索引整理得2sinAcosBsinA.索引解因为BD是LABC的平分线，在△ABC中，根据余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosLABC，索引3如图，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，所以1acsin2π=1c·BD·sinπ+1a·BD·sinπ,232323索引如图，cosLADBcosLBDC，索引感悟提升如图，在△ABC中，AD平分LBAC，LBAC，B，C所对的边分别为a，b，c.LBAC的平分线，则索引感悟提升(2)(2)因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，索引9又BD是角B的角平分线，则在△BCD中，由余弦定理得CD23索引99△ABC＝S△ABD＋S△CBD，索引7所以S△ABC＝acsinB=×4××=.索引课时对点精练由正弦定理可得sinAcosB＋sinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，所以3sinB＝sinBcosA，2所以cosA6LBAC＝9＋3－2×3×所以S△ABCbcsinLBACah，22+3sinB＝2.-π=0，即B=π.所以S△ABCsin由(1)知B=,LABC，解得b＝6，又LBDC＝30°+45°=75°,所以sinAsinB＋sinAcosB＝sinAcosB＋sinBcosA，两边平方得|AD|2＝(c2＋b2＋2bccosLBAC)所以+3sinA)＝a＋c.即B=π.37EM