第3节　平面向量的数量积及其应用

第3节平面向量的数量积及其应用数学数学高考总复习索引索引01知识诊断自测=b，则LAOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 索引足为M1，则0M1就是向量a在向量b上的投影向量.为0M1＝|a|cosθe.索引(1)数量积:a·b＝|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a聂b时等号成立)台|x1x2＋y1y2|≤x＋y·索引(2)λa·b=λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).索引常用结论与微点提醒索引常用结论与微点提醒索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编索引解析索引962962索引索引解析=2|a|2＋5a·b－3|b|2=2×36＋5×6×4×1－3×16＝84.2索引考点一数量积的计算则AB·BQ＝(B22解析)索引42可得a2＝1，所以AB·BQ2a2142索引(2)(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，b，则AE=63(用a，b表示);若|AE|＝5，AE丄CB，则AE·CD解析AE＝AC＋CE＝AC＋CD＝AC＋(AD－AC)＝AC＋AB＝a＋b.2索引索引感悟提升索引32故a·=a2＋a·b索引LBAD则AC·FN＝0.解析法一AC·FN＝(AB＋AD)·(FA＋AN)＝AB·FA＋AB·AN+AD·FA＋AD·AN=0＋|AB||AN|cos＋|AD||FA|cos＋02＋2＝0.索引索引考点二数量积的应用解析索引索引A.－4B.－224索引索引ca－b＝(－11)，索引222索引感悟提升1.求平面向量的模的方法(1)公式法:利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2;(2)几何法:利用向量的几何意义.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法:cos2)坐标法.3.两个向量垂直的充要条件索引训练2(1)(多选)(2026·汉中模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(11)，则索引π 解析266索引 2索引考点三平面向量的新定义问题例4(2026·湖北新高孝协作体联考)对任意两个非零平面向量a和b，定义:a田b=解析索引24索引4索引感悟提升索引训练3(多选)(2026·河南名校大联量op＝a＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量op在夹角为θ的坐标系xOyC.若对任意的λ∈R，|5e1-λe2|的最小值为，则θ=-3]U[1，+∞)索引索引对于D，将|e1-λe2|≥|e1－e2|两边平方，得1+λ2－2λcosθ≥2－2cosθ,即∀θ∈(0，π)，λ2－1≥2(λ-1)cosθ,即2(λ-1)cosθ-λ2＋1≤0，解得λ≤-3或λ≥1，综上，λ∈(-∞,-3]U[1，+∞)，故D正确.索引23334422A.7C.21则|AD|＝AB2＋AC2＋AB·AC＝|AB|2＋|AC|2＋|AB|·|AC|COS60O= 4x62＋1x32＋4x6x3x1＝21.P为边BC的中点，则AP·BD＝(D)A.－7B.－23C.－13D.－9164又所以AP·BD.7.(2026·安徽江南十校联考)在平面四边形ABCD中，AB·BC＝BC·DC＝DC·AD=AD·AB，则平面四边形ABCD的形状为A()因为AB·BC＝BC·DC，所以BC·(AB－DC)＝0，同理DC·(BC－AD)＝0，AD·(AB－DC)＝0，AB·(BC－AD)＝0，所以BC∥AD，AB∥DC，C.a·b≤|a||b|A.OA·OD2B.OA＝OE2C.OA·OH＝OD·OED.|OG|＝|OB|解析2|0A|＝|0B|＝|0C|＝|0D|＝|0E|＝|0F|＝|0G|＝|0H|＝1，D正确;2∴0A·0D＝|0A|·|0D|cos(3×)2，A正确;0A与0E是方向相反的向量，B错误;0A·0H＝0D·0E，C正确.故W＝(F1＋F2)·AB3＋7×4＝25. (2a＋b)·c3－25.2则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin90°=4|a||b|，故②错误;=2α2＋2α·b·2α2__2α·b＝4α4__4(α·b)2≤2|a|2，故③正确;则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×故④错误.