北京大学《复变函数》课件-第一章 复数与复变函数

复变函数北京大学数学科学学院第一章复数与复变函数

（Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable）

§1.1复数

§1.2复数的表示

§1.3平面点集的一般概念

§1.4无穷大与复球面

§1.5复变函数第一讲

§1.1复数

§1.2复数的表示一、复数的概念§1.1复数

(Complexnumber)二、复数的四则运算三、复平面注意：任意两个复数不能比较大小。一.复数的概念对任意两实数x、y,称z=x+iy为复数。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.设复数设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)二、复数的四则运算复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，用C表示。共轭复数的性质共轭复数设

,称为z的共轭复数.三、复平面则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数，称为实轴，y轴上的点表示纯虚数，数称为虚轴；整个坐标平面我们称为复平面或z平面Z平面§1.2复数的表示

(Therepresentationofcomplexnumber)一、复数的模和辐角二、复数的三角不等式三、复数的表示方法四、用复数的三角表示作乘除法五、复数的乘方与开方

一、复数的模和辐角oxyz平面P(x,y)xy

向量的长度称为复数的模，记作：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，记作：由于任意非零复数有无限多个辐角，用表示符合条件的一个角，称为复数主辐角。即的主值，于是注意：时，辐角不确定。

二、复数的三角不等式关于两个复数的和与差的模，有下列不等式：1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法三、复数的表示方法1.点的表示法2.向量表示法oxyz平面P(x,y)xy

3、三角表示法此式称为复数的三角表示式。注：一个复数的三角表示不是唯一的设复数，的模为，是复数的任意一个辐角,则oxyz平面P(x,y)xy

也可以表示为解：因为

4、指数表示法由欧拉公式可得复数的指数表示四、用复数的三角表示作乘除法

后一个式子应理解为集合相等。设、是两个非零复数，注意：可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2几何意义：将复数按逆时针方向旋转一个角度，再将其伸缩倍。只需.同理，对除法有于是得后一个式子也应理解为集合相等。五、复数的乘方与开方1.复数的乘方设则

个相同的复数

的乘积，称为

的

次幂，记作，即特别：当时，则有此式称为棣莫佛(DeMoivre)公式。2、复数的开方开方是乘方的逆运算，设则称复数为复数容易得例4、求的所有值。解：由于几何上，的

个值是以原点为中心，为半径的圆周上

个等分点，即它们是内接于该圆周的正

边形的

个顶点。xyo例5求解方程解：故得所以方程有3个解，它们是

课后作业一、思考题：1、2、3.二、习题一：1-10第二讲§1.3平面上点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5复变函数

§1.3

平面点集的一般概念

(Thegeneralconceptionofpointsetontheplane)一、开集与闭集二、区域三、平面曲线一、开集与闭集邻域平面上以为心，为半径的圆的内部所有点的集合称为点的-邻域，记作，即称集合为的去心邻域,记作连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用内折线连接起来，则称开集是连通集开集如果点集的每一个点都是的内点则称为开集.内点为中任意一点，如果存在的一个邻域，该邻域内的所有点都属于，那么称为的内点。设是一个平面点集闭集如果点集的余集为开集，则称为闭集边界点；边界若在点的任意邻域内既有的点又有的点，则称是的一个边界点。孤立点，若在的某一邻域内除外不含的点，则称是的的一个孤立点，的孤立点一定是的边界点。有界集；无界集如果存在一个以点为中心的圆盘包含，称为有界集，否则称为无界集。二、区域区域（或开区域)连通的开集称为区域.三、平面曲线1.简单曲线、简单闭曲线平面曲线的参数方程用复值函数表示为闭区域区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为若存在满足且的,使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线简单闭曲线简单曲线非简单曲线非简单闭曲线2.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为

若，在上可导,且,连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在几何直观上，单连通区域是一个没有“空（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.§1.4无穷大与复球面

(InfinityandComplexsphere)一、复球面二、扩充复平面的定义.

一、复球面1、南极、北极的定义xyONSz如右图取一张复平面，做一个与复平面相切与原点z=0的球面，.xxONSzP(z)z球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.2、复球面的定义用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}之间一一对应关系..因而球面上的北极N就是复数

的几何表示.xxONSzP(z)z二、扩充复平面的定义我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应这个假想的点称为“复数无穷远点”记作

.复平面加上

无穷远点后称为扩充复平面，记作C

.包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.关于扩充副平面上的几个概念

(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}且满足z>M的所有点的包括无穷远点自身在内

§1.5复变函数(Functionofthecomplexvariable)一、复变函数二、映射的概念三、反函数或逆映射四、复变函数的极限与连续性一.复变函数例1例255取两张复平面，分别称为z平面和w平面56oxy(z)Douv(w)G

二、映射的概念zw在几何上，可以看作：

三、反函数或逆映射---多值函数则称为的反函数（逆映射）.设

的定义集合为D,函数值集合为G例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射1.复变函