厦门大学《复变函数》课件-第1章复数与复变函数

第一章

复数与复变函数厦门大学《复变函数》第一章

复数与复变函数第一节

复数第二节

复平面上的点集第三节

复变函数第四节

复球面与无穷远点第一节

复数1

复数域形如的数，称为复数。其中实数

和分别称为复数的实部和虚部，常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域

加（减）法

乘法

除法

相等：

当且仅当

共轭复数：

2复平面

一个复数

本质上由一对有序实数

唯一确定。可对应于平面上的点

，这样表示复数的平面称为复平面或

平面。其中

轴称为实轴，

轴称为虚轴。

3复数的模向量

的长度称为复数

的模或绝对值，即：

模的性质（1）（2）（3）（4）点与点的距离为

4复数的辐角实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：

任一非零复数有穷多个辐角。以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：5复数的表示代数形式：三角形式：指数形式：6复数的乘幂与方根第二节

复平面上的点集1基本概念定义1点的邻域指：定义2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若但非的聚点，则称为孤立点;若，又非的聚点，则称为外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。定义3若点集E的每个聚点都属于E，则称E为闭集若点集E的点皆为内点，则称为开集。定义4点集E称为有界集，若使E

有

2区域与约当曲线

定义５非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。定义６区域加上它的边界称为闭域，记为：。

复平面上的区域往往用不等式表式，例题：以原点为心，为半径的圆（闭圆）：

上半平面：下半平面：左半平面：右半平面：带形区域：同心圆环：

定义7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程，分别称为起点和终点。对某点，若有，使

，则称点为曲线的重点。凡无重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。若存在，连续且不全为零，则称简单曲线为光滑曲线。定理（约当定理）任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集满足（1）

彼此不交（2）

是一个有界区域（称为内部)（3）

是一个无界区域（称为外部）（４）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。定义8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。

单连通的特征是“无洞”，而“有洞”就是多连通。如：圆；，简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环是多连通区域。

第三节复变函数1定义定义9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。例等均为单值函数。

等均为多值函数。注

以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。

２表示形式复变函数一般有三种表示形式：（１）

（２）若令，则有

（３）若令

，

则有

复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。一般我们取两张复平面，分别称为平面和平面，而把复变函数理解为两个复平面上的点集之间的对应。例1

试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；（2）

倾角的直线；

解设则

因此（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。

（2）

因，故在平面上对应的图形为：直线复变函数的极限与连续性

定义10

设，

为的聚点。若存在一复数，使只要就有

则称沿于有极限，并记为

复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理

设函数于点集上有定义，则的充要条件是连续性定义设

于点集上有定义，为的聚点，且。若则称沿于连续。定理

设函数于点集上有定义，则沿在点连续的充要条件是：二元实函数沿于点连续。例２设试证在原点无极限，从而在原点不连续证令则从而故得证第四节复球面与无穷远点

复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应。取一个在原点与平面相切的球面，通过点作一垂直于平面的直线与球面交于点，称为北极称为南极。用直线段将与平面上一点相联，此线段交球面于一点，这就建立起球面上的点（不包括北极点）与复球面上的点间的一一对应。N考虑平面上