2021江苏泰州数学试卷+答案+解析

33泰州市二〇二一年初中学业水平考试(满分:150分考试时间:120分钟)第一部分选择题(共18分)一、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)123456ABDACD1.(2021江苏泰州,1,3分)(-3)0等于 ()A.0 B.1 C.3 D.-31.解后反思解后反思2.(2021江苏泰州,2,3分)右图所示几何体的左视图是 ()A B C D2.解后反思解后反思3.(2021江苏泰州,3,3分)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是 ()A.8与3 B.2与12C.5与15 D.75与273.解后反思解后反思4.(2021江苏泰州,4,3分)“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P,则 ()A.P=0 B.0<P<1C.P=1 D.P>14.解后反思解后反思5.(2021江苏泰州,5,3分)如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF.设∠CBE=α,则∠AFP为 ()A.2α B.90°-αC.45°+α D.90°-125.解后反思解后反思6.(2021江苏泰州,6,3分)互不重合的A、B、C三点在同一直线上,已知AC=2a+1,BC=a+4,AB=3a,这三点的位置关系是 ()A.点A在B、C两点之间 B.点B在A、C两点之间C.点C在A、B两点之间 D.无法确定6.解后反思解后反思第Ⅱ卷非选择题(共分)二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)7.(2021江苏泰州,7,3分)计算:-(-2)=.

7.答案解析解后反思解后反思8.(2021江苏泰州,8,3分)函数y=1x+1中自变量x的取值范围是8.答案解析解后反思解后反思9.(2021江苏泰州,9,3分)2021年5月,中国首个火星车“祝融号”成功降落在火星上直径为3200km的乌托邦平原.把数据3200用科学记数法表示为.

9.答案解析解后反思解后反思10.(2021江苏泰州,10,3分)在函数y=(x-1)2中,当x>1时,y随x的增大而.(填“增大”或“减小”)

10.答案解析解后反思解后反思11.(2021江苏泰州,11,3分)某班按课外阅读时间将学生分为3组,第1、2组的频率分别为0.2、0.5,则第3组的频率是.

11.答案解析解后反思解后反思12.(2021江苏泰州,12,3分)关于x的方程x2-x-1=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2-x1·x2的值为.

12.答案解析解后反思解后反思13.(2021江苏泰州,13,3分)扇形的半径为8cm,圆心角为45°,则该扇形的弧长为cm.

13.答案解析解后反思解后反思14.(2021江苏泰州,14,3分)如图,木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住.∠EGB=100°,∠EHD=80°.将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置,则至少要旋转.

14.答案解析解后反思解后反思15.(2021江苏泰州,15,3分)如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(8,5),☉A与x轴相切,点P在y轴正半轴上,PB与☉A相切于点B.若∠APB=30°,则点P的坐标为.

15.答案解析解后反思解后反思16.(2021江苏泰州,16,3分)如图,四边形ABCD中,AB=CD=4,且AB与CD不平行,P、M、N分别是AD、BD、AC的中点.设△PMN的面积为S,则S的范围是.

16.答案解析解后反思解后反思三、解答题(本大题共有10题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2021江苏泰州,17,12分)(1)分解因式:x3-9x;(2)解方程:2xx-17.解析解后反思解后反思18.(2021江苏泰州,18,8分)近5年,我省家电业的发展发生了新变化.以甲、乙、丙3种家电为例,将这3种家电2016~2020年的产量(单位:万台)绘制成如图所示的折线统计图,图中只标注了甲种家电产量的数据.观察统计图回答下列问题:(1)这5年甲种家电产量的中位数为万台;

(2)若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图,每个统计图只反映该年这3种家电产量占比,其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°,这个扇形统计图对应的年份是年;

(3)小明认为:某种家电产量的方差越小,说明该家电发展趋势越好.你同意他的观点吗?请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由.18.解析解后反思解后反思19.(2021江苏泰州,19,8分)江苏省第20届运动会将在泰州举办,“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物.在一次宣传活动中,组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀,卡片除图案外其余均相同.小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物,抽取方式有两种:第一种是先抽取1张不放回,再抽取1张;第二种是一次性抽取2张.(1)两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率(填“相同”或“不同”);

(2)若小张用第一种方式抽取卡片,求抽到不同图案卡片的概率.19.解析解后反思解后反思20.(2021江苏泰州,20,8分)甲、乙两工程队共同修建150km的公路,原计划30个月完工.实际施工时,甲队通过技术创新,施工效率提高了50%,乙队施工效率不变,结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长?20.解析解后反思解后反思21.(2021江苏泰州,21,10分)如图,游客从旅游景区山脚下的地面A处出发,沿坡角α=30°的斜坡AB步行50m至山坡B处,乘直立电梯上升30m至C处,再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处,此时观测C处的俯角为19°30',索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.(精确到1m,sin19°30'≈0.33,cos19°30'≈0.94,tan19°30'≈0.35)21.解析解后反思解后反思22.(2021江苏泰州,22,10分)如图,点A(-2,y1)、B(-6,y2)在反比例函数y=-kx(k<0)的图像上,AC⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为C、D,AC与BD相交于点(1)根据图像直接写出y1、y2的大小关系,并通过计算加以验证;(2)结合以上信息,从①四边形OCED的面积为2,②BE=2AE这两个条件中任选一个作为补充条件,求k的值.你选择的条件是(只填序号).

22.解析解后反思解后反思23.(2021江苏泰州,23,10分)(1)如图①,O为AB的中点,直线l1、l2分别经过点O、B,且l1∥l2.以点O为圆心,OA长为半径画弧交直线l2于点C,连接AC.求证:直线l1垂直平分AC;(2)如图②,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两直线间距离相等,点P、Q分别在直线l1、l4上,连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D,使线段PD最短.(两种工具分别只限使用一次,并保留作图痕迹)图①图②23.解析解后反思解后反思24.(2021江苏泰州,24,10分)农技人员对培育的某一品种桃树进行研究,发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x(个)为横坐标、桃子的平均质量y(克/个)为纵坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点,发现这些点大致分布在直线AB附近(如图所示).(1)求直线AB的函数关系式;(2)市场调研发现:这个品种每个桃子的平均价格w(元)与平均质量y(克/个)满足函数表达式w=1100y+2.在(1)的情形下,求一棵树上桃子数量为多少时,该树上的桃子销售额最大24.解析解后反思解后反思25.(2021江苏泰州,25,12分)二次函数y=-x2+(a-1)x+a(a为常数)图像的顶点在y轴右侧.(1)写出该二次函数图像的顶点横坐标(用含a的代数式表示);(2)该二次函数表达式可变形为y=-(x-p)(x-a)的形式,求p的值;(3)若点A(m,n)在该二次函数图像上,且n>0,过点(m+3,0)作y轴的平行线,与二次函数图像的交点在x轴下方,求a的范围.25.解析解后反思解后反思26.(2021江苏泰州,26,14分)如图,在☉O中,AB为直径,P为AB上一点,PA=1,PB=m(m为常数,且m>0).过点P的弦CD⊥AB,Q为BC上一动点(与点B不重合),AH⊥QD,垂足为H.连接AD、BQ.(1)若m=3.①求证:∠OAD=60°;②求BQDH的值(2)用含m的代数式表示BQDH,请直接写出结果(3)存在一个大小确定的☉O,对于点Q的任意位置,都有BQ2-2DH2+PB2的值是一个定值,求此时∠Q的度数.备用图

332021年无锡市初中学业水平考试(满分:130分考试时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是正确的)12345678910BAACDACBDA1.(2021江苏无锡,1,3分)-13的相反数是 (A.-13 B.13 C.31.B-13的相反数是13.故选2.(2021江苏无锡,2,3分)函数y=1x-2中自变量x的取值范围是 A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≠22.A由题意得:x-2≥0,x-2≠0,3.(2021江苏无锡,3,3分)已知一组数据:58,53,55,52,54,51,55,这组数据的中位数和众数分别是 ()A.54,55 B.54,54 C.55,54 D.52,553.A这组数据按照从小到大的顺序排列:51,52,53,54,55,55,58,∴中位数为54.∵55出现的次数最多,∴众数为55.4.(2021江苏无锡,4,3分)方程组x+y=5,xA.x=2y=3 B.x=3y=24.Cx①+②得:2x=8,∴x=4,把x=4代入①得:4+y=5,∴y=1,∴方程组的解为x5.(2021江苏无锡,5,3分)下列运算正确的是 ()A.a2+a=a3 B.(a2)3=a5C.a8÷a2=a4 D.a2·a3=a55.DA.a2与a不是同类项,无法合并,故此选项不合题意;B.(a2)3=a6,故此选项不合题意;C.a8÷a2=a6,故此选项不合题意;D.a2·a3=a5,故此选项符合题意.6.(2021江苏无锡,6,3分)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ()A BC D6.AA.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意;B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.故选A.7.(2021江苏无锡,7,3分)如图,D、E、F分别是△ABC各边中点,则以下说法错误的是 ()A.△BDE和△DCF的面积相等B.四边形AEDF是平行四边形C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形7.C连接EF,∵D、E、F分别是△ABC各边中点,∴DE∥AC,DE=12AC;DF∥AB,DF=12AB;EF∥BC,EF=A.易得△BDE∽△BCA,△CDF∽△CBA,∴S△BDE=S△CDF=14S△ABC∴A不符合题意.B.∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∴B不符合题意.C.若AB=BC,则DF=EF,但无法判定▱AEDF是菱形.∴C选项符合题意.D.若∠A=90°,则▱AEDF是矩形.∴D选项不符合题意.故选C.8.(2021江苏无锡,8,3分)一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于点A(1,m),且△AOB的面积为1,则m的值是 (A.1 B.2 C.3 D.48.B在y=x+n中,令y=0,得x=-n,∴B(-n,0),∵A(1,m)在一次函数y=x+n的图象上,∴m=1+n,即n=m-1,∴B(1-m,0),∵△AOB的面积为1,m>0,∴12OB·|yA|=1,即12|1-m|·m解得m=2,故选B.9.(2021江苏无锡,9,3分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一点,则PA2+PB2+PC2取得最小值时,下列结论正确的是 ()A.点P是△ABC三边垂直平分线的交点B.点P是△ABC三条内角平分线的交点C.点P是△ABC三条高的交点D.点P是△ABC三条中线的交点9.D过P作PD⊥AC于D,过P作PE⊥AB于E,延长CP交AB于M,延长BP交AC于N,如图:∵∠A=90°,PD⊥AC,PE⊥AB,∴四边形AEPD是矩形.设AD=PE=x,AE=DP=y,在Rt△AEP中,AP2=x2+y2,在Rt△CDP中,CP2=(8-x)2+y2,在Rt△BEP中,BP2=x2+(6-y)2,∴AP2+CP2+BP2=x2+y2+(8-x)2+y2+x2+(6-y)2=3x2-16x+3y2-12y+100=3x-832+3(y-2)∴当x=83,y=2时,AP2+CP2+BP2取得最小值此时AD=PE=83,AE=PD=2∵∠A=90°,PD⊥AC,∴PD∥AB,∴△AMC∽△DPC,∴AMDP=ACDC,即AM2∴AM=3,∴AM=12AB,即M是AB的中点同理可得AN=12AC,N为AC的中点∴P是△ABC三条中线的交点.故选D.解题关键本题是一道最值问题.考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、配方法求最值,解题的关键是构造直角三角形求出PD、PE的值,运用相似三角形的性质即可得到点P是三条中线的交点.一题多解由于每种交点位置计算难度不大,可分别计算每种情况,详讲内心与重心:①内心到三边距离相等,为6+8-102=2,∴PA2+PB2+PC②中线交点(重心),抓住MPPC=12,∴△MPE∽△GCA,∴PE=83,PD=2.如果是用上述的常规方法,依次计算四种情况10.(2021江苏无锡,10,3分)设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数C1,C2图象上的点,当a≤x≤b时,总有-1≤y1-y2≤1恒成立,则称函数C1,C2在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼近区间”,则下列结论:①函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”;②函数y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”;③0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x2-x的“逼近区间”;④2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间”.其中,正确的有 ()A.②③ B.①④ C.①③ D.②④10.A①y1-y2=-2x-7,在1≤x≤2上,当x=1时,y1-y2取得最大值,为-9,当x=2时,y1-y2取得最小值,为-11,即-11≤y1-y2≤-9,故函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数””不正确;②y1-y2=-x2+5x-5,在3≤x≤4上,当x=3时,y1-y2取得最大值,为1,当x=4时,y1-y2取得最小值,为-1,即-1≤y1-y2≤1,故函数y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确;③y1-y2=-x2+x-1,在0≤x≤1上,当x=12时,y1-y2取得最大值,为-34,当x=0或x=1时,y1-y2取得最小值,为-1,即-1≤y1-y2≤-34,故0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x2-x的“逼近区间④y1-y2=-x2+5x-5,在2≤x≤3上,当x=52时,y1-y2取得最大值,为54,当x=2或x=3时,y1-y2取得最小值,为1,即1≤y1-y2≤54,故2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间∴正确的有②③.故选A.解题方法本题是一道新定义问题.考查一次函数、二次函数的综合应用,读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义,并能根据函数的性质,在自变量的取值范围内求出函数的最大值与最小值,即可解决问题.二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)11.(2021江苏无锡,11,2分)分解因式:2x3-8x=.

11.答案2x(x+2)(x-2)解析2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).12.(2021江苏无锡,12,2分)2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆,在火星上首次留下中国印迹,迈出我国星际探测征程的重要一步.目前探测器距离地球约320000000千米,320000000这个数据用科学计数法可表示为.

12.答案3.2×108解析320000000=3.2×108.13.(2021江苏无锡,13,2分)用半径为50,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为.

13.答案50解析设圆锥的底面圆半径为r,根据题意,得2πr=120π解得r=50314.(2021江苏无锡,14,2分)请写出一个函数表达式,使其图象在第二、四象限且关于原点对称:.

14.答案y=-2x(答案不唯一解析根据反比例函数y=kx的图象的性质,当k<0时,图象在第二、四象限且关于原点对称∴k<0的反比例函数即满足题意.故k可取-2,此时函数表达式为y=-2x15.(2021江苏无锡,15,2分)一条上山直道的坡度为1∶7,沿这条直道上山,每前进100米所上升的高度为米.

15.答案102解析设上升的高度为x米,∵上山直道的坡度为1∶7,∴水平距离为7x米,由勾股定理得:x2+(7x)2=1002,解得x1=102,x2=-102(舍去).方法总结本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键.16.(2021江苏无锡,16,2分)下列命题中,正确命题的个数是.

①所有的正方形都相似;②所有的菱形都相似;④边长相等的菱形都相似;④对角线相等的矩形都相似.16.答案1解析①所有的正方形都相似,正确,符合题意;②所有的菱形都相似,错误,不符合题意;③边长相等的菱形都相似,错误,不符合题意;④对角线相等的矩形都相似,错误,不符合题意.正确的有1个.17.(2021江苏无锡,17,2分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=22,AC=6,点E在线段AC上,且AE=1,D是线段BC上的一点,连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时,AF=.

17.答案2解析解法一:如图,过点F作FH⊥AC于H,∵将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE,∴AB=FG=22,AE=EF=1,∠BAC=∠EFG=90°,∴EG=EF2+F∵sin∠FEG=HFEF=FG∴HF1=223,∴HF∵cos∠FEG=EHEF=EF∴EH1=13,∴EH=∴AH=AE+EH=43∴AF=AH2+HF故答案为:26解法二:如图,连接BE、BG,∵将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE,∴△ABE≌△FGE,∴∠AEB=∠FEG,∵A、E、G共线,∴B、E、F共线.∵AB=22,AE=1,∴BE=EG=3,∴AG=4,∴BG=26.∵DE垂直平分AF、BG,∴AF∥BG,∴△AEF∽△GEB,∴AFGB=AE即AF26=∴AF=26解题关键本题是一道翻折变换题目,考查了轴对称的性质,勾股定理,锐角三角函数,作FH⊥AC于H构造直角三角形即可解决问题.18.(2021江苏无锡,18,2分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式:.

18.答案y=83x解析解法一:过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E,如图:∵AD⊥y轴,BE⊥y轴,∴AD∥BE,∴ACBC=CDCE=∵CB=3AC,∴CE=3CD,BE=3AD,设AD=m,则BE=3m,∵A、B两点在二次函数y=x2的图象上,∴A(-m,m2),B(3m,9m2),∴OD=m2,OE=9m2,∴ED=8m2,而CE=3CD,∴CD=2m2,∴OC=3m2,∴C(0,3m2),∵P为CB的中点,∴P32∴x∴y=83x2故答案为:y=83x2解法二:分别过A、P、B作y轴的垂线,垂足分别为E、F、G,则△AEC∽△BGC,△AEC∽△PFC,设A(a,a2),∵BC=3AC,∴B(-3a,9a2),∴GE=8a2,CE=2a2,GC=6a2.∵P为BC的中点,∴PC=12BC,∴PCAC=∴PF=-32a,FC=32CE=3a∴FO=6a2,∴P-3∵P点坐标为(x,y),∴x=-32a,即a=-23∴y=6a2=83x2.解后反思本题是一道二次函数综合题,考查相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系中中点坐标的表示,二次函数图象上点的坐标的特征等知识点,解决本题需要根据点的坐标的特点设坐标,运用相似三角形的性质表示点P的坐标即可解决问题.三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等)19.(2021江苏无锡,19,8分)计算:(1)-12-(-2)3+sin30(2)4a-a19.解析(1)原式=12+8+=1+8=9.(2)原式=82a=-=-1220.(2021江苏无锡,20,8分)(1)解方程:(x+1)2-4=0;(2)解不等式组:-20.解析(1)∵(x+1)2-4=0,∴(x+1)2=4,∴x+1=±2,解得:x1=1,x2=-3.(2)-由①得,x≥1,由②得,x<3,故不等式组的解集为:1≤x<3.21.(2021江苏无锡,21,8分)已知:如图,AC、DB相交于点O,AB=DC,∠ABO=∠DCO.求证:(1)△ABO≌△DCO;(2)∠OBC=∠OCB.21.证明(1)在△ABO和△DCO中,∠∴△ABO≌△DCO(AAS).(2)由(1)知,△ABO≌△DCO,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.22.(2021江苏无锡,22,8分)将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在盒子中,搅匀后从中任意取出1张卡片,记录后放回、搅匀,再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)(1)取出的2张卡片数字相同;(2)取出的2张卡片中,至少有1张卡片的数字为“3”.22.解析(1)画树状图如图:共有16种等可能的结果,取出的2张卡片数字相同的结果有4种,∴取出的2张卡片数字相同的概率为P=416=1(2)共有16种等可能情况,至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种,∴P=71623.(2021江苏无锡,23,8分)某企业为推进全民健身活动,提升员工身体素质,号召员工开展健身锻炼活动,经过两个月的宣传发动,员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况,现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数,并将调查所得的数据整理如下:某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表锻炼次数x(代号)0<x≤5(A)5<x≤10(B)10<x≤15(C)15<x≤20(D)20<x≤25(E)25<x≤30(F)频数10a68c246频率0.05b0.34d0.120.03(1)表格中a=;

(2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据)(3)请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人.某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图23.解析(1)a=200×21%=42(人),故答案为:42.(2)b=21%=0.21,C组所占的百分比是:0.34=34%,D组所占的百分比是:1-0.05-0.21-0.34-0.12-0.03=0.25=25%.扇形统计图补充完整如图:(3)1500×(0.34+0.25+0.12+0.03)=1110(人).答:估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人.24.(2021江苏无锡,24,8分)如图,已知锐角△ABC中,AC=BC.(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作∠ACB的平分线CD;作△ABC的外接圆☉O;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若AB=485,☉O的半径为5,则sinB=.(如需画草图,请使用图2图1图224.解析(1)如图所示,(2)连接OB,∵AB=485,∴BD=24∵OB=5,∴OD=OB2-∴CD=325,∴tanB=CDBD=43,∴sinB25.(2021江苏无锡,25,8分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,AC与BD交于点E,PB切☉O于点B.(1)求证:∠PBA=∠OBC;(2)若∠PBA=20°,∠ACD=40°,求证:△OAB∽△CDE.25.证明(1)∵PB为切线,∴∠OBP=90°,即∠OBA+∠PBA=90°,∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∴∠OBA+∠OBC=90°,∴∠PBA=∠OBC.(2)∵∠PBA=20°,由(1)可知,∴∠OBC=∠PBA=20°.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=20°,∴∠AOB=40°.∵∠ACD=40°,∴∠AOB=∠ACD.∵∠BDC和∠BAC均为BC所对圆周角,∴∠BDC=∠BAC,∴△OAB∽△CDE.26.(2021江苏无锡,26,8分)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,某单位工会决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件.(1)求一、二等奖奖品的单价;(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方案?26.解析(1)设一等奖奖品单价为4x元,则二等奖奖品单价为3x元,依题意得:6004x+1275解得:x=15,经检验,x=15是原方程的解,且符合题意,∴4x=60,3x=45.答:一等奖奖品单价为60元,二等奖奖品单价为45元.(2)设购买一等奖奖品m件,二等奖奖品n件,依题意得:60m+45n=1275,∴n=85-∵m,n均为正整数,且4≤m≤10,∴m=4,n=23∴共有3种购买方案,方案1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品;方案2:购买7件一等奖奖品,19件二等奖奖品;方案3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品.27.(2021江苏无锡,27,10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=ax2+2x+c的图象过B、C两点,且与x轴交于另一点A,点M为线段OB上的一个动点,过点M作直线l平行于y轴交BC于点F,交二次函数y=ax2+2x+c的图象于点E.(1)求二次函数的表达式;(2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时,求线段EF的长度;(3)已知点N是y轴上的点,若点N、F关于直线EC对称,求点N的坐标.27.解析(1)∵直线y=-x+3,∴B(3,0),C(0,3),代入抛物线y=ax2+2x+c,得9解得a∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(2)如图:令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),∴AB=4,BC=32.∵OB=OC,∴∠OBC=45°.∵FM⊥OB,∴∠CFE=∠MFB=45°,∴∠CFE=∠ABC.∴若以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,则F和B为对应点.设E(m,-m2+2m+3),则F(m,-m+3),∴EF=-m2+3m,CF=2m.①当△ABC∽△CFE时,EFCF=CB即-m2+3解得m1=0(舍),m2=32∴EF=-m2+3m=94②当△ABC∽△EFC时,EFCF=AB即-m2解得m1=0(舍),m2=53∴EF=-m2+3m=209综上所述,EF=94或20(3)连接NF,如图:∵点N、F关于直线EC对称,∴∠NCE=∠FCE,CF=CN,∵EF∥y轴,∴∠NCE=∠CEF,∴∠FCE=∠CEF,∴CF=EF=CN,由(2)知:设E(m,-m2+2m+3),则F(m,-m+3),EF=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m,CF=2m,∴-m2+3m=2m,解得m=0(舍去)或m=3-2,∴CN=CF=2m=32-2,∴N(0,32+1).解题关键本题是一道二次函数的综合应用题,考查待定系数法求二次函数解析式、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称变换等知识点,解题的关键是根据题意设点的坐标,用含字母的代数式表示所求的线段长度,运用方程的思想解决问题.28.