高等数学（上册） 课件 第3章 中值定理与导数的应用 第5节

第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C中值定理与导数的应用Advancedmathematics高等数学（上册）e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、经济应用问题举例一、函数的最值目录/Contents第五节函数的最值及其在经济分析中的应用一、函数的最值在经济问题中,

我们常常会遇到这样的问题,

怎样才能使多”、“成本最低”、“利润最大”这样的问题在数学中有时可归纳为求某一函数的最大值或最小值问题.定义3.5设函数在区间上有定义,对于区间上的任意点及某点均有,

则称是函数在区间上的最大值,称是函数在区间上的最大值点,对于区间上的任意点及某点均有,则称是函数在区间上的最小值,称是函数在区间上的最小值点.“产品最“用料最省”、.等等一、函数的最值函数的最大值和最小值统称为函数的最值,函数的最大值点和最小值点统称为函数的最值点.若函数在闭区间上连续,则根据闭区间上连续函数的性质,它一定能取得最大值和最小值至少各一次.显然,函数的最值是指某区间上的最大值和最小值,是整体性概念；函数的极大值和极小值是某点邻域内的最大值和最小值,是局部性概念.对于可导函数而言,其在区间上的最值要么在区间端点处取得,要么在区间内取得,这时有.一、函数的最值求连续函数在闭区间上最值的步骤如下：①求出在内或不存在的点,

记为；②计算函数值；③最大值,最小值.一、函数的最值【例1】求函数在上的最值.解由,令,得,.列表如下:所以函数的最大值,最小值.一、函数的最值【例2】求在上的最值.解由,令,得,又不存在的点,列表如下:所以函数的最大值,最小值.一、函数的最值当函数在上连续,且在内存在唯一极值点时,则此极值点即为函数在上的最值点.在处理实际问题中的最大值和最小值时,应建立目标函数（即求其最值的那个函数）,并确定其定义区间,将问题转化为函数的最值问题.特别地,如果所考虑的实际问题存在最大值或最小值,并且所建立的目标函数有唯一的驻点,则即为所求的最大值或最小值.一、函数的最值【例3】设有一块边长为的正方形薄铁皮,从其四角截去同样的小正方形,做成一个无盖的方盒.问截去的小正方形边长为多少时,做成的解设截去的小正方形边长为,则所做成方盒的容积为,.由,令,得内的唯一驻点.由,知所以当时,容积取得最大值.,盒子的容积最大?一、函数的最值【例4】从半径为的圆形铁片上截下中心角为的扇形,做成一圆锥形的漏斗.问取多大时,漏斗的容积最大？解设所做漏斗的底面半径为,高为,则,,漏斗的容积为,.求导得,令,得唯一驻点.由,知,即当时,取得最大值,此时因此,当时,漏斗的容积最大.,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、经济应用问题举例一、函数的最值目录/Contents第四节函数的最值及其在经济分析中的应用二、经济应用问题举例1.最大利润问题【例5】设某企业每周生产某产品件的总成本为（单位：百元）,需求函数,其中是产品的单价.问每周生产多少件该产品时,该企业获利最大？解设产量为件的总收益函数为,总利润函数为,最大利润为多少？则,.二、经济应用问题举例求导得,令,得唯一驻点.因为,所以,当时,取得最大值.最大利润为（百元）.二、经济应用问题举例【例6】设某厂生产某种产品件的总成本函数(万元),又价格函数为,其中为产品的价格,若需求量等于产量.(1)求需求对价格的弹性；(2)问当产量为多少时,总利润最大?并求最大总利润.解(1)需求对价格的弹性.二、经济应用问题举例(2)总利润,,令,而又因为,所以,当产量为件时,总利润最大,最大总利润为万元.得唯一驻点,二、经济应用问题举例2.最大收益问题【例7】设某商品的需求量是价格的函数.问为何值时,总收益最大？解总收益函数,,令,则得唯一驻点.又因为,所以,当时,总收益取得最大值.最大总收益为.二、经济应用问题举例3.经济批量问题【例8】设某商场每月均匀销售某种商品件,每件的成本价为元,年保管费率为,而每次的订货费为元.问每批进货多少件时,库存费与订货费之和最低？解设每批进货量为件,则每月的库存费为,每月的订货费为,所以每月的库存费与订货费之和为,.二、经济应用问题举例由,令,得唯一驻点.又因为,所以,当时,取得极小值即最小值.最小值元.二、经济应用问题举例4.最大税收问题【例9】某种商品数量为单位的平均成本,价格函数为,国家向企业每件商品征税为.(1)生产多少商品时,企业利润最大?(2)在企业取得最大利润的情况下,为何值时能使总税收最大?解(1)总成本函数,