人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题11 期末真题百练通关(100题)

专题11期末真题百练通关（100题）选填小压轴解答压轴题型1角度问题题型5参数问题题型2多解问题题型6几何证明与计算大综合题型3最值问题题型7坐标系中的综合题题型4多结论问题题型8方程的综合应用题型一角度问题1．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图是一张台球桌的桌面示意图，一个球从桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹滚向桌边RS，碰着RS上的点C后便反弹滚向点D．已知PQ∥SR，滚动路径AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于SR．若∠ABP=48°，则∠DCR的度数为（

）A．42° B．48° C．52° D．58°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质．由垂直的定义得到∠PBN=90°，进而求出∠ABN=42°，利用角平分线性质求出∠CBN=42°，依据平行线和垂直关系推出CM∥BN，得到∠MCB=∠CBN=42°，再由角平分线性质确定∠MCD=42°，最后根据CM⊥RS，用∠MCR减去∠MCD得出∠DCR度数．【详解】解：∵BN⊥PQ，∴∠PBN=90°，∵∠ABP=48°，∴∠ABN=∠PBN−∠ABP=42°，∵∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于SR，∴∠CBN=∠ABN=42°，CM⊥RS，BN⊥PQ，∵PQ∥∴CM∥BN，∴∠MCB=∠CBN=42°，∵CM平分∠BCD，∴∠MCD=∠MCB=42°，∵CM⊥SR，∴∠MCR=90°，∴∠DCR=∠MCR−∠MCD=90°−42°=48°．故选：B．2．（25-26七年级上·江西九江·期末）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，∠ABE=∠GBF，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=42°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即∠CBG=90°）射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC等于（

）A．48° B．54° C．61° D．66°【答案】D【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据BM⊥CD，得∠CBM=90°，所以∠ABE+∠FBM=48°，再根据∠ABE=∠FBM，得∠ABE=∠FBM=24°，即可得∠EBC=24°+42°=66°．【详解】解：如图，∵BM⊥CD，∴∠CBM=90°，∵∠ABC=42°，∴∠ABE+∠FBM=180°−90°−42°=48°，∵∠ABE=∠FBM，∴∠ABE=∠FBM=24°，∴∠EBC=24°+42°=66°．故选：D．3．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，点A在点B的北偏西65°方向上，点B在点C的北偏东35°方向上，则∠ABC的度数为（）A．35° B．65° C．80° D．90°【答案】C【分析】本题考查方向角，平角的概念，理解方向角、平角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义，平角的定义进行计算即可．【详解】解：如图，由题意得，∠ABN=65°，∵BN∥CM，∴∠SBC=∠BCM=35°，∴∠ABC=180°−65°−35°=80°，故选：C．4．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，将一块含30°的直角三角板的一个顶点刚好落在一块直尺的一条边上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）．A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，解答即可．本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：如图，∵a∥b，∠1=20°，∠1+∠3=60°∴∠3=∠2=60°−20°=40°．故选：C．5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，已知直线AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的两点．点H在直线AB的上方，∠CFG:∠CFH=1:3，EB平分∠HEG，当∠G−∠H=80°时，则A．10° B．15° C．18° D．20°【答案】D【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过H作HQ∥AB，过G作GK∥CD，设∠CFG=α，∠HEB=β，可得【详解】解：如图，过H作HQ∥AB，过G作GK∥CD，设∵∠CFG:∠CFH=1:3，EB平分∠HEG，∴∠CFH=3α，∠HEB=∠BEG=β，∵AB∥∴QH∥∴∠QHF=180°−3α，∠QHE=∠HEB=β，∠KGF=∠CFG=α，∠EGK=180°−β，∴∠EGF=180°−β+α，∠EHF=180°−3α−β，∵∠EGF−∠EHF=80°，∴180−β+α−180+3α+β=80，解得：α=20，∴∠CFG=20°，故选：D6．（24-25七年级下·山东威海·期末）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AD′，D′E′，D′C．此时D′E′∥BCA．56° B．62° C．124° D．112°【答案】A【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．由AD∥BC，D′E′∥BC，可得AD∥D【详解】解：∵AD∥BC，D′∴AD∥D∴∠ADD∵DD′平分∴∠ADC=2∠ADD∵AD∥BC，∴∠ADC+∠DCB=180°，∴∠DCB=56°故选：A．7．（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=135°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，过E作EM∥AB，得到EM∥CD，推出【详解】解：过E作EM∥∵AB∥∴EM∥∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∠ABE+∠BEM+∠CDE+∠DEM=360°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∵∠ABE=135°，∠CDE=145°，∴∠BED=80°．故选：C．8．（2025·四川德阳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE=67°，∠CEF=133°，则∠DAB的度数为（A．57° B．66° C．114° D．113°【答案】C【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出∠CED=∠BCE=67°,∠ADE=∠DEF，求出∠DEF=133°−67°=66°．即可得到∠ADE的度数，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵AB∥∴∠CED=∠BCE=67°，∠DAB=180°−∠ADE，∵∠CEF=133°，∴∠DEF=133°−67°=66°，∵AD∥∴∠ADE=∠DEF=66°，∴∠DAB=180°−∠ADE=114°；故选：C．题型二多解问题9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如果∠A与∠B的两条边分别平行，且∠A的度数是∠B的度数的4倍少60°，那么∠A的度数为_______．【答案】132°或20°【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是正确画出图形，避免遗漏．根据题意，画出不同的图形进行分情况讨论求解．【详解】解：如图①，由∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A=∠1,∠B=∠1，∴∠A=∠B，∴∠A+60°=4∠B=4∠A，∴∠A=20°；如图②，由∠A与∠B的两边平行，∴∠B=∠2，∠A+∠2=180°，∴∠B=∠2=180°−∠A，∴∠A+60°=4∠B=4180°−∠A∴∠A=132°；故答案为：132°或20°．10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，∠C=30°，∠CDO=60°；∠OAB=∠OBA=45°的直角顶点O按图1方式叠放在一起．△COD绕着点O顺时针旋转∠α（0°<∠α<180°），旋转的速度为每秒10°，当旋转时间为t为___________秒，△COD有一边与边AB平行．【答案】4.5或13.5或16.5【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键．根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解．【详解】解：如图所示，OD∥AB，∴∠B=∠BOD=45°，∵△COD绕着点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒10°，∴OD从OB顺时针旋转45°的时间为4510如图所示，OC∥AB，∴∠B=∠BOC=45°，∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠AOB+∠BOC=90°+45°=135°，∴所需时间为13510如图所示，CD∥AB，过点O作OF∥AB，∴AB∥OF∥CD，∴∠B=∠BOF=45°,∠C=∠COF=30°，∴∠BOC=45°+30°=75°，∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠AOB+∠BOC=90°+75°=165°，∴所需时间为16510如图所示，OD∥AB，∴∠A=∠AOD=45°，∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为360°−45°−90°=225°>180°，故此种情况不符合题意，舍去；如图所示，CD∥AB，设AB,OD交于点E，∴∠AEO=∠D=60°=∠B+∠BOE，∴∠BOE=60°−45°=15°，∵∠BOE+∠AOE=∠AOE+∠AOC=90°，∴∠BOE=∠AOC=15°，∴△COD绕点O顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为360°−15°=345°>180°，故此种情况不符合题意，舍去；综上所述，当t=4.5s或t=13.5s或16.5s时，△COD故答案为：4.5或13.5或16.5．11．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点A2−a,3a−8到两条坐标轴的距离相等，则a的值是__________【答案】52【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此可得2−a=【详解】解：∵点A2−a,3a−8∴2−a=∴2−a=3a−8或2−a=8−3a解得a=52或故答案为：5212．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点A(−1,2)，若线段AB与x轴平行，A、B两点的距离为3，则B的坐标为______．【答案】2,2或−4,2．【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差值的绝对值，进行求解即可．【详解】解：∵线段AB与x轴平行，且AB=3，点A的坐标为(−1,2)，∴设Ba,2∴a−−1∴a=2或a=−4；故答案为：2,2或−4,2．13．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，若x轴上的点P到y轴的距离为5，则点P的坐标是______．【答案】5,0或−5,0【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，平面直角坐标系坐标的特点，由点P在x轴上，则纵坐标为0，设Px,0，根据点P到y轴的距离为5，则x=5，求出【详解】解：由点P在x轴上，则纵坐标为0，设Px,0∵点P到y轴的距离为5，∴x=5∴x=±5，∴P的坐标为5,0或−5,0，故答案为：5,0或−5,0．14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班50名学生分成4人或6人学习小组，则分组方案有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】D【分析】设可以分成x个4人组，y个6人组，根据总人数为50，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，可得出分组方案有4种．【详解】解：设可以分成x个4人组，y个6人组，根据题意得：4x+6y=50，∴x=25−3y又∵x，y均为非负整数，∴x=11y=1或x=8y=3或x=5∴分组方案有4种．15．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线AC上，且ED∥AC，DF与AB相交于点G，其中∠ACB=90∘，∠ABC=60∘，(1)求此时∠DGA的度数；(2)如图2，若三角板DEF绕F点按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时(3)在（2）的条件下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒3∘的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当0<t≤60时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板DEF的某一条边与AB平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的t【答案】(1)75°(2)15°(3)存在，t的值为15秒或45秒或60秒【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键．（1）过G作GH∥AC，由平行线的性质得出∠DGH=∠EDF=45°,（2）过F作FH∥AB．由平行线的性质得出∠DFH=∠EDF=45°,（3）分三种情况：当EF∥AB时，当DF∥【详解】（1）解：如图，过G作GH∥∵GH∥AC，ED∴ED∥∴∠DGH=∠EDF=45°,∴∠DGA=∠DGH+∠AGH=45°+30°=75°；（2）解：如图，F作FH∥∵FH∥AB，ED∴ED∥∴∠DFH=∠EDF=45°,∴∠DFA=∠DFH−∠AFH=45°−30°=15°；（3）解：分三种情况：当EF∥∵EF∥AB，∠BAC=30°∴∠EFA=180°−∠BAC=150°，∴∠DFA=∠EFA−∠EFD=150°−90°=60°，∴3t+15=60，解得t=15；当DF∥∵DF∥AB，∠BAC=30°∴∠DFA=180°−∠BAC=150°，∴3t+15=150，解得t=45；当DE∥AB时，过F作∵FG∥AB，ED∴ED∥∴∠AFG=180°−∠BAC=150°，∠GFD=∠EDF=45°，∴∠DFA=∠DFH−∠AFH=45°−30°=15°；∴3t=150+45−15，解得t=60；综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板DEF的某一条边与AB平行的情况．16．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离中的最大值等于Q点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．已知点(1)在点E0,5，F(2)若点B的坐标为m,3，且A，B两点为“等距点”，求点(3)若T1−2,−k−3，【答案】(1)G(2)4,3或−4,3(3)3或9【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．（1）找到x、y轴距离最大为4的点即可；（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；（3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．【详解】（1）解：∵点A的坐标为−4,2，∴点A到x轴、y轴的距离中的最大值为4，∵点E0,5，F−2,3，∴点A等距的点是G1,4故答案为：G（2）∵A，B两点为“等距点”，点A到x轴、∴点B到x轴、y轴的距离中的最大值为4，∵点B的坐标为m,3，∴m=4∴m=±4，∴点B的坐标为4,3或−4,3；（3）解：若2k−6≥6，此时k≥6或k≤0∵T1∴2k−6=解得：k=9或1（舍去）；若2k−6<6，此时0<k<6∵T1∴−k−3=6解得：k=3或−9（舍去）；综上所述，k的值为3或9．17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值A,B如下：若O，A，B在一条直线上，A,B=0；若O，A，B不在一条直线上，A,B=S△OAB（且S△OAB>0）．已知点A坐标为

(1)A,B=(2)若P,A=0，P,B=1，则点(3)若P,A=2P,B，且点P的纵坐标为2，求点(4)若点A和点B的关联值满足P,A=P,B，请在平面直角坐标系中画出满足条件的所有的点【答案】(1)8(2)12,0(3)P1,2或P(4)见详解【分析】本题考查了，坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想解决问题．（1）根据题中的定义直接回答即可；（2）由[P,A]=0可得点P在x轴上，由[P,B]=1可得S△POB=1，据此求出点（3）设点P的坐标为：a,2，分别求出P,A=S△OPA=12（4）根据[P,A]=[P,B]可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图象即可．【详解】（1）解：∵点A坐标为4,0点B坐标为∴[A,B]=S故答案为：8，（2）解：∵[P,A]=0，∴点P在x轴上，∵[P,B]=1∴S△POB设Pt,0∴12解得：t=±1∴P12,故答案为：12,0（3）解：设点P的坐标为：a,2，P,A=S△O∵P,A∴4=2×2a∴a=1∴a=±1，∴P1,2或P（4）解：解：设点P坐标为x,y，则：P,∴x=∴y=x或y=−x，即为一三象限和二四象限的角平分线．画图如下：18．（22-23七年级下·四川南充·期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：【问题情境】在平面直角坐标系中不重合的两点Mx1,若x1=x2，则MN∥若y1=y2，则MN∥【实践操作】（1）根据上面的结论，填空．①已知：点E5,−2、点F5,2，则EF的长度为②若点M−1,1、Nn+1,n，且MN∥x轴，【拓展应用】（2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段AB至线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点D），连接AC、BD．若A−4,0，B−1,2，C−1,b①直接写出a、b的值；②是否存在点Pt,12t，使三角形PBC的面积等于三角形BCD【答案】（1）①4；②3；（2）①a=2，b=−4；②存在，点P的坐标为5,5【分析】（1）①由题意知EF∥y轴，可得②由MN∥x轴可得n=1，继而得到N2,1（2）①根据平移的性质及点的坐标可知线段AB向右平移3个单位再向下平移4个单位得到线段CD，即可得a、b的值；②分别表示出三角形PBC的面积为3t+1，三角形BCD的面积为9，可得3【详解】解：（1）①∵点E5,−2、点F5,2∴EF∥∴EF=−2−2即EF的长度为4，故答案为：4；②∵点M−1,1、Nn+1,n，且∴n=1，∴N2,1∴MN=−1−2即MN的长度为3，故答案为：3；（2）①∵平移线段AB至线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点），A−4,0，B−1,2，C−1,b又∵点A的横坐标−4加3得到点C的横坐标−1，点B的纵坐标2减4得到点D的纵坐标−2，∴线段AB向右平移3个单位再向下平移4个单位得到线段CD（点A、点B的对应点分别是点C、点），∴a=−1+3=2，b=0−4=−4；②∵B−1,2，C−1,−4，D2,−2∴BC∥∴三角形PBC的面积为：12三角形BCD的面积为：12∵三角形PBC的面积等于三角形BCD面积的2倍，∴3t+1解得：t=5或t=−7，∴点P的坐标为5,52或−7,−72【点睛】本题考查坐标与图形，两点间距离，点坐标平移的规律，三角形的面积等知识点，正确理解两点间的距离的意义是解题的关键．19．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含30°的直角三角板POM（其中∠MOP=90°，∠OPM=30°）按图1所示放置，使得直角三角板的一边MO落在直线AB上．过顶点P作直线EF∥AB，作直线CD∥MP，分别交直线AB，EF于点G，H．

(1)如图1，求∠CGB的度数为°；(2)如图2，将直角三角板POM绕顶点M逆时针旋转，旋转角为β，且0°<β<135°，在旋转过程中，直线AB，CD位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化．①当点P在直线AB下方时，试猜想∠OPF和∠OMB的数量关系，并说明理由；②当直角三角板的一边与直线CD平行时，求旋转角β的度数．(3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板POM的旋转速度是每秒5°，旋转时间为t秒，作MN平分∠BMP，作MK平分∠OMN，当射线MP平分∠KMN时，求t的值．【答案】(1)120(2)①∠OPF=90°+∠OMB，证明见解析；②β=30°或120°(3)20【分析】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键．（1）直接利用平行线的性质结合三角形内角和即可求解；（2）①设AB与OP交于点Q，由EF∥AB，可得∠OPF=∠OQB，再利用补角和三角形内角和得出∠OQB=∠OMQ+90°即可；②由（1）可知∠BGD=60°，然后分情况讨论：当OP∥CD时；当OM∥CD时；当MP∥CD时；三种情况分别得出结论即可；（3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用MP平分∠KMN，MN平分∠BMP，设∠NMP=∠KMP=∠BMN=x，再利用MK平分∠OMN和∠KMN=∠KMP+∠NMP列式求出x即可计算．【详解】（1）解：∵CD∥MP，∴∠BGD=∠OMP=90°−∠OPM=60°，∴∠CGB=180°−∠BGD=120°；（2）解：①∠OPF=90°+∠OMB，理由如下：如图所示，设AB与OP交于点Q，

∵EF∥AB，∴∠OPF=∠OQB，∵∠OQB=180°−∠OQM=180°−180°−∠MOQ−∠OMQ∴∠OPF=90°+∠OMB；②由（1）可知，∠BGD=60°，当OP∥CD时，如图所示，设AB与OP交于点Q，

∵OP∥CD，∴∠BQP=∠BGD=60°，∴∠OQM=∠BQP=60°，∵∠MOP=90°，∴β=∠OMB=180°−∠OQM−∠MOP=30°；当OM∥CD时，如图所示，

∵OM∥CD，∴∠OMA=∠BGD=60°，∴β=∠OMB=180°−∠OMA=120°；当MP∥CD时，β=180°>135°（舍)，综上，β=30°或120°；（3）解：当点P在直线AB下方时，如图，

此时MP在∠KMN外部，故不存在MP平分∠KMN，当点P在直线AB上方时，如图，

∵MP平分∠KMN，MN平分∠BMP，∴设∠NMP=∠KMP=∠BMN=x，∵∠OMP=60°，∴∠OMN=∠OMP+∠PMN=60°+x，∵MK平分∠OMN，∴∠KMN=∠OMN∴∠KMN=∠KMP+∠NMP=2x，∴60°+x2解得：x=20°，∴旋转角∠OMB=∠OMP+∠PMN+∠BMN=60°+20°+20°=100°，∴旋转时间t=100÷5=20s20．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB<90°，Q是a，b之间且在折线(1)若∠1=30°，∠P=84°，则∠2=______度；(2)若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由：(3)若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．【答案】(1)54°(2)∠Q=∠1+∠2或∠Q=180°−∠1−∠2，理由见解析(3)∠EQG=90°+∠1+∠2【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．（1）如图1，过P作PC∥（2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到∠P=∠MQN，从而有∠MQN=∠1+∠2，由根据平角的定义即可得到结论；（3）由垂直的定义得到∠QEP=90°，由平行线的性质得到∠QFE=∠P，根据平角的定义得到结论．【详解】（1）解：如图1，过P作PC∥∴∠1=∠APC=30°，∴∠BPC=∠APB−∠APC=54°∵a∥∴PC∥∴∠2=∠BPC=54°；（2）如图2，∵QM∥∴∠MQN+∠QNP=180°，∠P+∠QNP=180°∴∠P=∠MQN，∵由（1）知，∠P=∠1+∠2，∴∠MQN=∠1+∠2∴∠EQN=180°−∠MQN=180°−∠1−∠2；即∠Q=∠1+∠2或∠Q=180°−∠1−∠2；（3）解：如图3，∵QE⊥AP，∴∠QEP=90°，∵QF∥∴∠QFE=∠P，∵由（1）知，∠P=∠1+∠2，∴∠EQF=90°−∠QFE=90°−∠1−∠2，∴∠EQG=180°−∠EQF=90°+∠1+∠2．21．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图1，直线AB∥CD，直线GH与AB,CD分别交于点E,F,∠GFD=α．三角形PMN的两个顶点P，M分别在AB,CD上，∠NMP=50°，作∠MPE的平分线交CD于点Q,∠PQC=β．(1)若∠PNM=2∠APN=100°，求证：MN平分∠CMP；(2)若MN∥PQ∥GH，求α的值；(3)如图2，若PQ与GH不平行，保持MN∥GH，将三角形PMN向右平移，如果此时α=110°，直接写出平移过程中β的值．【答案】(1)详见解析(2)130°(3)60°或150°【分析】本题考查了平行线的性质求角度，邻补角，角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据角平分线以及平行线的性质求出∠CMN=∠MNK=∠NMP=50°，即可证明角平分线；（2）根据MN∥PQ，AB∥CD，以及PQ∥GH，最后得到∠EFC=β=50°，再根据邻补角互补求角度；（3）分两种情况讨论，点P在GH左侧，点P在GH右侧，分别利用平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：如图1，作NK∥AB交PM于点K，则∠APN=∠PNK．∵∠PNM=2∠APN=100°，∴∠APN=∠PNK=50°，∴∠MNK=∠PNM−∠PNK=100°−50°=50°∵AB∥CD,NK∥AB，∴CD∥NK．∴∠CMN=∠MNK=50°∵∠NMP=50°，∴∠NMP=∠CMN，即MN平分∠CMP．（2）解：∵MN∥PQ，∴∠MPQ=∠NMP=50°．∵PQ平分∠MPE，∴∠EPQ=∠MPQ=50°∵AB∥CD，∴β=∠EPQ=50°．∵PQ∥GH，∴∠EFC=β=50°，∴α=180°−∠EFC=180°−50°=130°．（3）解：60°或150°当点P在GH左侧时，如图2，∵MN∥GH,α=110°，∴∠NMC=∠EFC=70°∴∠PMC=∠NMC+∠NMP=70°+50°=120°．∵PQ平分∠MPE．∴∠EPQ=∠MPQ,∵AB∥CD．∴∠EPQ=β，∴∠MPE=2β，∵AB∥CD，∴∠MPE=∠PMC，即2β=120°，得β=60°．当点P在GH右侧时，如图3，∵MN∥GH，∴∠NMD=110°，∴∠PMD=60°，∵PQ平分∠MPE．∴∠EPQ=∠MPQ，∵AB∥CD．∴∠EPQ=180°−β，∴∠MPE=2180°−β∵AB∥CD，∴∠MPE=∠PMD，即360°−2β=60°，得β=150°．当点P在GH上时，点P，E重合，不存在∠MPE．综上可知，β=60°或150°．22．（23-24七年级下·北京·期中）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK,∠AEF=α(1)如图1，当α=70°时，∠GFK=°；(2)点P为射线EF上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．【答案】(1)55(2)①∠PNC−∠BMP=90°，②−α2【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键．（1）结合题目条件，求出∠DFK=110°，继而得解；（2）①过点P作AB∥PQ，则AB∥②分PN∥FG和【详解】（1）∵AB∴∠KFC=∠FEA=α，∵α=70°，∴∠KFC=70°，∴∠DFK=180°−70°=110°，∵FG平分∠DFK，∴∠GFK=1故答案为：55；（2）①过点P作AB∥则AB∴∠AMP+∠MPQ=180°，∵PN⊥PM，∴∠MPN=90°，即∠MPQ+∠QPN=90°，∴∠QPN=90°−∠QPM=90°−∠BMP∵∠PNC+∠NPQ=180°，∴∠PNC+(90°−∠BMP)=180°，∴∠PNC−∠BMP=90°，②当PN∥∵AB∥∴∠CFK=∠AEF=α∴∠DFK=180°−α，∵FG平分∠DFK∴∠DFG=∵PN∥∴∠PNF=∠GFD=90当PM∥∵AB∥∴∠CFK=∠AEF=α，∴∠NFP=∠DFK=180°−α，∵FG平分∠DFK∴∠KFG=∵PM∴∠KPM=∠KFG=90°−a∵PN⊥PM，∴∠NPF=90°−∠KPM=∴∠PNF=180°−∠NPF−∠NFP=180°−=a故∠PNF的度数为90°−a2或题型三最值问题23．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知a+b+c=6，3a−b+c=4，且b≤c，若m=a+b−2c，则m的最大值为（

）A．−2 B．1 C．0 D．−1【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，三元一次方程组；通过联立方程消元，将a,c用b表示，再结合条件b≤c确定变量范围，即可求出最大值．【详解】解：a+b+c=6，3a−b+c=4，两式相减得：3a−b+c−∴a−b=−1将a=b−1代入a+b+c=6，得：b−1+b+c=6,即2b+c=7；∴c=7−2b，∵b≤c，∴b≤7−2b，解得b≤7∴m=a+b−2c=b−1+b−27−2b∴6b≤14，∴6b−15≤14−15=−1，∴m≤−1，∴m的最大值为：−1．故选：D．24．（24-25七年级下·山东德州·期末）如果x=2y=1是方程3ax+2by=20的解，a，bA．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于a和b的二元一次方程，再求解．把方程的解代入，则可得到一个关于a和b的二元一次方程，解答即可．【详解】解：∵x=2y=1是方程∴6a+2b=20，∴∴a=∵a，b是正整数，∴a=3b=1或a=2b=4∴a+b的最大值是1+7=8．故选：C．25．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____．【答案】B45【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法．仿照三元一次方程组的解法求解．【详解】解：根据题意，得A+B=55B+C=65解得：A=10B=45所以B最大，最大值为45；故答案为：B，45．26．（24-25七年级下·江西南昌·期末）若关于x的不等式组x>1x<a有且只有三个整数解，则a的最大值是（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，根据不等式组的解集范围，利用整数解的个数确定a的取值范围，进而求出a的最大值。【详解】解：根据题意，不等式组的解集为1<x<a。∵该解集有且只有三个整数解，x>1，∴最小的整数解为2，后续整数依次为3、4，∴三个整数解分别为2、3、4，若a=4时，解集为1<x<4，整数解为2、3，不符合题意，若a=5时，解集为1<x<5，整数解恰好为2、3、4，符合题意，综上，a的取值范围为4<a≤5，∴a的最大值为5．故答案选：C．27．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）已知关于x，y的方程组x−2y=3k2x+y=k+4满足x+3y≥0，则k的最大值是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键；通过将方程组中的两个方程相减，得到关于x+3y的表达式，再结合不等式x+3y≥0，转化为关于的一元一次不等式求解．【详解】解：x−2y=3k①用②减去①，得：2x+y−化简得：x+3y=−2k+4，由条件x+3y≥0，代入上式得：−2k+4≥0，解得：k≤2；因此，k的最大值为2；故选C．28．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a,b,c，满足a+b=8，c−a=10．若a≥−2b，则2a+b+c的最大值为（）A．30 B．32 C．34 D．50【答案】D【分析】根据题意，得a=8−b，c=18−b，根据a≥−2b，得出b≥−8，根据2a+b+c=34−2b，即可求解．【详解】解：∵a+b=8，c−a=10．∴a=8−b，c=10+a=10+8−b=18−b又∵a≥−2b，∴8−b≥−2b解得：b≥−8∴−2b≤16∴2a+b+c=28−b+b+18−b故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，得出2a+b+c=34−2b是解题的关键．29．（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知实数a，b满足3a+b=7，且a≥1，若m=a+3b，则m的最大值为________．【答案】13【分析】本题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b．根据题意，可得b=7−3a，则m=−8a+21，由a≥1，推导出−8a+21≤13，即可解答．【详解】解：由3a+b=7得b=7−3a，∴m=a+3b=a+3(7−3a)=−8a+21，∵a≥1，∴−8a≤−8，即−8a+21≤13，∴m≤13，则m的最大值为13．故答案为：13.30．（24-25七年级下·四川南充·期末）若关于x的不等式组x−m<04−x<0无解，关于x的不等式组2x−1<101−x<1−n的所有整数解之和为12，那么【答案】7【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集及整数解情况求出m、n的范围，继而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：由x−m<0可得，x<m，由4−x<0可得，x>4，∵关于x的不等式组x−m<04−x<0∴m≤4，由2x−1<10可得：由1−x<1−n可得：x>n，∵关于x的不等式组2x−1∴此不等式组的整数解为5、4、3或5、4、3、2、1、0、−1、−2，∴2≤n<3或−3≤n<−2，∴m−n的最大值为4−−3故答案为：7．题型四多结论问题31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，AB∥CD，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN．其中正确的是（

）A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG=30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行线的性质即可求出【详解】解：因为∠G=∠MPN=∠MPG=90°，所以GE∥MP，故①正确；因为∠GEF=60°，∠G=90°，所以∠EFG=30°，所以∠EFN=180°−30°=150°，故②正确；过点F作FH∥AB，如图所示：因为AB∥CD，所以FH∥CD，所以∠HFN=∠MNP=45°，所以∠EFH=150°−45°=105°，因为FH∥AB，所以∠BEF=180°−105°=75°，故③正确；因为∠GEF=60°，∠BEF=75°，所以∠AEG=180°−60°−75°=45°，所以∠AEG=∠PMN=45°，故④正确．综上分析可知：正确的是①②③④．故选：A．32．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交BC于点G，BG=2，EF=5，三角形BEG的面积为1，下列结论：①∠A=∠BED；②三角形ABC平移的距离是2；③BE=CF；④四边形GCFE的面积为4，正确的有（

）A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果．【详解】解：①∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，∴AB∥DE，∴∠A=∠GDC,∠BED=∠GDC，∴∠A=∠BED，故①正确，符合题意；②△ABC平移距离应该是BE的长度，由BE=BG，可知BE>2，故②错误，不符合题意；③由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，BE=CF，故③正确，符合题意；④∵△BEG的面积是1，BG=2，∴EG=1×2÷2=1，∵由平移知：BC=EF=5，∴CG=5−2=3，四边形GCFE的面积：5+3×1÷2=4故选：C．33．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由∠1+∠2=∠3+∠2=90°即可判断①；由∠CAD=∠1+∠2+∠3即可判断②；求出∠1=90°−∠2=60°=∠E即可判断③；求出∠3=90°−∠2=45°=∠B即可判断④．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正确；∵∠CAD=∠1+∠2+∠3，∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=∠BAC+∠DAE=180°，故②正确；如果∠2=30°，则∠1=90°−∠2=60°=∠E，故AC∥DE，故③正确；如果∠2=45°，则∠3=90°−∠2=45°=∠B，故BC∥AD，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．34．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5.将三角形ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到三角形DEF，连接AD．给出下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②ED⊥AC；③四边形ABFD的周长是16；④AD:EC=2:3．其中正确结论的个数是（A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】此题考查了平移的性质，先求解BC=5，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可．【详解】解：∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4，将三角形ABC沿直线BC向右平移2个单位得到三角形DEF，∴AD=BE=CF=2，AC∥DF,AB∥DE，AB=DE=3,AC=DF=4,BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，∴BF=5+2=7,EC=5−2=3，DE⊥DF，∴DE⊥AC，故①和②正确；∵四边形ABFD的周长=AB+AD+DF+BF，∴四边形ABFD的周长=3+4+2+7=16，故③正确；∵AD=2,EC=3，∴AD:EC=2:3，故④正确，故选：A．35．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，则下列结论：①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②④【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．①根据FE平分∠AFG，可设∠AFE=∠GFE=α，则∠AFG=2α，∠D=α，由平行线性质得∠BFD=∠D=α，∠EHC=∠D，FG⊥FD，然后根据∠AFG+∠GFD+∠BFD=180°得2α+90°+α=180°，由此解出α=30°，进而可对结论①进行判断；②由①可知∠D=30°，∠EHC=∠D=30°，据此可对结论②进行判断；③根据平行线的性质可得∠BFD=∠D=30°，∠GFD=90°，但题干未知∠HFD的大小，由此即可判断③；④由∠GFD=90°可知根据已知条件无法求出∠GFH=45°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：①∵FE平分∠AFG，∴设∠AFE=∠GFE=α，则∠AFG=2α，∵∠AFG=2∠D，∴∠D=α，∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=α，∠EHC=∠D，∵FD∥EH，FG⊥EH，∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，∵F为AB上一点，∴∠AFG+∠GFD+∠BFD=180°，即2α+90°+α=180°，解得：α=30°，∴∠D=α=30°，故结论①正确；②由①可知：∠D=30°，∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，故结论②正确；③根据已知条件无法求出FD平分∠HFB，故结论③错误；④∵∠GFD=90°，∴根据已知条件无法求出∠GFH=45°，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②．故选：B．36．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：AB∥CD,CD∥EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②AC⊥CE所以∠2+∠4=90°，然后根据两直线平行同旁内角互补可得∠2+∠BAC=180°，即∠2+2∠1=180°，联立可求得结果；③根据∠1+∠3=180°以及2∠1+∠2=180°，可求得结果；④根据∠2+【详解】解：∵AC⊥CE，∴∠2+∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠1，即∠BAC=2∠1，①∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥故①正确；②∵AB∥CD，∴∠2+∠BAC=180°，∴∠2+2∠1=180°，即∠2=180°−2∠1，∵∠2+∴180°−2∠1+∠4=90°，即2∠1−∠4=90°，故②正确；③由①可得AB∥∴∠BAE+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°，即∠1=180°−∠3，又AB∥CD，∴∠BAC+∠2=180°，即2∠1+∠2=180°，将∠1=180°−∠3代入2∠1+∠2=180°，化简可得：2∠3−∠2=180°，故③正确；④∵∠2+∠4∴2∠1−∠4=90°，∵∠1+∠3=180°，∴2180°−∠3∴2∠3+∠4=270°，故④正确；正确的个数共有4个，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．37．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列说法中：（1）若a>b>c>0，则a2>ab>bc；（2）若a、b都是正数，则ab<a+2b+2；（3）若a、b、c、d都是负数，且a>b，c>d，则ac<bd；（4）若a>b，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据不同条件，运用相应性质逐一分析每个说法是否正确，即可得出答案．【详解】解：（1）∵a>b>c>0，根据不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，∴a×a>a×b，b×b>b×c，a×b>b×c，∴a（2）a当a=b时，2a−bbb+2（3）∵a、b、c、d都是负数，且a>b,c>d,∴0<−a<−b，0<−c<−d，∴−a−c∴ac<bd，故（3）正确；（4）已知a>b，c>d，则−c<−d，当a=3，b=2，c=1，d=0时，a−c=3−1=2，b−d=2−0=2，∴此时a−c=b−d，故（4）错误；综上，（1）（3）正确，正确的结论个数是2个，故选：B．38．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=7−ax−2y=3a给出下列结论中正确的是（

①当a=1时，方程组的解也是方程x+2y=3的解；②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；③当a>−12时，A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了含参二元一次方程组中参数的确定，二元一次方程组的解法，解一元一次不等式等知识，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．解方程组得到x=a+2y=1−a【详解】解：解方程组2x+3y=7−ax−2y=3a，得x=a+2当a=1时，x=1+2=3，y=1−1=0，代入得到x+2y=3+2×0=3，满足方程x+2y=3，结论①正确；x+y=a+2+1−a若x>y，即a+2>1−a，解得：a>−1所以当a>−12时，综上，①②③均正确，故选：D．39．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于x的不等式组2x−1≥5x<2a−1①若不等式组无解，则a≤2；②若不等式组只有3个整数解，则3<a≤3.5A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确【答案】C【分析】本题考查了一元一次不等式组的特殊解，熟悉掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一判断即可．【详解】解：∵2x−1≥5，解得：x≥3，①若不等式组无解，则2a−1≤3，解得：a≤2，故①正确；②若不等式组只有3个整数解，则5<2a−1≤6，解得：3<a≤3.5；故选：C．40．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式A=−3x2+2x−5，B=2①若关于x的代数式mA+B不含一次项，则m=2②若A−B=−10，则3x③若4A+6B=5，则x=−52④若关于x的方程2A+3B=ax+15的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，负整数的概念．熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键．①mA+B，代入多项式A，B，根据不含一次项，使一次项系数为0，解方程求解即可判断①；②A−B=−10，先代入多项式A，B，化简，变形，即可判断②；③4A+6B=5，代入多项式A，B④2A+3B=ax+15，代入多项式A，B，化简，根据方程解为负整数，求不等式的负整数解，即可判断④．【详解】解：①∵A=−3x2+2x−5关于x的代数式mA+B=m=−3m=−3m+2∴2m−3=0，∴m=3∴①不正确；②若A−B=−3x则5x∴3x∴②正确；③若4A+6B==−10x−20则x=−52或∴③正确；④∵关于x的方程2A+3B=2=−6=−5x−10=ax+15的解为负整数，∴x=−25∴a>−5，∵a为非负整数，∴符合条件的a有0、20，共2个，∴④不正确∴正确的有②③，共2个．故选：B．41．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把a1a2a3①若214−xx>2，则②若整数m、n满足−2<4nm③若非负数x、y满足x−24y3=x正确的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键．根据运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式组，再结合整数m，n的条件可求出m，n的值，可判断②；根据运算法则建立方程组，再结合非负数x，y的条件可建立不等式组，求解后可判断③．【详解】解：①∵21∴2x−4−x解得：x>2，故原结论正确；②∵−2<4∴−2<4×2−mn<0，∴8<mn<10∵m，n是整数，∴mn是整数，∴mn=9，∴m=1n=9或m=9n=1，m=3n=3，m=−1n=−9，当m=1n=9时，m+n=10当m=9n=1时，m+n=10当m=3n=3时，m+n=6当m=−1n=−9时，m+n=−10当m=−9n=−1时，m+n=−10当m=−3n=−3时，m+n=−6综上，m+n=10或6，−10，−6．故原结论错误；③∵x−24∴3x−2解得：x=2k+4y=∵x，y是非负数，即x≥0y≥0∴2k+4≥05k+7解不等式2k+4≥0得：k≥−2，解不等式5k+74≥0得：∴不等式组的解集为k≥−7综上，结论①③正确，共2个．故选B．42．（24-25七年级下·广东江门·期末）高斯函数x，也称为取整函数，即x表示不超过x的最大整数．例如：2.3=2；−1.5=−2．则下列结论：①−3.1+1.2=−3；②x+−x=0；③若x+1=−2，则xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查实数的新定义，不等式性质的应用，结合新定义以及解不等式进行逐一分析各结论的正确性，即可作答．【详解】解：依题意，−3.1=−4（不超过−3.1的最大整数），1.2∴−4+1=−3，即−3.1+结论①正确；不符合题意；依题意，x为整数时x+但若x非整数（如x=2.5），则2.5=2，−2.5=−3，和为结论②错误，符合题意；∵x+1=−2∴得−2≤x+1<−1，解得−3≤x<−2，结论③错误，符合题意；当−1≤x<1时，第一个情况是−1≤x<0，则0≤x+1<1,1<−x+1≤2x+1+第二个情况是x=0，则x+1=1,−x+1=1则x+1+第三个情况是0<x<1，则1≤x+1<2,0<−x+1≤1则x+1+故x+1+x∈−1,1时，x+1∈0,2，结论④错误，符合题意；综上，错误结论为②、③、④，共3个，故选C．题型五参数问题43．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于x的方程m2x−1=6x+a时，不论m为何值，x的解都相同，则a的值为（A．2 B．−3 C．0 D．1【答案】B【分析】将关于x的方程m2x−1=6x+a整理可得2x−1m−6x+a=0，根据x【详解】解：∵m2x−1∴2mx−m=6x+a，∴2x−1m−∵不论m为何值，x的解都相同，∴2x−1=06x+a=0∴x=12，44．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）若x=my=n是方程2x−3y−5=1的一组解，则2m−3n的值是（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将解代入方程，通过移项直接求解2m−3n的值．【详解】解：∵x=my=n是方程2x−3y−5=1∴代入得2m−3n−5=1，移项得2m−3n=1+5=6，∴2m−3n=6．故选：D．45．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组ax+by=6cx−4y=−2时，小强正确解得x=2y=2，而小刚只看错了c，解得x=−2y=4，则a−b+c【答案】2【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把x=2y=2代入原方程组得到2a+2b=62c−4×2=−2，则a+b=3，c=3；再把x=−2y=4代入方程ax+by=6得到−2a+4b=6，联立a+b=3−2a+4b=6，求出【详解】解：由题意得：x=2y=2是方程组ax+by=6∴2a+2b=62c−4×2=−2解得：a+b=3，c=3，∵小刚只看错了c，解得x=−2y=4∴x=−2y=4是方程ax+by=6∴−2a+4b=6，∴联立a+b=3−2a+4b=6解得：a=1b=2∴a−b+c=1−2+3=2，故答案为：2．46．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于x，y的二元一次方程组4x+3y=2m+4x+2y=m+7的解满足x+y=4，则m的值为_____【答案】3【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；①+②得，5x+5y=3m+11得出x+y=3m+115，结合已知可得【详解】解：4x+3y=2m+4①+②得，5x+5y=3m+11∴x+y=∵x+y=4，∴3m+11解得：m=3故答案为：3．47．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x，y的方程组2x+y=3k+1x+2y=−4的解满足x+y=1，则k的值为__________【答案】2【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加可得到x+y=k−1，则可得到k−1=1，据此可得答案．【详解】解：2x+y=3k+1①①+②得：3x+3y=3k−3，即∵x+y=1，∴k−1=1，∴k=2，故答案为：2．48．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x，y的方程组3x−2y=m3y−2x=5的解互为相反数，则m的值为______【答案】−5【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件可知x=−y，然后把x=−y代入3y−2x=5求出y，从而求出x，最后把x=−1，y=1代入3x−2y=m，求出m即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组3x−2y=m3y−2x=5∴x=−y，把x=−y代入3y−2x=5得：3y+2y=5，解得：y=1，∴x=−1，把x=−1，y=1代入3x−2y=m得：m=3×(−1)−2×1=−3−2=−5，故答案为：−5．49．（24-25七年级下·河南周口·期末）如果方程组x=3ax+by=5的解与方程组y=4bx+ay=2的解相同，则a+b的值是（A．3 B．1 C．7 D．−7【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为x=3，y=4，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于a和b的方程组，通过联立方程求解a+b的值．【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为x=3，y=4，那么将x=3，y=4代入bx+ay=2得到3a+4b=5①①+②，得3a+4b+化简得：7a+7b=7，两边同时除以7，得：a+b=1．故选：B．50．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式2x−2a≤0的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（）A．3<a<72 C．3≤a<72 【答案】D【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确定参数a的上下限，即可获得答案．【详解】解：解不等式2x−2a≤0，得x≤a，∵该不等式的正整数解为1、2、3，∴3≤a<4．故选：D．51．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知不等式组x−1<0ax≤2的解集为−2≤x<1，则（

A．a=1 B．a=−1 C．a>1 D．a<−1【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式组，通过解不等式组并结合解集范围确定参数a的值．【详解】解：解不等式x−1<0，得x<1，解不等式ax≤2，需结合解集−2≤x<1，由于解集下限为−2，说明第二个不等式的解为x≥−2，∴a<0，x≥2∴2a解得a=−1，故选：B．52．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果关于x的不等式2x−3≤2a+3只有3个正整数解，那么a的取值范围是（

）A．0≤a≤1 B．0<a<1 C．0≤a<1 D．0<a≤1【答案】C【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a的不等式是解题的关键．求出不等式的解集，根据不等式只有3个正整数解即可求得a的取值范围．【详解】解：解不等式2x−3≤2a+3，得x≤a+3，∵关于x的不等式2x−3≤2a+3只有3个正整数解，∴3个正整数解为1、2、3，∴3≤a+3<4，∴0≤a<1，故选：C．53．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若不等式组x<3x<m−2的解集为x<3，则m的取值范围是（

A．m<5 B．m≤5 C．m≥5 D．m>5【答案】C【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到m−2≥3，求解即可．【详解】解：∵不等式组x<3x<m−2的解集为x<3∴m−2≥3，∴m≥5．故选：C54．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）关于x的不等式组x−a>03−2x≥−1，整数解有5个，则aA．−3<a<−2 B．−3≤a<−2 C．−3<a≤−2 D．−3≤a≤−2【答案】B【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集情况求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集情况求参数是解题的关键．先分别求两个不等式，再根据不等式组的整数解个数，即可确定答案．【详解】解：x−a>0①解①得x>a，解②得x≤2，若不等式组的整数解有5个，则−3≤a<−2．故选：B．55．（24-25七年级下·河南周口·期末）关于x的不等式组x>m+35x−2<4x+1的整数解仅有3个，则mA．−5≤m<−4 B．−5<m≤−4 C．−4≤m<−3 D．−4<m≤−3【答案】C【详解】解：x>m+3解第二个不等式5x−2<4x+1，得x<3，结合第一个不等式x>m+3，不等式组的解集为m+3<x<3．∵整数解仅有3个，∴整数解为0、1、2，∴m+3<0且m+3≥−1，解得−1≤m+3<0，即−4≤m<−3，故选C．56．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）关于x的不等式组x+2≥−12x−m<0的所有整数解的和为−5，则mA．−4≤m<2 B．2<m≤4C．−4<m≤−2或2<m≤4 D．−4≤m<−2或2≤m<4【答案】C【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解确定参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的求解过程和不等式组解的意义．先解不等式组，确定整数解的可能情况，再根据整数解的和为−5确定m的取值范围．【详解】解：x+2≥−1解不等式①得，x≥−3，解不等式②得，x<m因此，不等式组的解集为−3≤x<m∵整数解需满足−3≤x<m2，且和为情况一：整数解为−3和−2，和为−5，此时m2的范围为−2<m2情况二：整数解为−3、−2、−1、0、1，和为−5，此时m2的范围为1<m2当m=−2时，解集为−3≤x<−1，整数解为−3、−2，和为−5，符合条件；当m=4时，解集为−3≤x<2，整数解为−3、−2、−1、0、1，和为−5，符合条件；综上，m的取值范围是−4<m≤−2或2<m≤4，故选：C．题型六几何证明与计算大综合57．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线AB,CD上的点．连接AC,AE平分∠BAC,EF平分∠AED,∠2=∠3．(1)试说明AB∥CD；(2)若∠AFE−∠2=30°，求∠AFE的度数．【答案】(1)见解析;(2)70°．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1=∠2，从而利用等量代换可得∠1=∠3，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；（2）根据已知可得∠AFE=∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE=∠FED=∠2+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED=2∠FED=2∠2+60°，再利用平角定义可得∠3+∠AED=180°，最后进行计算可求出∠2=40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答．【详解】（1）解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AFE−∠2=30°，∴∠AFE=∠2+30°，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠FED=∠2+30°，∵EF平分∠AED，∴∠AED=2∠FED=2∠2+60°，∵∠3+∠AED=180°，∴∠3+2∠2+60°=180°，∵∠3=∠2，∴∠2=40°，∴∠AFE=∠2+30°=70°，∴∠AFE的度数为70°．58．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF=α．(1)如图1，若α=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数；(2)如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，∠MEB=13∠MEN，∠MFN=13∠DFN，∠DFM=20°，求∠ENF(3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数．【答案】(1)80°(2)70°−2α(3)52.5°或42°【分析】1）过点M作MN∥AB，得到MN∥AB∥CD，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；（2）过点N作NH∥AB，则：NH∥AB∥CD，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；（3）过点N作NK∥CD，得到NK∥AB∥CD，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠BEM=∠NME，∠DFM=∠NMF，∴∠BEM+∠DFM=∠NME+∠NMF=∠EMF=α；∵α=80°，∴∠BEM+∠DFM=80°；（2）解：过点N作NH∥AB，∵AB∥CD，∴NH∥AB∥CD，∴∠HNF=∠DFN,∠HNE=∠NEB，由（1）知：∠BEM+∠DFM=α，∵∠DFM=20°，∴∠BEM=α−20°，∵∠MEB=13∠MEN∴∠NEB=∠NEM−∠MEB=2∠MEB=2α−20°，∠DFM=∠DFN−∠MFN=∴∠DFN=3∴∠HNF=∠DFN=30°，∴∠ENF=∠HNF−∠HNE=30°−2α−20°（3）解：过点N作NK∥CD，∵AB∥CD，∴NK∥AB∥CD，∴∠KNE=∠AEN，∠KNF=∠CFN，∵EN平分∠AEM，∴∠AEN=∠MEN=1∵FP是∠CFN的三等分线，分两种情况：①当∠CFP=1∵∠CFP=∠DFM，∴∠CFN=3∠DFM，∵∠ENF=∠ENK−∠FNK，∴∠ENF=∠AEN−∠CFN=90°−1∵2∠ENF+∠EMF=110°，又由（1）知：∠EMF=∠BEM+∠DFM，∴290°−∴∠DFM=14°，∴∠CFN=3∠DFM=42°；②当∠CFP=2∵∠CFP=∠DFM，∴∠CFN=3∵∠ENF=∠ENK−∠FNK，∴∠ENF=∠AEN−∠CFN=90°−1∵2∠ENF+∠EMF=110°，∠EMF=∠BEM+∠DFM，∴290°−∴∠DFM=35°，∴∠CFN=3综上：∠CFN=52.5°或∠CFN=42°．59．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，已知AF∥(1)求证：EF∥(2)若AF平分∠BAD，∠DCB=82°，∠3=76°，求∠EFB的度数．【答案】(1)见解析(2)44°【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关定理与性质是解题的关键．（1）根据题意，可证∠2=∠DAF，再由内错角相等，两直线平行即可；（2）由EF∥AD，则∠BAD=∠3=76°，又AF平分∠BAD，所以∠DAF=12∠BAD=38°【详解】（1）证明：∵AF∥∴∠1+∠DAF=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠2=∠DAF，∴EF∥（2）解：由（1）得：EF∥AD，∴∠BAD=∠3=76°，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=1∵AF∥∴∠2=∠DAF=38°，∴∠AFB=∠DCB=82°，∵∠AFB=∠2+∠EFB，∴∠EFB=82°−38°=44°.60．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．(1)如图1，已知AB∥CD，∠BAE=20°，∠DCE=30°，则∠AEC=；(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED的度数；(3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=α°，∠ABC=β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)50°(2)∠BED=50°(3)∠BED=180°−【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线．（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，得到∠1=20°，根据平行线的传递性，可得EF∥CD，从而可得（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得∠BEH=20°，∠DEH=30°，即可求得答案；（3）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得∠BEG=180°−12β°【详解】（1）解：过点E作EF∥∴∠1=∠BAE=20°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2=∠DCE=30°，∴∠AEC=∠1+∠2=20°+30°=50°．故答案为：50°．（2）解：过点E作EH∥AB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=1∵EH∥A