福建省四校联盟2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

福建四校联盟

2024-2025学年第二学期期末考

高二数学试题

命题人：陈学亮刘冰郭惠勇曾国文

（考试时间：120分钟总分：150分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.

Ax|x1x30B0,1,2,3,4,5

1.已知集合，，则AB（）

A.0,1,2B.1,2,3C.1,0,1,2D.0,1,2,3

【答案】A

【详解】由题设Ax|1x3，B0,1,2,3,4,5，则AB0,1,2.

故选：A.

fx1

2.已知函数fx的定义域为2,2，则函数gx的定义域为（）

x1

A.1,1B.1C.1,3D.1,3

【答案】C

【详解】要使gx有意义，则解得1x3，所以gx的定义域为1,3

−2<�−1<2

故选：C.�−1>0

3.用4种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（）种

A.16B.24C.36D.48

【答案】D

【详解】区域②有4种选择，区域③有3种选择，区域①和④各有2种选择，

由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为432248种.

故选：D.

4

4.x21的展开式中x4的系数是（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】D

4k

【详解】二项展开式的通项为k2kk82k，

Tk1C4x1C4x0k4,kZ

42

令82k4，解得k2，所以x的系数是C46.

故选：D.

x2ax5,x1

5.已知函数fxa是R上的增函数，则a的取值范围是（）

,x1

x

A.3≤a≤2B.a2

C.3a0D.a0

【答案】A

【详解】由题意，xR，

x2ax5,x1

在fxa中，函数在R上是增函数，

,x1

x

a

1

2

a0，

2

1a15a

解得3≤a≤2.

故选：A.

6.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选

“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比

赛的概率为（）

2287

A.B.C.D.

951515

【答案】D

【详解】依题意，记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M，

则P(A)P(B)0.5,P(M|A)0.8,P(M|B)0.7,

因此P(M)P(A)P(M|A)P(B)P(M|B)0.50.80.50.70.75，

P(BM)P(B)P(M|B)0.50.77

所以选“使命”队参加比赛的概率P(B|M).

P(M)P(M)0.7515

故选：D

7.若a0,b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是（）

1111

A.a2b28B.C.ab22D.1

ab4ab

【答案】C

2

【详解】对于A，由a2b22ab可得2a2b2a2b22abab，

2

又ab4，所以2a2b2ab16，即a2b28，

当且仅当ab2时等号成立，故A错误；

对于B，由ab4可得ab42ab，即0ab4，

11

所以，当且仅当ab2时等号成立，即B错误；

ab4

2

对于C，由ab2ab可得2abab2abab，

2

所以可得8ab，即ab22，当且仅当ab2时等号成立，即C正确；

111111ab1ab11

对于D，易知ab11221，即1；

ab4ab4ba4baab

当且仅当ab2时等号成立，可得D错误；

故选：C

b

8.设函数fxax1blnx，若fx0恒成立，则的最小值为（）

a

11

A.1B.C.D.1

ee

【答案】B

11

【详解】令fx0，可得x或eb，由题意可知，eb，得blna，

aa

bblna

将blna代入，可得，

aaa

lna1lnalne1

令ga，求导得ga，令ga0，解得ae，ge.

aa2ee

当ae时，ga0，ga单调递减，

当ae时，ga0，ga单调递增，

b1

因此，ae时，ga取得极小值，即的最小值为.

ae

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若ab，则ac2bc2

B.命题“xR，1fx2”的否定是“xR，fx1或fx2”

11

C.如果ab0，那么“”是“ab”的充分不必要条件

ab

D.当xR时，不等式kx2kx10恒成立，则k的取值范围是0,4

【答案】BD

【详解】对于A，当c0时，ac20bc2，故A错误；

对于B，原命题“存在x满足1fx2”的否定应为“所有x都不满足1fx2”，即“所有x都

满足fx1或fx2”，原命题表述正确，故B正确；

11ba11

对于C，若ab0，ab，则ba<0，则0，即，必要性成立；

ababab

1111ba11

若ab0，，则0，所以ba，充分性成立，所以如果ab0，那么“”是“ab”

abababab

的充要条件，故C错误；

k0

对于，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，

Dk010k020k4k0,4

Δk4k0

故D正确.

故选：BD.

10.已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（）

X012

Pmnm

A.2mn1B.PX1PX1

C.EX1D.D2X11

【答案】AC

【详解】AB选项，由题意，2mn1且m,n0，

而PX1n，PX12m大小不确定，故A正确，B错误；

C选项，EX0PX01PX12PX2n2m1，故C正确；

222

D选项，由EX0PX01PX12PX2n4m，

22

所以D2X14DX4EXEX4n4m144m2m8m，

与m的大小有关，不一定小于1，故D错误；

故选：AC

11.若平面点集M满足：对任意点x,yM，存在正实数t，都有tx,tyM，则称该点集M为“t阶

关联点集”，则下列命题为真命题的是（）

A.若Mx,y|xy，则M是“3阶关联点集”

B.若Mx,y|y2x是“t阶关联点集”，则t为任意正实数

2

x21

C.若Mx,yy1，则M不是“阶关联点集”

43

D.若Mx,y|yx是“t阶关联点集”，则t1

【答案】ABC

【详解】对于A，由xy可得3x3y，故M是“3阶关联集”，即A正确；

对于B，点集Mx,y|y2x是直线，对于任意t0,点tx,tytx,2tx仍在直线上，故t为任意正

实数，故B正确；

2222222

x1xyxy1x2x21

对于C，因y21，而·yy1，故M不是阶聚合

44333699443

点集，即C正确；

对于D，点集Mx,y|yx是抛物线区域.当t1时，取点1,1，缩放后为t,t，需满足tt，

即t1，与t1矛盾，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若曲线y4sinx在x0处的切线与axy0平行，则a的值为______．

【答案】4

【详解】由y4sinx得y4cosx，则y|x04cos04，

又axy0，即yax与曲线y4sinx在x0处的切线平行，

则a4

故答案为：4

2

13.一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，用X表示抽到的一等品

3

的件数，若EX，DX，则满足条件的n的最小值为_____.

【答案】9

2

【详解】已知X~Bn,，则

3

2222

EXn，DX1nn，

3339

又EX，DX，

所以n是9的倍数，n的最小值为9.

故答案为：9.

3a3a3a111n

12n*

14.在数列an中，a13，1nN，则an______，

a2a3an123n2

n*

an4对所有nN恒成立，则的取值范围是______.

6n320

【答案】①.②.,.

nn181

3a3a3a111n

【详解】解：由于12n1nN*，

a2a3an123n2

3a3a3a111n1

所以当n2时，有12n11，

a2a3an23n12

3a11n2a6na

nn1n

两式相减可得，即当n2时，，当n1时，求得a26，即2也

an1n22nann2a1

n

anan1a26

符合该递推关系，所以ana1.

an1an2a1nn1

nn

由于n2，令2，

an4nn1cnnn1

33

n1

2

n1n2

c32n424

由于n1，当时，，当单调递增，当单

nn4c4c5n4n4

cn23n33n

nn1

3

320320

调递减，所以cccccc，故数列最大项为，即.

1234568181

6n320

故答案为：；,.

nn181

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两

种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表：

良品次品合计

国产14纳米光刻机17080n

进口14纳米光刻机150100250

合计m180500

（1）求m，n的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率；

（2）根据小概率值0.01的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异?

2

nadbc

附：2，其中nabcd为样本容量.

abcdacbd

a0.050.010.001

xa3.8416.63510.828

8

【答案】（1）m320，n250，

25

（2）根据小概率值0.01的独立性检验，国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异.

【小问1详解】

由题意得m170150320，n17080250.

808

样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为，

25025

8

所以国产14纳米光刻机的次品率约为P.

25

【小问2详解】

零假设H0：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异，

根据列联表中的数据，经计算得到：

2

5001700012000125

23.4726.635x.

320180250250360.01

根据小概率值0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此可以认为H0成立，即国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异.

为奇数

an2,n,

16.已知数列a满足a1，a

n1n1为偶数

2an,n,

（1）记bna2n2，求b1，b2，并证明数列bn是等比数列；

（2）记cna2n3，求满足c1c2c3cn100的所有正整数n的值.

【答案】（1）b15，b210，证明见解析

（2）1，2，3，4.

【小问1详解】

由题意，a23，a36，a48，

所以b15，b210，

ba2a222a4

又因为n12n22n12n2，

bna2n2a2n2a2n2

所以数列bn是首项为5，公比为2的等比数列；

【小问2详解】

由（）知n1，所以n1，

1bn52cn521

01n1n

所以c1c2c3cn5222n52n5，

因为c1c2c3cn单调递增，

且c1c2c3c479100c1c2c3c4c5160，

所以正整数n的所有取值为1，2，3，4.

17.随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升

级的研发费用，需了解该产品年研发费用X（单位：千万元）对年销售量Y（单位：千万件）的影响.根据

市场调研与模拟，对收集的数据xi,yii1,2,3,,10进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如

i1i1i1i1

2

uiviuiviui

10101010

30.51515465

表中ullnxl，vllnyl.

（1）根据散点图判断，yabx与ycxd哪一个更适合作为年销售量y关于年研发费用x的回归方程模

型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销

售量的值；

2

（3）科技升级后，该产品的效率X大幅提高，经试验统计得X大致服从正态分布N0.52,0.01.企业对

科技升级团队的奖励方案如下：若X不超过50%，不予奖励；若X超过50%，但不超过53%，每件产品奖

励2元；若X超过53%，每件产品奖励4元.记Y为每件产品获得的奖励，求EY（精确到0.01）.

ˆ

附：①对于一组数据ui,vii1,2,3,,n，其回归直线vˆuˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为

nn

uiuivuiinuv

ˆi1i1，ˆ

nnˆvu.

222

uiuuinu

i1i1

②若随机变量XN,20，则PX0.6827，

P2X20.9545.

③e2.7.

【答案】（1）ycxd更适合

1

（2）yex3，8.1千万件

（3）2.27

【小问1详解】

根据散点图可判断，ycxd更适合作为y关于x的回归方程模型.

【小问2详解】

由ycxd得：lnylncdlnx，即vlncdu，

由表中数据得：vu1.5，

10

uvnuv

ii30.5101.51.51

所以i1，

d10

2246.5101.51.53

uinu

i1

1

所以lncvdu1.51.51，所以ce，

3

1

y

所以关于x的回归方程为yex3.

当x27时，y3e8.1，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件.

【小问3详解】

因为20.5，0.53，

所以P0.50X0.53P2X

0.95450.6827

P2XPX0.68270.8186，

2

10.6827

所以PX0.53PX0.1587，

2

所以EY020.818640.15872.2722.27（元）.

18已知函数fxlnxa.

（1）若a0

x1

①求函数gxefx的单调区间；

x2

②求证：efx

xa

（2）若对任意x0,，都有efx（e为自然对数的底），求a的取值范围.

【答案】（1）①gx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；②证明见解析

（2）(,1]

【小问1详解】

x11

解：①当a0时，函数fxlnx，可得gxelnx，则gxex1，

x

11

令hxgxex1，可得hxex10，

xx2

所以hx在0,单调递增，且h10，

当x0,1时，hx0，即gx0，gx在0,1单调递减；

当x1,时，hx0，即gx0，gx在1,单调递增，

所以gx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.

x21

②证明：令gxelnx，可得gxex2，

x

11

令mxgxex2，可得mxex20，

xx2

11

所以gx在0,上单调递增，且g110，g20，

e2

所以存在m(1,2)，使得gm0，

当x0,m时，gx0；当xm,时，gx0，

所以gx在0,m单调递减，在m,单调递增，

可得m2，

gxmingmelnm

11

又由em2，可得m2lnm，则gmm20，

mm

所以gx0，即ex2lnx.

【小问2详解】

解：（法一）由exalnxa，可得exaxalnxx，则exaxaelnxlnx，

令hxexx，可得hxex10，所以hx在,上递增，

又由hxahlnx，可得xalnx，所以axlnx，

1

令xxlnx，可得x1，

x

由x0，解得x1，

令x0，可得x1；令x0，可得0x1，

所以函数x在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以，所以，所以实数的取值范围为

xmin11a1a(,1].

1

（法二）设gxexalnxa，则gxexa，

x

1

x0a

设gx0e0，则ax0lnx0，

x0

因为gx在0,上递增，当x0,x0时，gx0；当xx0,时，gx0，

所以gx在0,x0上单调递减，在x0,上单调递增，

x0a1

所以gminxgx0elnx0ax02lnx00，

x0

2

1121x22xx1

令hxx2lnx，则hx10，

xx2xx2x2

1

所以hxx2lnx在0,递减，

x

因为h10，所以x01，所以ax0lnx01，

所以实数a的取值范围为(,1].

19.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率

132

为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第

253

*

i局赢的概率为PiiN.

（1）求乙同学第2局赢的概率；

（2）求Pi；

pi

（3）若存在i，使elnPi1k0成立，求整数k的最小值.

11

【答案】（1）

30

115

（）i1*

2Pi()()iN

8158

（3）1

【小问1详解】

131219

由题意甲第2局赢的概率为P(1