湖南省长沙市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

一、单选题

x2

1．设集合Mx|x24，Nx|0，则MN

x

A．[2,2]B．{2}C．(0,2]D．(,2]

2．命题“x0，使得x22x”的否定为（）

A．x0,x22xB．x0，使得x22x

C．x0,x22xD．x0，使得x22x

3．下列命题中正确的个数为（）

①若ab0，则abb2

ba

②若ab0，则

ab

③命题“x0,2xx2”的否定是“x0,2xx2”

④“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在量词命题

A．2B．3C．4D．5

4．下列命题是真命题的是（）

A．若acbc.则abB．若a2b2，则ab

11

C．若ab，则D．若cd，acbd，则ab

ab

1a1

5．已知函数fx，则“fx是奇函数”是“a0”的（）

x1xa1x1

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．一次函数yaxb,ab0,ab0，则其大致图象正确的是（）

A．B．C．D．

7．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组

织内的碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量

t

15730

，其中C0为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023

C(t)C0

2

年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的

时间轴可推断该生物死亡的朝代为（）(参考数据：lg20.3010)

A．西汉B．东汉C．三国D．晋朝

exex

8．双曲余弦函数coshx是高等数学中重要的函数之一.定义在R上的函数f(x1)的图象关于点(1,1)

2

对称，且当x0时，f(x)coshx，则不等式f(x1)f(2x3)2的解集为（）

213

A．,B．,C．,D．(2,)

322

二、多选题

9．已知alog212，blog318，则（）

A．abB．a2b21

C．ab7D．ab9

|x|2

10．已知函数f(x)，以下说法正确的是（）

1|x|

A．f(x)是偶函数B．函数f(x)的值域为(,1)[2,)

C．f(x)在(0,1)上单调递减D．f(x)在(,1)上单调递增

11．若函数f(x)sin|x|cos2x，则（）

A．f(x)是周期函数B．f(x)在,上有4个零点

C．f(x)在0,上是增函数D．f(x)的最小值为1

2

三、填空题

12．设命题p：已知a0，b0，且abab，不等式abm25m2恒成立，命题q：存在x[1,1]，

使得不等式x22xm10成立，若命题p、q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围

是.

x

13．几位同学在研究函数fxxR时给出了下面几个结论：

1x

①函数fx的值域为1,1；

②存在x1x2，使得fx1fx2；

③fx在0,是增函数；

x

*

④若规定fxfx，且对任意正整数n都有：fxffx，则fnx对任意恒成

1n1n1nxnN

立.

上述结论中正确结论的序号为.

14．已知平面向量a1,x，b2x3,x，xR，若ab，则x的值为

四、解答题

15．设集合Ax1x3，集合B{x2ax2a,a0}．

(1)若a2，求AB，AB；

(2)设命题p:xA，命题q:xB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

g(x)log1(mx)

16．已知实数a0且a1，函数f(x)loga(x1)，.

a

1

（1）已知f21，g11，求实数a，m的值.

2

（2）当m1时，用定义法判断函数h(x)f(x)g(x)的奇偶性.

（3）当m5时，利用对数函数单调性讨论不等式f(x)g(x)0的解集.

17．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另

增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为

1

R5xx2(0x5)，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．

2

(1)把利润表示为年产量的函数．

(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？

(3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

2gx

18．若函数gx2ax7ax2ba0在区间1,0上有最大值8和最小值3，设fxx0.

x

(1)求a,b的值；

(2)若不等式f2xk2x0在x0,2上有解，求实数k的取值范围.

19．已知函数fx3x2x1,gx2x2xax．

(1)求关于x的不等式fx3mx4x3m1解集；

(2)若a1，求gx在x2,2上的值域；

(3)设xfxgx，记x的最小值为ha，求ha的最小值．

题号12345678910

答案CCADBABABCDAB

题号11

答案BC

1．C

解二次不等式得集合M，解分式不等式得集合N，再根据交集定义求结果.

【详解】因为x24，所以2x2，

x2

因为0，所以0x2，

x

因此MN0,2

故选：C.

2．C

根据命题的否定的定义即可得解.

【详解】命题“x0，使得x22x”的否定为x0,x22x.

故选：C.

3．A

根据不等式的性质判断①②的对错，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断③的对错，根据存在量

词命题的概念判断④.

【详解】对于①，由ab0，两边都乘以b，则abb2，正确；

ab

对于②，由ab0，所以10，错误；

ba

对于④，命题“x0,2xx2”的否定是“x0,2xx2”，正确；

对于⑤，“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是全称量词命题，错误；

所以命题中正确的个数为2.

故选：A

4．D

根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.

【详解】当c0时，若acbc，则ab，故选项A错误；

当a5,b1时，满足a2b2，但ab，故选项B错误；

11

当a5,b1时，满足ab，但，故选项C错误；

ab

若cd，acbd，则由不等式的可加性得accbdd，即ab，选项D正确.

故选：D.

5．B

由题意首先根据奇函数的定义求出fx是奇函数充要条件，进一步即可得解.

【详解】由题意若fx是奇函数，则xD（D为fx的关于原点对称的定义域），有fxfx，

1a11a1aa

此时有，即，

x1xa1x1x1xa1x1xa1xa1

进一步axa2aaxa2a恒成立，解得a0或a1，

112x

当a0时，fx的定义域为,11,11,关于原点对称，且

x1x1x21

fxfx，即满足fx是奇函数，

1112x1

当a1时，fx的定义域为,11,00,11,关于原点对称，

x1xx1x21x

且fxfx，即满足fx是奇函数，

综上所述，fx是奇函数当且仅当a0或a1，

因此“fx是奇函数”是“a0”的必要而不充分条件.

故选：B.

6．A

由ab0,ab0可得a0b，结合一次函数的性质即可选择答案.

【详解】因为ab0,ab0，所以a0b.

于是，由a0可得，y随x增大而增大，

由b0可得，yaxb的图象与y轴的交点在x轴的下方，

故一次函数yaxb,ab0,ab0的大致图象为A.

故选：A.

7．B

t

5730

根据题意列方程1，运用对数运算求近似解即可.

C00.8C0

2

t

5730t18

【详解】由题意知1，所以lglg，

C00.8C0

25730210

13lg210.903

所以t5730，所以t57301847.

lg20.301

20231847176，故对应死亡的朝代为东汉，

故选：B.

8．A

先推出f(x)的图象关于点(0,1)对称，则f(x)f(x)2，再将不等式化为f(2x3)f(x1)，然后根据

导数判断函数f(x)的单调性，利用单调性可解得结果.

【详解】因为函数f(x1)的图象关于点(1,1)对称，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，

所以f(x)f(x)2，所以f(x1)f(x1)2，

所以2f(x1)f(x1)，

所以不等式f(x1)f(2x3)2等价于f(2x3)2f(x1)f(x1)，

因为

exex

当x0时，f(x)coshx，f(x)0，所以f(x)在[0,)上单调递增，

2

exexexex

当x0时，f(x)2f(x)2cosh(x)2，f(x)0，

22

所以f(x)在(,0)上单调递增，

又因为f(x)的图象连续不断，所以f(x)在(,)上单调递增，

2

所以f(2x3)f(x1)等价于2x3x1，得x，

3

2

所以不等式f(x1)f(2x3)2的解集为,).

3

故选：A

9．BCD

对于A，结合对数函数的单调性将a,b与3作大小比较，进而判断即可；

对于B，化简alog232，blog322，进而根据对数的运算性质计算即可判断；

对于C，结合对数函数的单调性可得a4，b3，进而根据不等式的基本性质判断即可；

对于D，化简ab52log23log32，进而根据基本不等式即可判断.

【详解】对于A，因为alog212log283，blog318log3273，

所以ab，故A错误；

对于B，因为alog212log23log24log232，即a2log23，

blog318log32log39log322，即b2log32，

所以a2b2log23log321，故B正确；

对于C，因为alog212log2164，由A选项知，b3，

所以ab7，故C正确；

对于D，由B选项知，alog232，blog322，

因为log23log32，且log23log210，log32log310，

所以ablog232log32252log23log3254log23log329，

即ab9，故D正确.

故选：BCD.

10．AB

A.利用奇偶性的定义判断；B.由x0且x1时求解判断；CD.作出函数的图象判断.

|x|2|x|2|x|2

【详解】A.f(x)的定义域为x|x1，且f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，

1|x|1|x|1|x|

故A正确；

x2x133

B.当x0且x1时，f(x)1,1[2,)，又所以f(x)是偶函数，所以

1xx1x1

函数f(x)的值域为(,1)[2,)，故B正确；

C.作出函数f(x)的图象如图所示：

由图象知：f(x)在(0,1)上单调递增，在(,1)上单调递减，故C,D错误；

故选：AB

11．BC

直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断A、B、C、D的

结论．

【详解】解：函数f(x)sin|x|cos2x，

对于A：函数ysin|x|不是周期函数，故A错误；

2sin2xsinx1(x0)

对于，令，在[，]上，

B:f(x)2f(x)0

2sinxsinx1(x0)

55

求得x，，，，故B正确；

6666

对于C：当x(0,)时，f(x)2sin2xsinx1，

2

所以f(x)4sinxcosxcosx，

由于x(0,)，所以sinx0且cosx0，故f(x)0，

2

故函数f(x)在x(0,)上单调递增，故C正确；

2

19

对于D：由于f(x)2sin2xsinx12(sinx)2，

48

19

当sinx时，f(x)min，故D错误．

48

故选：BC．

12．(,1)(2,6]

先求出当命题p、q为真命题时m的取值范围，再根据题意可知p，q有一真一假，然后根据p真，q假或

p假，q真列出不等式组，即可即可．

2

ab

【详解】对于p：abab，所以ab4，当且仅当ab2时取等号，

2

m25m8ab恒成立，则m25m24，即1m6；

对于q：存在x[1,1]，使得不等式x22xm10成立，

只需x22xm10，

min

而x22xm12m，，；

min2m0m2

因为p，q有一真一假，所以

1m6

若q为假命题，p为真命题，则，所以2m6；

m2

m1或m3

若p为假命题，q为真命题，则，所以m1.

m2

综上，m1或2m6，

故答案为：(,1)(2,6].

13．①③④

按x0，x0分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③；利用归纳推理的求解判断④.

x

【详解】函数fx，

1x

x1

当x0时，fx10,1，且fx在0,上单调递增，③正确；

1xx1

x1

当x0时，fx11,0，且fx在,0上单调递增，

1x1x

因此函数fx的值域为1,1，①正确；

函数fx在R上单调递增，则x1x2，恒有fx1fx2，②错误；

x

1xx

由fxfx，得f2xff1x，

1x12x

1

1x

x

12xx

x

f3xff2x，，归纳推理得fnx，④正确.

x13x1nx

1

12x

故答案为：①③④

14．3或1

根据向量垂直的坐标运算列方程，解方程即可.

【详解】由已知a1,x，b2x3,x，且ab，

2

则ab2x3x0，

解得x3或x1，

故答案为：3或1.

15．(1)ABx1x4，ABx0x3

(2)0,1

（1）根据交集和并集的定义即可得解；

（2）由题意可得B是A的真子集，再根据集合的包含关系即可得解.

【详解】（1）因为a2，所以Bx0x4，

所以ABx1x4，ABx0x3；

（2）因为p是q成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

又a0，故B不为空集，

故12a,2a3（等号不同时成立），得0a1，

所以实数a的取值范围0,1．

3

16．（1）a2,m；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析.

2

1g(x)log(mx)

（1）根据f(21)，求得a2，进而得到1，再由g11求解.

22

1x

（2）由m1得到h(x)log，先求得函数h(x)定义域，再判断h(x),h(x)的关系.

a1x

（3）由m5，得到g(x)loga(5x)，将f(x)g(x)0，转化为loga(x1)loga(5x)，再分0a1，

a1讨论求解.

11

【详解】（1）因为f(21)，即log2，

2a2

g(x)log(mx)

解得a2，则1，

2

g(1)log(m1)1

又因为1,

2

3

解得m.

2

1x

（2）当m1时，h(x)f(x)g(x)loga(x1)log1(1x)loga，

a1x

1x1x

函数h(x)定义域为1,1，h(x)loglogh(x)，

a1xa1x

所以函数为奇函数.

g(x)log(5x)log(5x)

（3）当m5，则1a，

a

由f(x)g(x)0f(x)g(x)即loga(x1)loga(5x)①

x10

当0a1时，要使不等式①成立，则5x0，

x15x

解得1x2.

x10

当a1时，要使不等式①成立，则5x0，

x15x

解得2x5，

综上所述：当0a1时不等式f(x)g(x)0的解集为1,2.

当a1时不等式f(x)g(x)0的解集为2,5.

1

x24.75x0.5(0x5)

17．(1)y2

120.25x(x5)

(2)475台；

(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．

（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果；

（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值；

（3）要使企业不亏本，则利润y0，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．

【详解】（1）设利润为y万元，

1

5xx20.50.25x(0x5)

2

得y，

1

55520.50.25x(x5)

2

1

x24.75x0.5(0x5)

即y2.

120.25x(x5)

（2）显然当0x5时，企业会获得最大利润，

1

此时，y(x4.75)210.78125，

2

x4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大．

（3）要使企业不亏本，则y0．

0x5

x5

即y12或，

x4.75x0.50120.25x0

2

得0.11x5或5x48，即0.11x48．

即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．

18．(1)a1,b6

(2),17

（1）根据二次函数在闭区间上的单调性，利用最值得出方程组可解得a1,b6；

1

（2）将不等式有解问题转化成k8t27t2,t,1，由二次函数单调性可得结果.

max4

7a7

【详解】（1）易知函数gx2ax27ax2ba0关于x对称，

22a4

因此gx在区间1,0上单调递增，

g12a7a2b3a1

所以可得，解得，

g02b8b6

因此a,b的值分别为1,6

2gx8

（2）由（1）可得gx2x7x8，所以fx2x7；

xx

x8

x

xx2272

不等式f2k20等价于f22x11；

k872

2x2x2x2x

11

令t,1，可得k8t27t2，

2x4

1

不等式f2xk2x0在x0,2上有解等价为k8t27t2,t,1；

max4

1

由二次函数性质可得y8t27t2在,1上单调递增，

4

所以ymax87217，因此k17.

即可得实数k的取值范围为,17.

19．(1)答案见解析

3

(2),9

2

(3)1

（1）将不等式转化为x2m1xm0，分m三种情况求出解集；

（2）求出g(x)的分段函数，求出g(x)的单调区间，求出gx在x2,2上的值域；

1111

（3）求出(x)，分a、a和a三种情况求出h(a)，求出ha的最小值.

2222

【详解】（1）由fx3mx4x3m1，

即不等式转化为x2m1xm0，

则xmx10，当m1时，不等式的解集为x1xm；

当m1时，不等式的解集为xmx1；

当m1时，不等式的解集为；

2x21,x1

（）2，

2gx2xx1x2

2x2x1,x1

当x2,1,gx2x22x1，