湖南省岳阳市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024－2025学年度第二学期期末监测试卷高一数学

注意事项：

1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，满分150分。答题前，考生要将自己的姓名、考

号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。

3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。

4、考试结束时，将答题卡交回。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的。)

1.已知z12i,z212i，则复数zz2z1对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列说法正确的是()

A.若ab,则abB.零向量没有方向

C.相等向量的长度相等D.共线向量是在同一条直线上的向量

3.如图所示，用符号语言可表达为()

A.m，n，mnA

B.m，n，mnA

C.m，n，Am，An

D.m，n，Am，An

4.某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，高三年级1100人，现采取分层抽

样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为()

A.11，14，11B.12，12，12C.14，12，10D.13，12，11

5.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是()

1111

A.B.C.D.

12634

6.已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为()

A.3�ABC�,�B,.�3�,�C,�.2�=2,��D.2𝐴2��

7.已知圆锥的底面圆的直径为2，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积等于()

A.B.C.D.

8.某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生中抽取了一个容量

22�3�23�4�

为80的样本。已知该校男生人数比女生多800人，抽样结果显示：男生样本的平均身高为178，方差

为200；女生样本的平均身高为162，方差为185。则下列说法中不正确的是()

A.抽取的样本里男生有48人

1

B.每一位学生被抽中的可能性为

50

C.估计该学校学生身高的平均值为171.6

D.估计该学校学生身高的方差为253

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()

A.i2023i2024i2025i20260

B.复数z3i的虚部为i

2

C.若z(12i)，则复平面内z对应的点位于第三象限

D.已知复数z满足z1z1，则z是纯虚数

10.已知向量m(2,3)，n(1,)，下列结论正确的是()

A.若n5，则2

2

B.若mn，则

3

26

C.若1，则cosm,n

26

1

D.若1，则m在n上的投影向量为n

2

11.在如图所示的三棱锥中，OA1,OCOB2，面，∠，下列结论正确的为

�

()�−�����⊥������=3

A.直线与平面所成的角为

B.二面角�����的正切值为45°

3

C.到面�−的��距−离�为3

3

D.�两条异�面��直线与2所成的角为的余弦值为

5

三、填空题(本大题共�3�小题�，�每小题5分，共15分)5

12.某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，

则这8人年龄的25%分位数是_______.

13.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝AC，

1

2

AB＝BC，E为线段AB上的动点，当(SE＋CE)min＝2(＋1)时，圆锥的体积等于_________

3AB

14.若ABC的角A,B,C所对边a,b,c，且满足a2b4bsin20，则角A的最大值为_____

2

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

如图，在ABC中，ABa,ACb，D为BC中点，E为AD上一点，且2AEED，BE的延长线与AC

的交点为F.

(1)用向量a与b表示BC和AD

(2)用向量a与b表示BE;

AF

(3)求出的值

FC

16.(本小题满分15分)

张先生在一家科技公司工作，每天早上自驾去公司上班.他统计了最近100次开车从家到公司的红灯等

待时间并形成统计表，将数据分成了55,65，65,75，75,85，85,95，

95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.

(1)求图中a的值，估计张先生最近100次红灯等候时间的平均数；

(2)估计张先生红灯等待时间的上四分位数；

(3)根据以上数据，估计张先生在接下来的20次早上从家到公司的出行中，

红灯等待时间不低于85秒的次数.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1,M为BC的中点，且PBAM.

(1)证明：平面PAM平面PBD；

(2)求四棱锥PABCD外接球的表面积；

(3)求三棱锥BPAM的体积.

18.(本小题满分17分)

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acosC－b)＝3csinA.

求角；

(1)△A

(2)若角A的平分线交BC边于D且AD=2，求ABC的面积的最小值.

△

19.(本小题满分17分)

甲、乙两人在校园运动会“趣味数学挑战”中玩骰子游戏。规则如下：

准备两个相同的六面骰子（点数1-6），甲先掷第一个骰子，记录点数为a（每次掷骰子后骰子独立，即

后续掷骰子不受前次影响）。此时甲有两种选择：

①再掷一次骰子,记录点数为b,甲的最终挑战分数取两次中的较大值(即max{a,b})；

②直接结束，甲的最终挑战分数为a。

随后乙掷一个骰子,记录点数为c,若c>甲的最终分数,则乙赢,否则甲赢。游戏结束。

问题：

(1)若甲选择②（只掷1次），求甲赢的概率；

(2)若甲选择①（掷2次），求甲赢的概率；

(3)当甲第一次掷出的点数a为多少时，甲选择②赢得游戏的概率大于选择①的概率?

高一数学参考答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的。)

1–4.DCAD5–8.BCBD

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)

9．AC10．BC11．BCD

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

8

12．3313．14．

36

四、解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．解：（1）BCACABba，………2分

111

D是BC中点，ADABBDABBCa(ba)(ab)；……………4分

222

1

（2）2AEED，则AEAD，

3

11151

BEAEABADAB(ab)aab；…………8分

33266

AF

（3）设，则AFb，BFAFABba，

AC

又向量BF,BE共线，而a,b不共线，

51

1

所以66，解得．…………………12分

5

1

AF1

…………………13分

FC4

16．（1）因为各组频率之和为1，组距为10，

所以100.010.025a0.020.011，解得a0.035.……2分

平均分10600.01700.025800.035900.021000.0179.5……5分

（2）因为100.010.0250.0350.70.75，

0.750.7

上四分位数为8587.5

0.02

所以红灯等待时间的上四分位数的估计值为87.5.………10分

（3）由题红灯等待时间不低于85秒的频率为100.010.020.3……………15分

故估计张先生在接下来的20次中红灯等待时间不低于85秒的次数为200.36次.

17.（1）证明：因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，

又PBAM，PBPDP，所以AM平面PBD，

而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD．……………5分

（2）解：由（1）可知AMDB,所以kAMkBD1．（也可以用AMBD=0）

建立如图所示的平面直角坐标系，设BC2a(a0)．

因为DC1，所以A(0,0)，B(1,0)，D(0,2a)，M(1,a)．

a02a0

从而kka(2a)2a21．

AMBD1001

2

所以a，即DA2…………9分

2

12

四棱锥PABCD外接球的半径R121221

2

表面积S4R24…………11分

1122

（3）VV111………………15分

BPAMPABM32212

18．解：（1）3(acosC－b)＝3csinA.，由正弦定理可得

（3sinAcosCsinB)3sinCsinA…………2分

（3sinAcosCsinAcosCcosAsinC)3sinCsinA…………4分

3cosAsinC3sinCsinA，

tanA3，………6分

2

A0，A………8分

3

（）由

2SABCSABDSACD

1211

得bcsin2bsin2csin

232323

bc2b2c………10分

由bc2b2c4bc

得bc216bc0bc16（当bc4时等号成立）………14分

1213

Sbcsin1643

ABC2322

故△ABC的面积的最小值为43………17分

19．问题（1）：甲选择②时甲赢概率

11

甲的最终分数为a（a=1，2…6，，每个点数的概率为），乙掷骰子c（a=1，2…6，每个点数的概率为），

66

a

甲赢的条件是ca，即乙的点数不超过甲的分数，对于每一个a，甲赢的概率为。

6

所以1123456217……………4分

P2（或者约为0.583）

66666663612

问题（2）甲选择①时甲赢概率

设kmaxa,b

2

仅当概率11

k1：a1,b1,636

22

当至少一个骰子为且无更大的点数，概率213

k2：26636

32225

k3：6636

42327

k4：6636

52429

k5：6636

625211

k6：6636

k

当乙掷出ck，概率为，甲选择①时甲赢概率：

6

6

k1132537495116161（约

P1P(kmaxa,b)

k16366366366366366366216

0.745）……………10分

a

问题（3）：对于固定a,甲选择②时甲赢概率为：P（a)=

26

选择①时，甲的最终分数为maxa,b，此时甲赢的概率为：

6

（1maxa,b

P1a)=Pcmaxa,b

b166

分情况讨论a的值：

1