福建省福州市2024-2025学年高一下学期6月期末质量检测 数学

2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．若复数z1i，其共轭复数为z，i是虚数单位，则下列说法正确的是

A．的虚部为iB．在复平面内对应的点在第二象限

C．z1iD．|z|2

rr

2．已知向量a1,2,b3,4，则aab

A．14B．15C．16D．17

3．设l，m是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若l，l，则//B．若l//，l//，则//

C．若l，lm，则m//D．若l//，m，则l//m

4．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”

形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是

A．图（1）中平均数中位数众数B．图（2）中平均数众数中位数

C．图（2）中众数平均数中位数D．图（3）中平均数中位数众数

5．已知三棱锥SABC，SCAB2，点E，F分别是棱SA，BC的中点，且EF2，则异面直线SC

与AB所成的角是

A．B．C．D．

2346

33

6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A，b1，且△ABC的面积为，

34

则a

A．6B．7C．22D．3

uuur1uuur1uuuruuuruuuruuuruuur

7．已知△ABC的外接圆的圆心为O，且AOABAC，AOAC，则向量BA在向量BC上的投影

22

向量为

1uuur3uuur3uuur4

A．BCB．BCC．BCD．BC

4455

8．已知圆锥的母线长为2，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为2，则该圆锥底面半径的

取

值范围是

．．．．

A0,2B1,2C2,2D0,2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，

130，则下列关于这10天观影人数的结论正确的是

A．众数为120B．平均数为140C．中位数为145D．第75百分位数为170

rrrrr

10．若平面向量a,b满足ab2,ab23，则

rrrrπ

A．B．与的夹角为

ab2ab6

rrrrrr

C．ababD．ab2

．如图，正方体的棱长为，是四边形内（包括边界）的一个动点，则下列

11ABCDA1B1C1D12PAA1C1C

结论正确的是

．当在线段上时，三棱锥的体积是定值

APA1C1CPBD

．当是线段的中点时，△的周长是

BPA1CPBD23+2

9

C．当P是线段AC的中点时，三棱锥PBCD的外接球的体积是

112

．当是棱的中点时，的最小值为

DMBCB1PPM3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

rr

12．已知向量a2,x与bx,8共线，则实数x__________．

13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．将△AEF，△BEC，△DFC

分别沿EF，EC，FC折起，使A，B，D三点重合于点S．若三棱锥SEFC的顶点均在球O的球面

上，则球O的表面积为__________．

14．研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、20名男

员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重

为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

已知复数zm2m24m2i，mR,i是虚数单位．

（1）若复数是纯虚数，求m的值；

（2）当m1时，复数是关于x的方程x2pxq0的一个根，求实数p，q的值．

16．（15分）

从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40~100之间，将抽

取的测试卷按成绩分成六组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，画出如图所示的

频率分布直方图．

（1）求a的值和抽取测试卷的成绩的第80百分位数；

（2）对成绩在[40,50)和[50,60)的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取5份，再从这5份

测试卷中随机抽取2份了解答题情况，写出这2份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这2份测试卷

成绩都在[50,60)的概率．

17．（15分）

某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面

4

试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，

5

32

答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的．

55

（1）求李明第二次答题后结束面试的概率；

（2）求李明最终通过面试的概率．

18．（17分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，PDDC2，AD1，E是PC

的中点，过点E作EFPB交PB于点F．

（1）若M是CE的中点，过点M作一个截面，使得该截面与平面EDB平行，请画出截面，并写出作图过

程（无需证明）；

（2）证明：PB平面EFD；

（3）求二面角CPBD的余弦值．

19．（17分）

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是△ABC的外心．

uuuruuuur

（1）当AB2时，求AOAB；

22222

（2）对于任意的m，n，p，qR，用向量方法证明不等式mnpqmpnq（当且仅当mqnp

时，等号成立）；

22

ACAB52

（3）若，求sinB3sinC的最大值．

2ABAO2ACAOAO

ABAC2

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．C2．C3．A4．D5．A6．B7．B8．C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．BC10．ACD11．ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．413．24π14．60；36（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．【解】（1）由题可得，m2m20，且4m20，解得m1或m2．

又m2，故m1．

（2）当m1时，z23i，

2

代入关于x的方程x2pxq0，得23ip23iq0，

整理得，52pq3p12i0，

52pq0

因为p,q为实数，所以，

3p120

解得p4,q13，故实数p,q的值分别为4，13

16．（15分）

【解】（1）由频率分布直方图可得，100.010.0150.015a0.0250.0051，解得，a0.030．

又由频率分布直方图可得，[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率依次为：

0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，

所以前4组的频率为0.10.150.150.30.7，

前5组的频率为0.10.150.150.30.250.95，

0.80.7

故第80百分位数在区间80,90上，因此第80百分位数为8084．

0.025

（2）采用比例分配的分层抽样从[40，50）和[50，60）抽取5份测试卷，由于0.1:0.152:3，

2

故成绩在[40，50）的测试卷中抽取数为52，记作a,b；

23

3

成绩在[50，60）的测试卷中抽取份数为53，记作A,B,C，

23

则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为：

a,b,a,A,a,B,a,C,b,A,b,B,b,C,A,B,A,C,B,C，共有10个样本点，

设事件D“这2份测试卷成绩都在[50，60）”，则DA,B,A,C,B,C，所以nD3，从而

nD3

PD．

n10

3

因此，这2份测试卷成绩都在[50，60）的概率是．

10

17．（15分）

【解】设，表示“李明答对第道题目”，．

A1ii1,2,3

（1）设B表示“李明第二次答题后结束面试”，

则U，且，互斥．

BA1A2A1A2A1A2A1A2

因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立，

A1A2A1A2

于是

431214

U．

PBPA1A2A1A2PA1A2PA1A2PA1PA2PA1PA2

555525

（）设表示“李明最终通过面试”，则UU且互斥，

2CCA1A2A1A2A3A1A2A3A1A2A3,A1A2A3

所以UU

PCPA1A2A1A2A3A1A2A3PA1A2PA1A2A3PA1A2A3

4342213282．

PA1PA2PA1PA2PA3PA1PA2PA3

55555555125

因此，李明最终通过面试的概率是82．

125

18．（17分）（评分说明：若本题第（2）、（3）小问利用空间坐标法求解，不给分．）

【解】（1）如图，取CD的中点N,BC的中点S，连接MN,MS,NS，

则截面MNS与平面EDB平行．

（评分说明：画出正确的截面图得2分，作图过程说明得2分，共4分．注意虚实线是否作图正确，若有

错误，扣1分．）

（2）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC．

在矩形ABCD中，BCCD,PDICDD,PD平面PDC，DC平面PDC，故BC平面PDC．

又DE平面PDC，故DEBC．

在△PDC中，PDDC，E是PC的中点，所以DEPC，又PCIBCC，PC平面PBC，

BC平面PBC，故DE平面PBC，

而PB平面PBC，于是PBDE．

因为EFPB,EFIDEE,EF平面EFD，DE平面EFD，所以PB平面EFD．

（3）由（2）知PB平面EFD，于是PBDF，所以EFD即为二面角CPBD的平面角．

25

在△PDB中，PDBD,PD2,BD5，故PB3，从而DF．

3

EFBC2

在△PBC中，BCPC,EFPB，故，从而EF．

PEPB3

又在△EFD中，DE2，故由余弦定理得，

220

2222

EFDFDE10

cosEFD99，

2EFDF21010

2

9

10

所以二面角CPBD的余弦值为．

10

19．（17分）

【解】（1）因为点O是△ABC的外心，所以点O在边AB的中垂线上．如图设点M为线段AB的中点，

uuuuruuuruuur

则AM为向量AO在向量AB上的投影向量，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur

设AO与AB的夹角为，所以AOABAOABcosAMAB122．

rrrrrrr

（2）构造向量um,n,vp,q因为uvuvcos（其中为向量u,v的夹角），

所以mpnqm2n2p2q2cos，

2

于是mpnqm2n2p2q2cos2m2n2p2q2，

2

即m2n2p2q2mpnq

rr

当且仅当cos21，即cos1,0或π时，等号成立，此时u与v共线，有mqnp0，

即mqnp，不等式得证．

uuuruuur

2uuuruuur2uuuruuuruuur

ACAB52

（）如图，令，由，

3CAOuuur2ABAOuuur2ACAOAO

ABAC