安徽省马鞍山市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

马鞍山市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测

高二数学试题

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

Bx2x8

1.设集合A{0,1,2,3}，，则AB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】由Bx2x8xx3，A{0,1,2,3}，

则AB{0,1,2}，有3个元素.

故选：C.

2.已知i是虚数单位，复数z满足(2i)z105i，则z的虚部为（）

A.3B.4C.3iD.4i

【答案】B

【详解】由(2i)z105i，

105i105i2i2010i10i5i21520i

则z34i，

2i2i2i4i25

所以z的虚部为4.

故选：B.

3.如果x，y是实数，那么“|xy||x||y|”是“xy0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当y0时，满足|xy||x||y|，而xy0；

当xy0时，若x0,y0，则xy0，

所以|xy|xyxy，而|x||y|xy，则|xy||x||y|；

若x0,y0，则xy0，

所以|xy|xy，而|x||y|xy，则|xy||x||y|.

所以“|xy||x||y|”是“xy0”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知两个非零向量a与b的夹角为，我们把数量absin叫作向量a与b的叉乘ab的模，记作

|ab|，即ababsin.若向量a(0,1)，b(3,1)，则|ab|（）

A.1B.1C.0D.3

【答案】D

【详解】由a(0,1)，b(3,1)，

ab11

则cos，

ab142

π3

由0,π，所以，则sin，

32

3

所以ababsin143.

2

故选：D.

5.等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，S2024S20250，则使an0的n的最大值为（）

A.1012B.1013C.2024D.2025

【答案】A

2024aa2025aa

【详解】由SS12024120251012aa2025a0，

2024202522101210131013

则a1012a1013a10130，

因为等差数列an的公差d0，所以a1012a1013，

则a1012a10130，a10130，即a10120，

所以数列an是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列，

则使an0的n的最大值为1012.

故选：A.

6.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为（）

ππ

A.3πB.23πC.D.

32

【答案】A

【详解】由题意，设圆锥和圆柱的底面半径为r，高为h,

则圆锥的母线长为lh2r2，

则圆锥的侧面积为πrlπrh2r2，

而圆柱的侧面积为2πrh，则πrh2r22πrh，

即r3h，则lh2r22h，

2πr2π3h

则圆锥侧面展开图的圆心角为3π.

l2h

故选：A.

3

7.已知函数f(x)sinxsin2x2x3在2π,2π上的所有极值点从小到大依次记为x，x，，

212

n

，则（）

xnfxi

i1

A.12B.15C.18D.24

【答案】D

3

【详解】由f(x)sinxsin2x2x3，

2

则fxcosx3cos2x2cosx32cos2x12

6cos2xcosx13cosx12cosx1，

11

令fx0，得cosx或cosx.

32

如图，画出ycosx图象，

结合图象可得函数fx的极值点有8个.

；；；

则x1,x8x4,x5x2,x7x3,x6互为相反数，因sinxsinx0，

8388

则，又注意到，

sinxisin2xi02xi0

i12i1i1

n8388

则.

fxisinxisin2xi2xi3824

i1i12i1i1

故选：D.

x2y2

8.已知双曲线C:1(a,b0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，且点P在

a2b2

第一象限，线段PF1的中点M在C的左支上，OF1MF1，则双曲线C的离心率为（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】C

x2y2b

【详解】双曲线C:1(a,b0)的左焦点F1(c,0)，渐近线yx，

a2b2a

batcbt

依题意，点P在直线yx上，设P(at,bt),t0，则M(,)，

a22

(atc)2t2

由点M在C的左支上，得1，整理得2actc24a2，

4a24

atc2bt22222

由OF1MF1，得()()c，整理得ct2act3c，

22

(c24a2)2c

消去ct得c24a23c2，解得c4a，所以双曲线C的离心率4.

4a2a

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的有（）

A.两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数r就越接近1

1

B.已知随机变量X~N(0,1)，若P(X1)p，则P(1X0)p

2

C.数据3，4，6，7，8，9，10，11的第75百分位数为9

D.若事件A，B满足P(A)P(B)0，P(A|B)P(A)，则P(B|A)P(B)

【答案】BD

【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，

则样本相关系数r的绝对值就越接近1，故A错误；

对于B，由X~N(0,1)，则0，因为P(X1)p，

1

所以P(X1)p，则P(1X0)P(X0)P(X1)p，故B正确；

2

910

对于C，由875%6，则第75百分位数为9.5，故C错误；

2

PAB

对于D，由P(A|B)P(A)，则PABPAPB，

PB

PAB

所以P(B|A)P(B)，故D正确.

PA

故选：BD.

202522025

10.已知(2x1)a0a1xa2xa2025x，则（）

2021

A.a12025B.a20232a2

132025

C.a1a2a20252D.aaaa

13520252

【答案】BCD

【详解】对于AB，(2x1)2025展开式的通项公式为

r2025rrrr2025r2025r，

Tr1C20252x1C202512x

r0,1,2,,2025，

令2025r1，得r2024，

所以202420241，故A错误，

a1C2025124050

令2025r2023，得r2，

所以22202322023，

a2023C202512C20252

令2025r2，得r2023，

所以20232023222，

a2C202512C20252

2021

则a20232a2，故B正确；

202522025

对于C，由(2x1)a0a1xa2xa2025x，

2025

令x0，得(1)a01，

2025

令x1，得1a0a1a2a20251，

则a1a2a20251a02，故C正确；

对于D，令，得20252025，

x13a0a1a2a20253

由C得a0a1a2a20251，

2025

两式相减得，2a1a3a5a202513，

132025

所以aaaa，故D正确.

13520252

故选：BCD.

11.已知平面直角坐标系中，动点P(x,y)到点O(0,0)和A(2,2)的距离的乘积为2，点P的轨迹如图所

示，则（）

A.过点(1,1)

B.关于直线xy2和直线yx均对称

C.P到原点O(0,0)距离的最大值为22

D.直线yx5与相切

【答案】ABC

22

【详解】由题意，x2y2x2y22，

22

化简得点的轨迹的方程为22.

P(x,y)xyx2y24

22

对于A，将点代入方程得22，

(1,1)1112124

则过点(1,1)，故A正确；

2222

对于B，将代入方程得

2y,2x2y2x2y22x2

22

22，

xyx2y24

2222

将代入方程得2222，

y,xyxy2x2xyx2y24

所以关于直线xy2和直线yx均对称，故B正确；

对于C，由B知，关于直线xy2和直线yx均对称，

则的中心点为1,1，

结合图象可知，当P在直线yx上，且在右上角时，

P到原点O(0,0)距离最大，设Pt,t,t1，

此时P到原点O(0,0)距离为2t，P到A(2,2)距离为2t2，

由题意得，2t2t22，解得t12（其它值舍去），

则P到原点O(0,0)距离的最大值为21222，故C正确；

对于D，由BC知，的中心点为1,1，且在右上角处的点为12,12，

则在点12,12出的切线方程为yx222，

由于2225，且直线yx5与直线yx222平行，

所以直线yx5与不相切，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置.

11

12.已知2，且log1，则实数a的取值范围是______.

a1a2

1

【答案】0,

2

1

【详解】分析，

a21

即a1，根号下的数需非负：a0，

两边平方：a1，

结合对数函数的底数要求得：0a1.

1

分析log1，

a2

11

当a1时，对数函数单调递增，此时log1可转化为logloga，

a2a2a

1

因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：a，

2

结合前提a1，此情况的解为：a1；

11

当0a1时，函数单调递减，此时，log1可转化为logloga，

a2a2a

1

因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：a，

2

1

结合前提0a1，此情况的解为：0a；

2

1

综合以上信息可知当0a时，同时满足两个不等式.

2

1

故答案为：0,.

2

13.若把满足a2b2c2(abc)的正整数组(a,b,c)称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，

随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为______.

3

【答案】

364

3

【详解】由题意可知基本事件的总数为C14364，

能组成“勾股数组”的有3,4,5,6,8,10,5,12,13，共3个，

3

故所求概率为.

364

3

故答案为：.

364

a4b1

14.已知实数a，b满足3ab2，则的最大值为______.

a2b2

【答案】52

2

a4b12a8b22a8b(3ab)a7b

【详解】，

a2b22a2b22a2b22a2b2

设向量OA(a,b),OB(1,7)，则OAOBa7b|OA||OB|52a2b2，

a7b17a4b152

则52，当且仅当a,b时取等号，，

a2b222a2b22

a4b1

所以的最大值为52.

a2b22

故答案为：52

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写

在答题卡上的指定区域内.

15.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.当xA时，函数f(x)23sinxcosxcos2x

取得最大值.

（1）求角A的大小；

（2）若边BC上中线AD2，求ABC面积的最大值.

π

【答案】（1）

3

（2）43

3

【小问1详解】

π

由f(x)23sinxcosxcos2x3sin2xcos2x2sin2x，

6

ππ11π

因为A0,π，所以2x,，

666

ππππ

则2x，即x时，f(x)取得最大值，则A.

6233

【小问2详解】

1

因为AD为BC边的中线，则ADABAC，

2

2122

则ADAB2ABACAC，

4

1113

则4c22bccosAb2c2b2bc2bcbcbc，

4444

1643

即bc，当且仅当bc时等号成立，

33

所以1116343，

S△bcsinA

ABC22323

43

则ABC面积的最大值为.

3

16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形.PA平面ABCD，E，F分别是

PC，PD的中点.

（1）证明：平面EBD平面ABCD；

5

（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为，求点F到平面PBC的距离.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）25

5

【小问1详解】

连接AC交BD于点O，连接OE，

在正方形ABCD中，O为AC的中点，

因为E为PC的中点，所有OE//PA，

又PA平面ABCD，所有OE平面ABCD，

又OE平面EBD，所以平面EBD平面ABCD.

【小问2详解】

以A为原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

a

设APa，a0，则P0,0,a,B4,0,0,C4,4,0,F0,2,，

2

则PB4,0,a,BC0,4,0，

设平面PBC的一个法向量为mx,y,z，

mPB4xaz0

则，令，得，

xama,0,4

mBC4y0

易得平面PAD的一个法向量为n1,0,0，

mna5

则cosm,n，解得a2，

mna21615

则m2,0,4，F0,2,1，即BF4,2,1，

BFm8425

所以点F到平面PBC的距离为.

m4165

17.已知f(x)x2alnx，aR.

（1）曲线yf(x)与直线yx相切，求a的值；

（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）1（2）2e,

【小问1详解】

a

由f(x)x2alnx，x0，则f(x)2x，

x

2

设切点为x0,x0alnx0，x00，

a

2

则f(x0)2x01，则2x0x0a，

x0

222

又x0alnx0x0，所以x02x0x0lnx0x0，

则x02x01lnx01，即x012x01lnx00，

设gxx12x1lnx,x0，

11

则gx12lnx2x12lnx1，

xx

1

因为函数y,y2lnx在0,上单调递减，

x

所以函数gx在0,上单调递减，又g10

则x0,1时，gx0；x1,时，gx0，

所以函数gx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，

2

因为g10，所以x01，则a2x0x01.

【小问2详解】

a2x2a

由f(x)x2alnx，x0，则f(x)2x，

xx

当a0时，fx0，则f(x)在(0,)单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；

aa

2xx

当a0时，22，

fx

x

aa

令fx0，解得x；令f(x)0，解得0x，

22

aa

故f(x)在0,上单调递减，在,上单调递增，

22

aaaaaa

要使yf(x)有两个零点，需falnln0，

222222

a

则ln1lne，解得a2e，

2

而f(1)10，f(a)a2alnaaalna，

当a2e时，令h(a)alna，

1a1

则ha10，所以函数h(a)在2e,上单调递增，

aa

故h(a)h(2e)2eln2elne2eln2e0，则f(a)0，

aa

所以f(1)f0,ff(a)0，

22

aa

由零点存在性定理可知，f(x)在1,与,a上分别存在唯一零点.

22

综上所述，实数a的取值范围为2e,.

x2

18.已知抛物线C:x22py(p0)的焦点到椭圆y21右焦点的距离等于椭圆长半轴长.

4

（1）求抛物线C方程；

（2）过点P(0,4)作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B（A在B的右侧）.点D为线段AP上的动点

（不含端点），过D作抛物线C的另一条切线，切点为E，直线DE与BP交于点F.求证：ADBF为

定值，并求定值.

【答案】（1）x24y

（2）证明见解析，定值为45

【小问1详解】

p

抛物线C:x22py(p0)的焦点为0,，

2

x2

由椭圆y21，则a2,b1,c3，即右焦点为3,0，长半轴长为a2，

4

2

p

由题意，得32，解得p2，

2

则抛物线C方程为x24y.

【小问2详解】

设过点P(0,4)与抛物线C相切的直线方程为ykx4，

ykx4

由，可得2，

2x4kx160

x4y

则16k24160，解得k2，

则x28x160，解得x4，则A4,4,B4,4，

则直线AP：y2x4，直线BP：y2x4，

设Dt,2t4，t0,4，设直线DF：ymxt2t4，m0，

ymxt2t4

由，可得2，

2x4mx4mt8t160

x4y

2

由Δ4m44mt8t160，则m2mt20，

可得mt2或m2（舍去），

则x24t2x4tt28t160，解得x2t2，

22

则E2t2,t2，直线DF：yt2xt2．

2

yt2xt2xt4

由，解得，即Ft4,2t4，

y2x4y2t4

故ADBF14xAxDxBxF54tt45为定值．

19.在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一

次投篮，投中得2分，未投中得1分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的2倍，未投中得1分.

2

已知甲每次投篮投中的概率均为，且每次投篮结果互不影响.

3

（1）求甲投篮3次得分总和为4分的概率；

**

（2）记甲第n次（nN）投篮的得分为Xn，甲投n（nN）次篮的得分总和为X.

*

（i）求EX1，EX2，EX3，并写出k2（kN）时，EXk与EXk1的关系式（不需证

明）；

（ii）已知结论：X，Y为两个随机变量，则E(XY)E(X)E(Y).利用这个结论求E(X).

2

【答案】（1）；

9

52310141*

（2）（ⅰ）E(X1),E(X2),E(X3)，E(X)E(X)，kN，k2；（ⅱ）

3927k3k13

4

E(X)8()nn8.

3

【小问1详解】

甲投篮3次得分总和为4分的事件A，即为学生甲前三次投篮中仅投中一次的事件，

222

所以P(A)C1(1